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2012 年河北预赛（高二卷） 第 13 题

P009569 · 直线与圆

如图，在平面直角坐标系中，方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 的圆 $M$ 的内接四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 和 $BD$ 互相垂直，且 $AC$ 和 $BD$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上。

(1) 求证：$F<0$；

(2) 若四边形 $ABCD$ 的面积为 $8$，对角线 $AC$ 的长为 $2$，且 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$，求 $D^2+E^2-4F$ 的值。

2018 年全国高中数学联赛一试（A 卷） 第 4 题

P007304 · 椭圆

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别是 $F_1,F_2$，椭圆 $C$ 的弦 $ST$ 与 $UV$ 分别平行于 $x$ 轴与 $y$ 轴，且相交于点 $P$。已知线段 $PU,PS,PV,PT$ 的长分别为 $1,2,3,6$，则 $△P{F}_1{F}_2$ 的面积为。