选择性必修第三册 · 第 7 章随机变量及其分布

7.5 正态分布

身高、零件尺寸、测量误差……很多量的直方图都是“中间高、两边低、左右对称”。这一节用一条钟形曲线描述它们：概率就是曲线下的面积。

一台机器往袋子里装大米，每袋标的是 $500$ 克。抽了 $100$ 袋称重，结果如下（每组含左端、不含右端）。先根据题目数据作答，再操作图示核对。

重量（克）	袋数
低于 $496$	$2$
$496\sim498$	$14$
$498\sim500$	$34$
$500\sim502$	$34$
$502\sim504$	$14$
$504$ 及以上	$2$

再随手拿一袋，重量在 $498\sim502$ 克之间的可能性，用这组数据估计大约是多少？

1. 先认识几个词

要用到：必修二 9.2 频率分布直方图（回看 9.2）；7.3 均值与方差（回看 7.3）。正态分布是自然界中最普遍、最重要的连续型随机变量分布。

课本用词：正态曲线下的面积才是概率；标准化 $Z=(X-\mu)/\sigma$ 要求 $\sigma>0$，区间端点要按同一方向变换。

正态分布模型 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$：它是一类关于 $x=\mu$ 对称、由标准差 $\sigma>0$ 控制分散程度的连续型分布。使用前须有题目给定，或有数据支持采用这一模型，不能只凭“钟形”就认定正态。

若总体可用正态模型描述，增加样本并选择合适组距，有助于从直方图中看清正态曲线的形状；增加样本本身不会使任意总体变成正态。例如均匀分布的直方图仍呈平顶形状。

两个核心参数：
• $\mu$：均值 / 位置参数，决定曲线的对称轴位置（$x = \mu$）；
• $\sigma$：标准差 / 形状参数，决定曲线的胖瘦分散度（$\sigma$ 越小曲线越陡峭瘦高，$\sigma$ 越大曲线越矮胖平坦）。
致命陷阱：记号 $N(\mu, \sigma^2)$ 中，第二个参数是方差 $\sigma^2$，做题必须先开方求出标准差 $\sigma$！

正态曲线三大几何特征：

① 完美轴对称：关于直线 $x = \mu$ 镜像对称，在 $x = \mu$ 处取得最高峰值；
② 全域总面积为 1：曲线与 $x$ 轴之间的全部面积恒等于 $1$；对称轴两侧面积各为 $0.5$：

$$P(X \le \mu) = P(X \ge \mu) = 0.5$$

③ 落在区间的概率就是曲线下面积：连续型随机变量单点概率为 $0$（$P(X = c) = 0$），因此带不带等号概率完全相同：$P(a \le X \le b) = P(a < X < b)$。

$3\sigma$ 原则（高斯法则）：对 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，数据落在中心附近的概率具有确定经验数值：

• $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 68.27\%$；
• $P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 95.45\%$；
• $P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 99.73\%$。
落在 $3\sigma$ 之外的概率仅有 $0.27\%$，属于几乎不可能发生的小概率事件。

正态分布直觉微图解：高斯钟形曲线、3σ原则与轴对称割补计算

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位置参数 $\mu$ 中心对称轴

物理意义：均值、期望、中位数三位一体。

几何表现：决定整条曲线沿数轴左右平移的位置。

对称基石：$P(X < \mu - c) = P(X > \mu + c)$。

形状参数 $\sigma$ 陡峭松散度

物理意义：标准差（方差 $\sigma^2$ 的算术平方根）。

几何表现：$\sigma$ 小则峰高腰细；$\sigma$ 大则峰低腰阔。

面积守恒：曲线下总面积始终恒等于 1。

2. 正态分布色彩语义主公式与 3σ 原则

核心参数与 $3\sigma$ 黄金常数：

分布记号：$X \sim N(\color{#1976d2}{\mu}, \color{#2e7d32}{\sigma^2})\quad (\color{#1976d2}{\mu \text{ 为均值}}, \color{#2e7d32}{\sigma \text{ 为标准差}})$

$3\sigma$ 原则区间概率：

• $P(\color{#1976d2}{\mu}-\color{#2e7d32}{\sigma} \le X \le \color{#1976d2}{\mu}+\color{#2e7d32}{\sigma}) \approx \color{#1976d2}{68.27\%} \approx 0.683$

• $P(\color{#1976d2}{\mu}-2\color{#2e7d32}{\sigma} \le X \le \color{#1976d2}{\mu}+2\color{#2e7d32}{\sigma}) \approx \color{#2e7d32}{95.45\%} \approx 0.954$

