培玉 · 初中数学← 返回主页九年级下册· 第三十四章 投影与视图
34.3 课题学习 制作立体模型
给你一组三视图，能不能用一张硬纸板把这个几何体做出来？这一节把“看三视图 → 画展开图 → 做模型 → 核对”走一遍：关键是算准展开图里每条边多长、扇形的圆心角多大。
说明：新版九下 2027 春才出版，本节先按旧版教材（原九下第二十九章 29.3）编排，出版后再对表。
本节导读 先修：6.1 展开图、20.1 勾股定理、29.3 扇形、34.2 三视图 · 本节路线
要用到：正方体、长方体的展开图（回看 6.1）；勾股定理（回看 20.1）；弧长 \(\dfrac{n\pi R}{180}\) 和圆锥侧面积 \(\pi rl\)（回看 29.3）；由三视图想象几何体（回看 34.2）。
- 从纸片围圆锥进入：同一张圆纸片，留下的扇形不同，圆锥高矮就不同。
- 做模型四步：看三视图 → 列尺寸表 → 画展开图 → 剪、折、粘后核对。
- 直棱柱、圆柱：侧面展开是矩形，长 = 底面周长，宽 = 高。
- 圆锥：侧面展开是扇形，半径 = 母线 \(l\)，圆心角 \(n=\dfrac{360r}{l}\)。
- 正方体的展开图有 11 种；“六个正方形”不一定折得成正方体。
- 动手：调圆锥、柱体的尺寸看展开图；在方格上拼正方体展开图。
一张半径 10 cm 的圆形纸片，剪掉一个扇形，把剩下的扇形卷起来、两条半径粘在一起，就围成一个没有底的圆锥。点按钮换留下的扇形：
留下的扇形越大，围成的圆锥会怎样？
B。扇形的半径 10 cm 变成圆锥的“斜边”，一直不变；扇形的弧变成底面圆的一周。扇形越大，弧越长，底面越大；斜边一样长、底面越大，圆锥就越矮。C 把斜边当成了高。
反过来：要做一个指定大小的圆锥，扇形该剪多大？这一节就来算展开图。
1. 先认识几个词：展开图、母线、尺寸表
把立体图形的表面沿一些棱（或线）剪开、铺平，得到的平面图形叫它的展开图（回看 6.1）。圆锥的顶点和底面圆周上任意一点连成的线段叫母线，长记作 \(l\)；底面半径记作 \(r\)，高记作 \(h\)。做模型分四步：看三视图 → 列尺寸表 → 画展开图 → 剪、折、粘并核对。点按钮看三种几何体：
直觉微图解 ①三视图读尺寸，展开图用尺寸
核心概念 ②三视图是“看”，展开图是“剪开铺平”
三视图用来读长、宽、高（或 \(r,h\)）；展开图是表面摊平后的真实形状。圆锥的主视图是三角形，侧面展开却是扇形。
核心概念 ③做模型的两条硬规则
展开图里要粘在一起的两条边必须一样长；粘贴用的“舌头”另外加在边上，不算进表面积。
自己试试：一个几何体的主视图、左视图都是底边 8、高 3 的等腰三角形，俯视图是带圆心的圆。做一个带底的纸模型，展开图由什么组成？
C。这是圆锥，\(r=4\)，\(h=3\)，母线 \(l=\sqrt{4^2+3^2}=5\)，侧面展开是半径 5 的扇形，再加一个半径 4 的底面圆。A 把主视图当成了侧面展开图；B 是圆柱的展开图；D 以为扇形一定是半圆，其实圆心角 \(n=\dfrac{360\times4}{5}=288^\circ\)。
2. 核心点：直棱柱、圆柱的侧面展开是矩形
再加两个和底面一样的面。圆柱：长 \(=2\pi r\)。
为什么：沿一条竖直的侧棱（圆柱沿一条竖直的线）剪开铺平，底面一圈的边连成一条线段，长度就是底面周长；竖直方向没变，还是高。
直觉微图解 ②底面一圈的边，摊开排成矩形的长
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：由三视图做直三棱柱）
一个几何体的俯视图是两条直角边分别为 6 cm、8 cm 的直角三角形，主视图是 8 cm × 5 cm 的矩形，左视图是 6 cm × 5 cm 的矩形。(1) 它的侧面展开矩形长、宽各是多少？(2) 不计舌头，做这个模型要用多少平方厘米的纸？
