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综合与实践 进位制的认识与探究
我们天天用“满十进一”，可钟表是“满六十进一”，电脑里只有 0 和 1。同样写成“101”，在不同的进制里代表的数并不一样。这一页用乘方把“位值”说清楚，学会几种进制之间怎样互相换算。
本节导读 先修：2.3 有理数的乘方 · 本节路线
要用到：乘方 \(10^3\)、\(2^5\) 的意义（回看 2.3）；有理数的乘法和加法（回看 2.2）；小学的“带余数除法”。
- 从一排灯进入：几盏灯能表示几个不同的数？
- 把十进制数拆开：每一位的数码 × 这一位的位值，再相加。
- 换成“满 \(k\) 进一”：认识二进制、五进制等，把它们化成十进制。
- 反过来：用“除以 \(k\) 取余数，再倒着写”把十进制数化成 \(k\) 进制，并说清为什么。
- 看生活：时、分、秒里的六十进制；先查清“数码必须小于基数”等边界。
- 动手拨灯、换算，再做练习与巩固题。
一排小灯，每盏只有“亮”“灭”两种状态。把亮记成 1、灭记成 0，一种亮灭方式就代表一个数。先点按钮，看 1 盏、2 盏、3 盏灯各有几种亮灭方式：
照这个规律，4 盏灯一共有多少种不同的亮灭方式（全灭也算一种）？
D。每多一盏灯，原来的每种方式都能再配“亮”或“灭”，种数翻一倍：\(2\times2\times2\times2=2^4=16\)。A 只数了灯的盏数；B 是 3 盏灯的种数；C 漏掉了“全灭”。把这 16 种方式依次对应 \(0,1,2,\dots,15\)，就是本页的主角——二进制。
1. 先认识几个词：位值、进制、基数、数码
前置知识：乘方（回看 2.3）。\(10^3=1000\)，\(2^4=16\)；另外规定任何一个数位最右边那一位的位值是 \(1\)。
- 数码：写数时用的单个符号。十进制用 \(0\sim9\) 这十个数码。
- 位值：同一个数码放在不同的位置上，代表的大小不同。十进制从右往左，各位的位值依次是 \(1,\ 10,\ 10^2,\ 10^3,\ \dots\)。
- 进制与基数：“满几进一”就叫几进制，这个“几”叫基数。满二进一是二进制，满五进一是五进制。本页的基数都是不小于 \(2\) 的整数，只讨论 \(0\) 和正整数。
- 记法：为了不和十进制混淆，把五进制的“213”写成 \((213)_5\)，二进制的“1011”写成 \((1011)_2\)。不加括号和下标的数，都是十进制。
直觉微图解 ①十进制数“拆开”：数码 × 位值，再相加
核心概念 ②满 \(k\) 进一
\(k\) 进制只用 \(0,1,\dots,k-1\) 这 \(k\) 个数码；从右往左各位的位值是 \(1,\ k,\ k^2,\ k^3,\ \dots\)。二进制只有 \(0\)、\(1\)，位值是 \(1,2,4,8,16,\dots\)。
核心概念 ③数码相同，数可以不同
“\(101\)”在十进制里是一百零一；在二进制里是 \(1\times4+0\times2+1=5\)。读 \((101)_2\) 时要读成“二进制的一零一”，不能读成“一百零一”。
2. 核心点：\(k\) 进制化成十进制——按位展开
每一位的数码乘这一位的位值，全部加起来，就是这个数在十进制里的值。
直觉微图解 ②同一串数码“121”，换个进制换个数
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
把 \((10110)_2\) 和 \((3021)_4\) 化成十进制数。
① 读懂题意：第一个是二进制，位值 \(1,2,4,8,16\)；第二个是四进制，位值 \(1,4,16,64\)。
提示 1：先给每一位标位值
从最右边开始标：最右一位的位值是 \(1\)，往左每一位都乘一次基数。\((10110)_2\) 有 5 位，最左一位的位值是 \(2^4=16\)。
看完整示范
④ 回头看：二进制位数多但数不大——5 位二进制最大才 \((11111)_2=31\)。基数越小，写同一个数要的位数越多。
自己试试 1：\((1101)_2\) 等于十进制的多少？
A。\(1\times8+1\times4+0\times2+1\times1=13\)。B 是没换算，直接当十进制读了；C 是把位值顺序弄反（从左边开始标 \(1\)），算成 \(1+2+8=11\)；D 是把最右一位的位值当成了 \(2\)。
3. 核心点：十进制化成 \(k\) 进制——除以 \(k\) 取余，倒着写
想象有 \(45\) 颗珠子，每 \(2\) 颗装一小袋：装成 \(22\) 袋，余 \(1\) 颗——这个 \(1\) 就是二进制的最右一位。再把 \(22\) 袋每 \(2\) 袋装一盒：\(11\) 盒，余 \(0\) 袋——这是第二位（每袋 \(2\) 颗）。一直装下去，直到装不满为止。先得到的余数是低位，后得到的是高位，所以要倒着写。
