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七年级上册 · 综合与实践（第六章后）

综合与实践 设计学校田径运动会比赛场地

学校要画一条一圈 400 m 的跑道：弯道半径定多大，直道就得多长？200 m 比赛为什么起跑线要错开？外道到底比内道多跑多少？用小学的圆周长、刚学的一元一次方程和线段、角的知识，自己把场地设计出来。

本节导读　先修：5.3 实际问题与一元一次方程 · 6.3 角 · 本节路线

要用到：列一元一次方程解实际问题（回看 5.3）；线段、角和度的换算（回看 6.2、6.3）；整式的加减（回看 4.2）；小学的圆周长 \(C=2\pi r\)。

  1. 从两条跑道进入：外道一圈比内道多多少，和操场大小有没有关系？
  2. 认识跑道的组成：两条直道 + 两个半圆弯道，写出一圈的长度。
  3. 定下半径，列方程求直道长；再看半径能取多大、至少要多大。
  4. 算出每条跑道一圈多出的长度，解释起跑线为什么要“前伸”。
  5. 用“占整圆的几分之几”算弯道上一段的长。
  6. 动手设计场地，再做练习与巩固题。

操场上有里外两条跑道。里道的跑动线一圈正好 \(400\) m，外道的跑动线在它外面 \(1\) m（直道一样长，弯道半径大 \(1\) m）。点按钮换三种不同大小的操场，看外道一圈多出多少：

如果两条跑动线相距 \(1.22\) m（π 取 \(3.14\)），外道一圈比里道多约多少米？

C。直道一样长，多出的全在两个弯道：两个半圆合起来是一个整圆，外圆周长比内圆多 \(2\pi\times1.22\approx2\times3.14\times1.22\approx7.66\) m。三种操场多出的都一样，所以 D 不对；A、B 只算了半径之差，没乘 \(\pi\)。

1. 先认识几个词：直道、弯道、跑动线、道宽、前伸数

前置知识：一元一次方程（回看 5.3）；小学的圆周长 \(C=2\pi r\)。本页 π 一律取 \(3.14\)，长度单位都是米。

直觉微图解 ①一圈 = 两条直道 + 两个半圆（合起来一个整圆）

\(\underbrace{2L}_{\text{两条直道}}+\underbrace{2\pi r}_{\text{两个半圆弯道}}=\underbrace{400}_{\text{一圈}}\)

\(L\) 是一条直道的长，\(r\) 是第 1 道跑动线的弯道半径。定下其中一个，就能列一元一次方程求另一个。

核心概念 ②半径越大，直道越短

一圈总长固定为 \(400\) m。弯道半径大，弯道就长，留给直道的就少：\(r=30\) 时 \(L=105.8\)；\(r=42\) 时 \(L=68.12\)。

核心概念 ③半径不能随便取

直道长必须是正数，所以弯道一圈 \(2\pi r\) 必须小于 \(400\)；内场还要放下球场，半径又不能太小。设计就是在这两头之间选。

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

设计一圈 \(400\) m 的跑道，第 1 道跑动线的弯道半径取 \(36\) m。每条直道应该多长？

① 读懂题意：已知一圈 \(400\)、半径 \(36\)，求直道长 \(L\)。

提示 1：等量关系是什么

两条直道 + 两个半圆弯道 = \(400\)。两个半圆合起来是一个半径 \(36\) 的整圆。

看完整示范
② 想办法：设每条直道长 \(L\) m，列方程 \(2L+2\times3.14\times36=400\)。
③ 执行：\(2\times3.14\times36=226.08\)，\(2L=400-226.08=173.92\)，\(L=86.96\)。
执行中检查：\(2\times86.96+226.08=173.92+226.08=400\) ✓；\(L\) 是正数 ✓。

④ 回头看：如果只加了一个半圆，会算出 \(L=(400-113.04)\div2=143.48\)，一圈就变成了 \(513\) m 左右——验算一下马上就能发现。

自己试试 1：一圈 \(400\) m，弯道半径改成 \(35\) m，每条直道长多少米？

A。\(2L+2\times3.14\times35=400\)，\(2L=400-219.8=180.2\)，\(L=90.1\)。B 忘了除以 \(2\)（那是两条直道的总长）；C 只算了一个半圆；D 是一个半圆弯道的长 \(3.14\times35\)。