• $P(\color{#1976d2}{\mu}-3\color{#2e7d32}{\sigma} \le X \le \color{#1976d2}{\mu}+3\color{#2e7d32}{\sigma}) \approx \color{#d97706}{99.73\%} \approx 0.997$

对称割补口诀：中轴平分各一半（0.5）；双侧对称算单侧，总面积 1 减中间再除以 2！

自己试试：$X\sim N(10,9)$，$X$ 的标准差是？

B。括号里第二个数是方差 $\sigma^2=9$，标准差 $\sigma=\sqrt9=3$。选 A 是把方差当成了标准差，这是最常见的错；$10$ 是均值。

自己试试：$X\sim N(1,\sigma^2)$，$P(X<-1)=0.2$。$P(1<X<3)$ 是？

B。$-1$ 和 $3$ 关于 $x=1$ 对称，$P(X>3)=0.2$；$P(-1<X<3)=1-0.4=0.6$；$1$ 到 $3$ 是它的一半，$0.3$。选 C 的同学停在了 $0.6$，忘了只要右半边。

3. 三步破题思维链例题

典型例题：某市高三年级一模数学考试成绩 $X$ 服从正态分布 $N(100, 100)$。全市共有 10,000 名考生参加考试。
① 求数学成绩超过 110 分的考生占比及大约人数；
② 若已知 $P(X < 80) = 0.0228$，求数学成绩在 $[100, 120]$ 分之间的考生人数。

👀 第一眼破题信号： ① 看到 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，要求区间概率或分位点 → 想到标准化。
② 参数已给 → 想到先把方差开方得到 $\sigma$，再换成标准正态变量，利用对称性和查表。

🔧 第二步对称性割补求解：

• ① 求 $P(X > 110)$：
$110 = \mu + \sigma$。由 $3\sigma$ 原则，$P(90 \le X \le 110) \approx 0.6827$；
落在两边尾部的概率总和应如何由中间区间的概率求出？
按对称性，左右两侧尾部面积相等。请自行算出单侧超过 110 的概率，再乘以总人数估算人数。
• ② 求 $P(100 \le X \le 120)$：
由对称性，$P(X > 120) = P(X < 80) = 0.0228$；
而对称轴右半区总概率为 $P(X \ge 100) = 0.5$；
因此：
$$P(100 \le X \le 120) = P(X \ge 100) - P(X > 120) = 0.5 - 0.0228 = 0.4772$$ 考生人数为：$10000 \times 0.4772 = 4772\text{ 人}$。

🛡️ 第三步防坑结论核查：防坑 1：标准差是 $\sqrt{100}=10$，切勿把 100 直接当 $\sigma$；防坑 2：问②求的是 $[100, 120]$（半边对称区间），绝不能与整体对称区间 $[80, 120]$ 混淆（整体为 $1 - 2\times 0.0228 = 0.9544$，除以 2 正好为 0.4772）！

自己试试：$X\sim N(80,25)$，$P(X>85)$ 约是？

A。$\sigma=\sqrt{25}=5$，$85=\mu+\sigma$。$\mu\pm\sigma$ 外面一共约 $1-0.6827=0.3173$，右边一半约 $0.1587$。选 B 忘了除以 $2$；选 D 是错用了 $2\sigma$ 那一行。

4. 三大翻车现场红绿对比卡

翻车现场 1：把方差 $\sigma^2$ 误当成标准差 $\sigma$，未开方导致格点全盘移位

❌ 翻车：$X \sim N(80, 25)$，直接把 $\sigma$ 当作 25，认为 $\mu+\sigma = 105$。

✔ 自查：正态分布的标准形式是 $N(\mu, \sigma^2)$，第二项是方差！请先开方求标准差，再计算题目端点距离均值有几个标准差，不能直接把方差当作横轴上的距离。

翻车现场 2：单侧尾部概率忘记除以 2，两头尾巴当一头

❌ 翻车：求右侧尾部的概率时，用 1 减去中心对称区间的概率后就停止计算。

✔ 自查：这样得到的是左右两侧尾部的面积总和。曲线关于 $\mu$ 对称：只求右侧时，还要怎样处理？请先标出所求区域，再自行计算并核对结果是否小于半边总面积。

翻车现场 3：把曲线最高峰的高度 $f(\mu)$ 当成发生概率

❌ 翻车：当 $\sigma = 0.1$ 时，最高峰高度 $f(\mu) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\times 0.1} \approx 3.99$，误以为概率超过了 1 或这就是概率值。

