2023 年贵州预赛（加试 · 第 1–2 题）

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练习时长（分钟）

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第 1 题

在 $△ A BC$ 中， $I$ 为内心， $A I$ 交 $BC$ 于点 $D$ ， $A D$ 的中点为 $M$ ， $MB, MC$ 与 $△ B I C$ 外接圆的第二个交点分别为 $E, F$ 。求证：（1） $A E ⊥ EC, A F ⊥ FB$ ；（2）若 $BF$ 交 $CE$ 于点 $H$ ，则 $A H ⊥ BC$ 。

第 2 题

给定整数 $n \geq 2$ ，求最大的常数 $C_{n}$ ，使得对任意实数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ，若 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 0$ ，则

i = 1 \sum n min {a_{i}, a_{i + 1}} \leq C_{n} 1 \leq i \leq n min a_{i},

其中约定 $a_{n + 1} = a_{1}$ 。