直觉微图解 ③45 连续除以基数，余数倒着读
例 2（示范）
把 \(100\) 化成三进制数，并检验。
提示：什么时候停
一直除以 \(3\)，直到商为 \(0\) 才停；每一步记下余数，余数只能是 \(0\)、\(1\)、\(2\)。
看完整示范
回头看：如果从上往下读成 \((10201)_3\) 碰巧一样——这是因为它左右对称！换成 \(45=(1200)_3\) 就看得出：顺着读成 \((0021)_3\) 就错了。
自己试试 2：把 \(20\) 化成二进制数。
A。\(20\to10\to5\to2\to1\to0\)，余数依次是 \(0,0,1,0,1\)，倒着写 \(10100\)；检验 \(16+4=20\) ✓。B 是没倒过来；C 是 \(16+2=18\)；D 是 \(16+8=24\)。
4. 生活里的进制：时、分、秒
\(60\) 秒进 \(1\) 分，\(60\) 分进 \(1\) 时——计时用的是六十进制；而 \(24\) 时进 \(1\) 天、\(12\) 个月进 \(1\) 年，又是别的进制。所以“时间”是几种进制混在一起用的。
直觉微图解 ④把秒数换成“几时几分几秒”
自己试试 3：下面哪一个不可能是四进制数的写法？
D。四进制满 \(4\) 就要进一，数码只能是 \(0,1,2,3\)；D 里出现了 \(4\) 和 \(5\)。A、B、C 的每个数码都小于 \(4\)，都可以。
5. 用之前必查：三大翻车现场
边界与前提：本页约定了什么
① 基数是不小于 \(2\) 的整数（“满一进一”没有意义）；② 只讨论 \(0\) 和正整数，不讨论负数和小数在其他进制下的写法；③ 一个正整数在 \(k\) 进制下的写法是唯一的，前提是最高位不写 \(0\)（\((0101)_2\) 和 \((101)_2\) 是同一个数，习惯上写后者）；④ 每个数码都要小于基数。
再深一点（可以先跳过）：两种电路状态怎样表示数？
电路容易区分高、低两种电压状态。怎样用它们对应二进制的数码？想表示十进制数 2 时，一个这样的数码位置够吗？
想好后看解释
电路里“通电/断电”“高电压/低电压”天然是两种状态，正好对应 \(1\) 和 \(0\)。只要两种状态分得清，就不容易出错。我们在电脑上看到的十进制数字，是电脑算完以后换算给人看的。
单个位置只有两种状态，不能同时区分 0、1、2；\((2)_{10}=(10)_2\)，需要两个数码位置。
① 拨灯：六盏二进制灯
点灯（或点下面的按钮）让它亮或灭。每盏灯上方是它的位值；亮的灯把位值加起来，就是这排灯代表的十进制数。
② 进阶：任选一个数，化成任意进制
拖动滑块选数 \(n\)（\(0\sim255\)）和基数 \(k\)（\(2\sim9\)）。表格是“除以 \(k\) 取余”的过程，图里把结果的每一位、位值和乘积排好，用来检验。
③ 项目：二进制怎样做加法？
先自己提出一个可检验的问题，例如“两数相加时，进位会不会连续传到左边？”小组用下面的工作台检验，再用位值转换的方法复核。输入和操作只在本页暂存，刷新即清除；需要保存时请在纸上记录。
项目任务页：分工、查资料与交流（约三课时）
- 提出问题（5 分钟）：每人写一个关于进位的问题，小组选一个；先写预测及理由，不先看计算结果。
- 分工查证（15 分钟）：计算员做逐位加法；复核员独立按位值转换后相加；资料员查找教材、图书或可信网站中“两种电路状态”和二进制的联系，记录书名页码或网址、作者、查阅日期；汇报员记录分歧。每换一题轮换角色，独学时依次担任四种角色。
- 数学实验（20 分钟）：完成默认题，再自选不进位、连续进位、含零或位数不同的例子。逐列记下“两个数码＋传入进位＝本位数码＋2×传出进位”，用两种算法算同一题。若结果不一致，定位第一列差异并重试。
- 文化推理（15 分钟）：自画三个位置的图案，每个位置可用实线或断线。约定实线记 1、断线记 0，并约定左边为高位，列出全部图案，按二进制转成十进制排序。交换两种线的记号后，同一图案的数会怎样改变？用一例检验。查找八卦图案资料，区分“现代的二进制编码类比”与“历史上就采用该算法”的主张；后者须有独立史料支持，不能仅凭图形相似下结论。
- 结论交流（每组 3 分钟）：纸上报告按“问题—预测—资料出处—两种算法的完整过程—反例或修正—结论”组织。另一组追问一次“为什么要进位”和一次“结论适用哪些数”；据此修改报告。
自检准则：能否指出每次传入的进位来自哪列？最高位溢出是否保留？两种算法是否一致？至少三类例子支持结论了吗？每人是否完成一次计算及解释？资料中的事实与自己的推断是否分开？报告不能替代下方的实际运算。