2. 核心点：外道多出多少——只和道宽、道次有关

直觉微图解 ②第 \(n\) 道一圈比第 1 道多多少

例 2（示范：为什么和操场大小无关）

第 1 道弯道半径是 \(r\)，道宽 \(1.22\) m。第 \(n\) 道一圈比第 1 道多多少？

提示：第 \(n\) 道的半径

每往外一道，半径加一个道宽：第 \(n\) 道的半径是 \(r+(n-1)\times1.22\)。直道长度不变。

看完整示范
想办法：两圈长度相减，直道部分 \(2L\) 抵消，只剩弯道的差。
执行：\([2L+2\pi(r+(n-1)\times1.22)]-(2L+2\pi r)=2\pi\times(n-1)\times1.22\)。
检查：\(n=1\) 时多出 \(0\) ✓；\(n=2\) 时 \(2\times3.14\times1.22\approx7.66\)，和“从例子进入”一致 ✓。结果里没有 \(r\) 和 \(L\)。

自己试试 2：\(200\) m 比赛只跑一个弯道加一条直道。为了路程相同，第 3 道的起跑线要比第 1 道往前移约多少米？（道宽 \(1.22\) m）

A。一个半圆弯道多出 \(\pi\times(3-1)\times1.22\approx3.14\times2.44\approx7.66\)。B 按两个弯道算了，那是 \(400\) m 的前伸数；C 只算了半径差，没乘 \(\pi\)；D 忽略了外道弯道更长。

3. 核心点：弯道上的一段——按“占整圆的几分之几”算

直觉微图解 ③转过的角是整圆 \(360^\circ\) 的几分之几，弧就是整个圆周的几分之几

自己试试 3：一圈 \(400\) m 的跑道，弯道半径最大不能达到约多少米？

A。直道长要大于 \(0\)，就要 \(2\times3.14\times r\) 小于 \(400\)。当 \(2\times3.14\times r=400\) 时 \(r=400\div6.28\approx63.69\)，这时直道长为 \(0\)，跑道变成一个圆；半径再大，一圈就超过 \(400\) m 了。B 是用 \(400\div3.14\) 算的（只算了一个半圆）；C 是随手猜的；D 忽略了直道长不能为负。

4. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）一圈只算了一个半圆
❌ 典型错解：\(2L+\pi r=400\)。
✅ 一眼看清：跑道两头各有一个半圆，两个半圆拼起来是一整个圆：\(2L+2\pi r=400\)。
翻车现场 ②前伸数用了 \(n\) 个道宽，或者忘乘 \(\pi\)
❌ 典型错解：把道次直接当作相隔的道宽数，或者只算半径差就当作前伸数。
✅ 一眼看清：两条跑动线相隔几个道宽？比赛经过几个半圆弯道？半径差怎样换成弧长差？画图、列式并检查单位。
翻车现场 ③把直径当半径
❌ 典型错解：弯道“宽 72 m”，代入 \(2\pi\times72\)。
✅ 一眼看清：两条直道相距 \(72\) m 是直径，半径是 \(36\)：整圆周长 \(\pi\times72=2\pi\times36=226.08\)。
边界与前提：本页做了哪些简化

① 每条跑道的跑动线都取在这条道的内沿上，相邻跑动线相距一个道宽 \(1.22\) m。正式比赛规则里，第 1 道和其他道的跑动线离内沿的距离并不相同，具体数值会有一点出入，但“多出的长度只和道宽、道次有关”这个结论不变。② π 取 \(3.14\)，结果保留两位小数，都是近似值。③ “内场要放下宽 \(68\) m 的球场”是本页给的设计要求，所以要 \(2r\ge68\)，即 \(r\) 不小于 \(34\)。④ 半径还要保证直道长为正：\(r\) 小于约 \(63.69\)。

再深一点：圆形跑道合适吗？

同为400 m，圆形与两直两弯怎样安排直道和球场？

想好后看解释

圆周没有直道；两直两弯可留直道与内场。能否放下球场，还须核对场地长宽、直道长和弯道半径。

① 定半径，求直道

拖动滑块改变第 1 道跑动线的弯道半径 \(r\)。一圈固定 \(400\) m，直道长由方程 \(2L+2\times3.14\times r=400\) 算出；虚线框是宽 \(68\) m 的内场要求。

36

② 进阶：画出各道的起跑点

弯道半径 \(36\) m、8 条跑道、道宽 \(1.22\) m。选比赛项目，拖动滑块选第几道，图上标出第 1 道和这一道的起点（终点都在右下角）。

5

③ 项目工作台：从测量到比例图，再修改方案

先定任务，再测量。可用学校允许测量的空地，也可用下面的虚拟数据练习。网页只核对简化模型的计算与矩形预留区，不代表你已经实测、施划或获得场地安全认证。原活动的“各跑动线取内沿”及 7.66 m 结论继续适用。