✔ 正确：曲线上点的纵坐标是概率密度，绝不是概率值！连续型随机变量在任何单一点的概率都为 0（$P(X=x_0) = 0$），只有与 $x$ 轴围成的面积才代表概率。面积恒等于 1，而高度完全可以大于 1。

反例微图解：单尾概率除以 2（左右双尾面积对半拆分）直觉对比

先用 1 减去中心对称区间的概率，再按左右对称性分出一侧。请自行代入数值计算。

① 正态曲线：调 $\mu$、$\sigma$，拖 $a$、$b$ 看面积

拖横轴上的圆点 $a$、$b$（或选中后按方向键），阴影面积就是 $P(a<X<b)$。点下面的按钮一键设成 $\mu\pm\sigma$、$\mu\pm2\sigma$、$\mu\pm3\sigma$，再调 $\mu$、$\sigma$：面积不变。把 $\sigma$ 调到最小，看最高点有多高。

$\mu$

$\sigma$

② 进阶：增加样本有助于观察分布；$3\sigma$ 外也可能出现

下面的大米重量是电脑按 $N(500,2^2)$ 模拟出来的（所以我们知道它是正态；真实数据要先看图再决定能不能用正态）。拖动样本量，观察直方图的随机波动与整体形状；红点是落在 $\mu\pm3\sigma$（$494\sim506$ 克）外面的袋子。

样本量

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

1. $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，且 $P(X<1)=P(X>5)$。$\mu=$？

B。左边 $x<1$ 的尾巴和右边 $x>5$ 的尾巴一样大，说明 $1$ 和 $5$ 关于对称轴 $x=\mu$ 对称，$\mu=\dfrac{1+5}{2}=3$。选 D 是把 $1+5$ 忘了除以 $2$。

2. 某次考试 $1000$ 人参加，题目给出成绩 $X\sim N(100,10^2)$。$120$ 分以上的大约有多少人？

A。$\sigma=10$，$120=\mu+2\sigma$。$\mu\pm2\sigma$ 外约 $1-0.9545=0.0455$，右边一半约 $0.0228$，$1000\times0.0228\approx23$。选 B 没除以 $2$；选 C 用的是 $\mu+\sigma$ 那一行；选 D 用的是 $3\sigma$。

易错

3. $X\sim N(0,0.2^2)$，它的曲线在 $x=0$ 处最高，高约 $1.99$。$P(X=0)$ 是？

C。概率是面积，不是高度。$1.99$ 比 $1$ 还大，本来就不可能是概率。“$X=0$”只是一个点，没有宽度，面积为 $0$。

B 是 $P(X\le0)$，D 是 $P(-0.2\le X\le0.2)$，都是一段，不是一个点。

4. 某市居民月收入的直方图：左边一个高峰，右边拖着很长的尾巴。小明说：“收入服从正态分布，所以收入低于平均数的人正好占一半。”

B。用正态之前先问：是题目给的，还是数据支持的假设？这张图左右不对称，正态的“关于均值对称”不成立。少数很高的收入会把平均数往上拉，低于平均数的人往往超过一半。

C 也错：样本再多，也只是把原来的形状看得更清楚，歪的还是歪的。

5. 一条生产线上零件长度 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，一直运行正常。今天抽检，有一个零件落在 $\mu\pm3\sigma$ 外。下面哪个说法对？

B。$\mu\pm3\sigma$ 外的概率约 $0.0027$，很小但不是 $0$：正常机器做 $10000$ 个，平均也有二三十个落在外面。“几乎不可能”不等于“绝不发生”，一次异常是警报，不是证明。可以在“动手”②增加样本或换一批观察；有限一批也可能没有红点。

挑战

6. 某种灯泡的寿命 $X\sim N(1000,50^2)$（单位：小时，题设）。买一只，寿命在 $950\sim1100$ 小时之间的概率约是？

A。$\sigma=50$：$950=\mu-\sigma$，$1100=\mu+2\sigma$，左右不一样宽，以 $\mu=1000$ 为界拆成两块：

左块 $950\sim1000$ 是 $\mu\pm\sigma$ 的一半，约 $0.6827\div2=0.34135$；右块 $1000\sim1100$ 是 $\mu\pm2\sigma$ 的一半，约 $0.9545\div2=0.47725$。合计约 $0.8186$。

B、C 只用了一边的数；D 是 $P(X<1050)\approx0.5+0.34135$，区间看错了。

本节高考真题

共 5 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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本节精选

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重量（克）	袋数
低于 \(496\)	\(2\)
\(496\sim498\)	\(14\)
\(498\sim500\)	\(34\)
\(500\sim502\)	\(34\)
\(502\sim504\)	\(14\)
\(504\) 及以上	\(2\)