① 读懂题意：俯视图是三角形、另两个视图是矩形 → 直三棱柱，高 5 cm。列尺寸表：底面三边、高。
提示 1：哪条边长还没标出
俯视图中的底面三角形按原长投影，但题目只标出两条直角边 6、8，斜边长还没标出，要用勾股定理算。
看完整示范
④ 回头看：俯视图中斜边按原长出现，长度却没有标出；要先算出这条边长，才能确定底面周长和侧面展开矩形的长。舌头是做模型时额外加的，不算面积。
自己试试：圆柱的底面半径 2 cm、高 5 cm，它的侧面展开矩形是：
D。长 = 底面周长 \(2\pi\times2=4\pi\)，宽 = 高 5。A 把周长算成了 \(\pi r=2\pi\)；B 把直径 4 当成了长，忘了乘 \(\pi\)；C 把宽取成了半径。
3. 核心点：圆锥的侧面展开是扇形
扇形半径 = 母线 \(l\)；扇形弧长 = 底面周长 \(2\pi r\)。还要 \(r\lt l\)，所以 \(n\lt 360\)。
为什么：沿一条母线剪开，扇形的两条半径就是这条母线，所以扇形半径是 \(l\)；扇形的弧围成底面圆，弧长 = \(2\pi r\)。由 \(\dfrac{n\pi l}{180}=2\pi r\) 得 \(n=\dfrac{360r}{l}\)。高垂直于底面，母线、高、底面半径围成直角三角形，所以 \(l^2=r^2+h^2\)。侧面积就是扇形面积 \(\pi rl\)（29.3）。
直觉微图解 ③r 和 l 的比决定扇形开多大
例 2（示范：由三视图做圆锥）
一个圆锥的主视图是底边 12 cm、高 8 cm 的等腰三角形。要用纸板做一个带底的模型：(1) 侧面扇形的半径和圆心角各是多少？(2) 不计舌头，要用多少纸？
提示：尺寸表先列 r、h、l
主视图的底边是底面直径，所以 \(r=6\)；三角形的高就是圆锥的高 \(h=8\)。扇形半径要的是母线 \(l\)，不是 8。
看完整示范
④ 回头看：主视图的“腰”10 cm 就是母线，和扇形半径相等。扇形半径如果取了高 8，就会做矮（见翻车现场 ①）。
自己试试：用半径 12 cm、圆心角 \(120^\circ\) 的扇形围一个圆锥的侧面，圆锥的底面半径是多少？
A。弧长 \(\dfrac{120\pi\times12}{180}=8\pi=2\pi r\)，\(r=4\)。B 把扇形半径当成了底面半径；C 是把弧长 \(8\pi\) 当成 \(\pi r\)，忘了周长是 \(2\pi r\)。
4. 核心点：正方体的展开图——有六个正方形还不够
能折成正方体 ⇔ 6 个正方形连成一片，折起来每个面恰好盖一次（不重叠，也不空着）。
这样的图形一共 11 种（转动、翻面后一样的算一种）。
怎样在脑子里折：选一格当底面，往右翻一格是右面，往上翻一格是后面……像把骰子在格子上滚一遍，每格记下贴着它的那个面。两格记成同一个面，就是重叠。
直觉微图解 ④把正方体在格子上滚一遍
自己试试：正方体的展开图里，同一行最多能连着几个正方形？
B。一行 4 个正好绕正方体一圈（前、右、后、左）；第 5 个又绕回第 1 个面上，重叠。A 漏了“十字形”那种中间一行 4 个的；C、D 是只数面数、没折一折。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：11种怎样分类？
先用6个方格拼出能折成正方体的展开图，再按最长行及其余各行的格数归类。转动、翻面后相同的只算一种。每类各有多少？去动手③折叠检验。
拼好后核对分类与图形
按以下方向摆放，四类共6+3+1+1=11种。最长行5格或含田字块的不能折成正方体；行数相同也仍须折叠检验。
1-4-1型：6种。