规则卡：从右往左，短的数在左边补 0。每列把两个数码和右列传来的进位相加，得到十进制小计 t：本位写 t 除以 2 的余数，向左进 t 除以 2 的整数商。小计可能是 0、1、2、3；因此本位与传出进位都只能是 0 或 1。最后若还有进位，要添在最左端。
| 位值 | 数码甲 | 数码乙 | 传入 | 本位 | 传出 |
|---|
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. \((11001)_2\) 化成十进制是多少？
A。\(16+8+1=25\)。B 没换算；C 是位值从左边开始标：\(1+2+16=19\)；D 是把最右一位的位值当成 \(2\)。
2. 把 \(37\) 化成二进制数。
A。\(37=32+4+1\)，所以是 \((100101)_2\)。B 是余数没倒过来写（\(=41\)）；C 是 \(32+4+2=38\)；D 是 \(32+16+1=49\)。
易错
3. 某个进制里写作 \((12)_k\) 的数，等于十进制的 \(7\)。基数 \(k\) 是多少？
提示
\((12)_k\) 是“\(1\) 个 \(k\) 再加 \(2\)”。哪个数加 \(2\) 得 \(7\)？算出来以后，再查一查数码 \(2\) 在这个进制里能不能用。
A。\(1\times k+2=7\)，所以 \(k=5\)；五进制的数码可以是 \(0\sim4\)，\(2\) 合法 ✓。B 把 \(7\) 当成了基数；C 是二进制，但二进制没有数码 \(2\)；D：\(k=5\) 是符合要求的。
4. 三进制里的三位数（最高位不为 \(0\)），最大的和最小的化成十进制分别是多少？
提示
三进制每位最大是 \(2\)；三位数的最高位不能是 \(0\)，最小只能是 \(1\)。
A。最大 \((222)_3=18+6+2=26\)，最小 \((100)_3=9\)。B 没换算；C 的 \(27=(1000)_3\) 已经是四位数；D 把 \((000)_3\) 当成三位数，但最高位为 \(0\) 不算三位数。
挑战
5. 有 \(1\) 克、\(2\) 克、\(4\) 克、\(8\) 克、\(16\) 克的砝码各一个，只能放在天平的同一边。用它们最多能称出从 \(1\) 克到多少克的每一个整克数？
提示 1：每个砝码只有两种情况
每个砝码“用”或“不用”——像灯的“亮”和“灭”。
提示 2：最大能称多少
全用上是 \((11111)_2\)。从 \(1\) 到它之间的每个数，都能写成二进制吗？
A。\(1\sim31\) 之间的每个整数都能唯一地写成 5 位以内的二进制数，“是 \(1\) 的位”对应要用的砝码，例如 \(13=(1101)_2=8+4+1\)。全部用上是 \(1+2+4+8+16=31\)，称不出 \(32\)。B 是最大的单个砝码；C 要 \((100000)_2\)，需要 \(32\) 克砝码；D 是砝码个数。
巩固练习 1：把四进制数 \((2103)_4\) 化成十进制数，结果是（ ）
A。四进制从右往左各位的位值依次是 \(1,4,4^2=16,4^3=64\)。\((2103)_4=2\times64+1\times16+0\times4+3\times1=128+16+0+3=147\)，故选 A。
巩固练习 2：把十进制数 \(100\) 化成五进制数，结果是________．
查看答案与解析，自行核对
答案：\((400)_5\)
\(100\div5=20\)，余 \(0\)；\(20\div5=4\)，余 \(0\)；\(4\div5=0\)，余 \(4\)。余数倒着写，得 \(100=(400)_5\)。
巩固练习 3：某个数在 \(k\) 进制下写作 \((33)_k\)，它等于十进制的 \(27\)，那么 \(k\) 等于（ ）
A。\((33)_k=3\times k+3\)。由 \(3\times k+3=27\) 得 \(3\times k=24\)，\(k=8\)。再检查：数码 \(3\) 小于 \(8\)，写法合法。故选 A。
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先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 二下第1单元 · 有余数的除法带余除法 $a=bq+r\ (0\le r<b)$ 反复取余的过程，正是将十进制数转化为二进制或 $k$ 进制数的“除基取余法”。
一试延伸（入门 F1–F2）
学有余力可以试试竞赛入门。下面的一试专题（限定 F1–F2 入门梯度）可以直接从本节出发：
- 一试 · 数论（F1–F2）进位制展开式与带余除法是初等数论中整除判别法（如 $3,9,11$ 的整除特征）、数位和及同余分析的直接入门台阶。