实测和查规格任务单（先在纸上记，再输入）
  1. 建议 5～8 人分工：测量、复测、记录、计算、绘图和汇报；独立练习时依次承担各角色。先与体育教师确认可测区域和禁入区域。
  2. 查赛事采用的现行官方规则/场地资料，记录机构、文件名、日期或版本、页码/链接、测量线位置、道宽、跳远和投掷区要求。分清“内沿半径”和“测量线半径”：正式场地第 1 道与其他道的测量线偏移不同，不能直接用本页内沿模型核定真实 400 m 或第 1、2 道前伸数。未查证的数值只作假设，标明待核。
  3. 用卷尺沿两条互相垂直的方向量可用空地的长、宽，绕开固定障碍；各复测一次。记录两次数据、单位、差值和采用值，差异明显就重新量，不把网页默认数当实测结果。不规则场地先取完全位于可用区域内的长方形。
① 测量和跑道假设
② 先算比例尺，再画图

用横向纸面中 26 cm × 18 cm 的可画区域，长对应横向。比例尺 1∶N 的两边必须同单位：图上厘米数 = 实际米数 × 100 ÷ N。先选 N 并手算空地在纸上的长、宽，再输入核对；可换任意正数 N。本屏示意图会缩放到屏幕，不能拿屏幕上的厘米直接测量。

结果四舍五入到 0.1 cm；核对容差 0.05 cm。先在纸上画空地边框，再画两圆心间距 L、半径 r、两直道及各道外沿；标比例尺、单位、尺寸、方向和图例。这里不要求尺规作图。

③ 田赛与统筹布局

在两条直道之间的中央长方形（长 L、宽 2r）内安排两个矩形预留区。以其左上角为原点，x 向右、y 向下，长度都用 m；x、y 表示预留区左上角。预留区须包含该项目需要的全部设施、助跑、落地区和经教师确认的安全空间，尺寸由你查资料后选定。投掷区只是占地包络框，不是正式扇形场地图，也不能以“框内放得下”代替安全判断。

田赛纸图：形状、规格与统筹

同一纸图补齐：跳远沙坑用长方形，铅球投掷圈用圆、落地区用扇形的一部分，跳高助跑区用半圆；包络框不代替形状。

自选规格、注明单位，长宽和半径为正；自定数值标“示意假设”。规则数据按上方方法记官方来源与位置；未查到标待核，不猜规格或安全空间。

纸图自核：不自动判对
  1. 全部长度沿用同一比例尺并统一单位；直径除2得半径，角度不缩小，扇形不取零角或整周。量图反算核标注。
  2. 从投掷圈心画扇形界线，分开标圈与落地区；半圆标直径边及助跑方向。将四部分与跑道、原包络和通道统筹，另标跳高占地；越界或冲突就移位、减项目或分时，写清清场、搬移与隔离。
  3. 网页仍只核跑道、两个矩形包络及比例换算，不检查本栏形状、文字或纸图。本人/同伴自核，正式规格和安全请体育教师核对，本示意不作认证。
请先填图上尺寸，再核对。文字理由由你和同伴按下方标准讨论，网页不把自由表达判成对错。
从比例图到纸笔施划：起跑线与田赛场地
  1. 先在纸上按选定比例尺画出自己的方案，核对 r、L、总占地、每个预留区的长宽位置；用直尺量图上尺寸，乘 N 后换算回 m，与输入值互查。
  2. 用上面活动②计算选定道次在 200 m、400 m 时的前伸数，写明比较的是哪些内沿线、经过几个半圆。纸上先定终点及第 1 道起点，再沿相应跑动线从基准起点向跑进方向量前伸距离，画各道起跑线；不要把弧长当直线弦长。
  3. 在允许的空地可先做缩小模型：用绳作半径画两半圆、卷尺定两圆心和直道，核对连接处；弧上可用柔软卷尺或不伸长的绳沿线量距。实际学校场地须由体育教师核对正式测量线和安全要求后指导施划，网页的简化图不作为真实比赛划线依据。
  4. 田赛纸图先标助跑方向、起跳/投掷位置、落地区和安全边界，再用矩形包络框核对占地；扇形只按查到的角度用量角器画，不要求扇形面积公式。把器材、进出通道及观众区域补到纸图，若冲突就移位、缩减项目或分时使用。

④ 点评 → 修改 → 重新核对

与同伴交换纸图（独立练习时隔一会儿再自查）：①原始数据与单位能追溯吗？②图上尺寸乘比例尺能还原吗？③跑道和田赛区是否越界/重叠，真实安全要求是否另行核对？④起跑线是沿弧量前伸吗？提出一条具体修改意见，改上方数据后再次核对。

完成两次核对后，可查看尺寸、比例尺和布局的变化。

研究报告写：问题与分工、资料来源与待核项、两次测量及采用值、计算与比例图、布局理由、点评与修改前后结果，再提出一个新问题（如增加两条跑道后是否仍放得下）并检验。输入和最近两次核对只在本页内存中，刷新即清除；请把需要的报告记在自己的纸上，不填写个人信息。

从易到难排好了。π 取 \(3.14\)。卡住时先展开提示。

直接用

1. 一圈 \(400\) m 的跑道，弯道半径 \(40\) m，每条直道长多少米？

A。\(2L=400-2\times3.14\times40=400-251.2=148.8\)，\(L=74.4\)。B 是两条直道的总长；C 只减了一个半圆；D 是一个半圆弯道的长。

2. 另一所学校的跑道道宽是 \(1.25\) m。第 5 道跑一整圈，比第 1 道多跑多少米？

A。\(2\times3.14\times(5-1)\times1.25=31.4\)。B 只算了一个弯道；C 用了 \(5\) 个道宽；D 是半径之差 \(4\times1.25\)，没乘 \(2\pi\)。

易错

3. 小华说：“大操场弯道半径大，所以外道比内道一圈多出的长度也更大。”他说得对吗？

提示

把两圈的长度相减，看结果里还有没有半径 \(r\)。

B。相减后 \(2L\) 和 \(2\pi r\) 都抵消了，只剩 \(2\pi\times(\text{相差道数})\times(\text{道宽})\)。A、C 以为结果和 \(r\) 有关；D 忽略了外道弯道半径更大。

4. 运动员沿半径 \(36\) m 的弯道跑过了 \(90^\circ\)（四分之一个整圆）。跑了多少米？

提示

\(90^\circ\) 是 \(360^\circ\) 的几分之几？整圆周长是多少？

A。\(90^\circ\) 是整圆的 \(\frac14\)，整圆周长 \(2\times3.14\times36=226.08\)，\(226.08\div4=56.52\)。B 是半圆（\(180^\circ\)）；C 是把 \(90^\circ\) 当成半圆的 \(\frac14\)；D 把度数当成了米数。

挑战

5. 设计一条小跑道，一圈 \(257\) m，要求每条直道长正好是弯道半径的 \(2\) 倍。弯道半径是多少米？

提示 1：设什么

设弯道半径为 \(r\) m，那么每条直道长 \(2r\) m。

提示 2：列方程

两条直道 \(2\times2r\)，两个半圆 \(2\times3.14\times r\)，加起来等于 \(257\)。

A。\(4r+6.28r=257\)，\(10.28r=257\)，\(r=25\)；直道 \(50\) m。验算 \(2\times50+2\times3.14\times25=100+157=257\) ✓。B 是直道长；C 是把两条直道算成了 \(2r\)（\(8.28r=257\)）；D 是把关系弄反了，当成半径是直道的 \(2\) 倍（\(r+6.28r=257\)）。

巩固练习 1：学校设计一圈 \(400\) m 的跑道，由两条相等的直道和两个半圆弯道组成，第 1 道跑动线的弯道半径为 \(38\) m．若 \(\pi\) 取 \(3.14\)，每条直道的长约为（　）

A。设每条直道长 \(L\) m．两个半圆弯道合起来是一个整圆，列方程 \(2L+2\times3.14\times38=400\)，即 \(2L+238.64=400\)，\(2L=161.36\)，\(L=80.68\)．故选 A．

巩固练习 2：某跑道共 6 条，相邻两条跑动线相距 \(1.2\) m，各道直道长度相同．\(200\) m 比赛只经过一个半圆弯道，为使各道路程相同，第 6 道的起跑线应比第 1 道向前移________m（\(\pi\) 取 \(3.14\)）．

查看答案与解析，自行核对

答案：\(18.84\)

第 6 道弯道半径比第 1 道大 \((6-1)\times1.2=6\) m．一个半圆弯道多出 \(\pi\times6=3.14\times6=18.84\) m，所以起跑线前移 \(18.84\) m．

巩固练习 3：一条一圈 \(300\) m 的小跑道，两条直道各长 \(60\) m，其余是两个相同的半圆弯道．若 \(\pi\) 取 \(3.14\)，弯道跑动线的半径约为（　）

A。设弯道半径为 \(r\) m．\(2\times60+2\times3.14\times r=300\)，\(6.28r=180\)，\(r=180\div6.28\approx28.66\)．故选 A．

本节中考真题

共 1 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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