1-3-2型（上下可交换）：3种。
2-2-2阶梯型：1种。
3-3错位型：1种。
① 圆锥：由 r、h 算出要剪的扇形
拖动两条滑轨上的圆点（或点一下圆点再用方向键，每次 0.5），改变底面半径 \(r\) 和高 \(h\)。左边是要剪的扇形，右边是围好后从侧面看到的圆锥，两图同一比例。
② 直棱柱和圆柱：侧面矩形有多长
选底面形状，拖动滑轨改底面边长（圆是半径）\(a\) 和高 \(h\)。虚线是折痕，矩形右端的小梯形是粘贴舌头（不计面积）。
③ 进阶：六个格子能不能折成正方体
点格子选中或取消（键盘：方向键移动，空格或回车选）；也可以先点按钮摆一个样子再改。程序把正方体在选中的格子上滚一遍，每格写上贴着它的面，两格写着同一个面就是重叠。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 一个圆柱的主视图是宽 6 cm、高 10 cm 的矩形，俯视图是直径 6 cm 的圆。它的侧面展开矩形的面积是多少？
A。\(r=3\)，长 \(2\pi\times3=6\pi\)，宽 10，面积 \(60\pi\)。B 把周长算成 \(\pi r=3\pi\)；C 把直径 6 当成半径，\(2\pi\times6\times10\)；D 是主视图矩形 \(6\times10\) 的面积，把主视图当成了侧面展开图。
2. 圆锥的母线长 15 cm，底面半径 5 cm。它的侧面展开扇形的圆心角是多少度？
D。\(n=\dfrac{360\times5}{15}=120^\circ\)。A 把弧长写成 \(\pi r=5\pi\)，\(\dfrac{n\pi\times15}{180}=5\pi\) 得 60；B 是 \(360-120\)，算成了剪掉的那块；C 是 \(\dfrac{360\times15}{5}\)，把 \(r\)、\(l\) 弄反了（圆心角不会超过 \(360^\circ\)）。
易错
3. 一个圆锥的主视图是底边 10 cm、高 12 cm 的等腰三角形。做它的侧面时，扇形纸片的半径应取多少？
提示
扇形半径 = 母线。母线、高、底面半径组成直角三角形。
C。\(r=5\)，\(h=12\)，\(l=\sqrt{5^2+12^2}=13\)。A 取了高（翻车现场 ①）；B 取了底面半径；D 取了主视图的底边（直径）。
4. 下面四个图形都由 6 个同样的正方形组成，哪一个能折成正方体？
提示
找“田”字块；没有的话，选一格当底面，往四周翻一翻，看有没有两格翻到同一个面。
D。D 是“3-3”型，6 个面各盖一次。A 是 2×3 长方形，只数了面数（翻车现场 ③）；B 有“田”字块，四格围着一个点，必定重叠；C 两端翘起的两格折起来落在同一个面上，重叠，同时有一个面空着。
5. 用一张半径 10 cm 的扇形纸片（圆心角可以自己定）围一个圆锥的侧面，圆锥的底面半径可以是多少？
提示
扇形半径是母线 10。底面半径和母线谁大？\(n=\dfrac{360r}{l}\) 要小于多少？
B。要 \(r\lt l=10\)：\(r=6\) 时 \(n=216^\circ\)，能围。A 要 \(n=432^\circ\)，纸不够；C 要 \(n=360^\circ\)，是一整个圆，卷不起来（高为 0）；D 是以为圆心角随便取（翻车现场 ②）。
挑战
6. 一个粮仓模型由圆柱和上面的圆锥组成。主视图：下面是宽 6 cm、高 4 cm 的矩形，上面紧接一个底边 6 cm、高 4 cm 的等腰三角形。用纸板做它的表面（含底，不计舌头），要用多少纸？
提示 1：哪些面露在外面
露在外面的是：圆柱的底面、圆柱的侧面、圆锥的侧面。圆柱的顶面被圆锥盖住，不用做。
提示 2：圆锥的母线
\(r=3\)，\(h=4\)，母线 \(l=?\)
C。圆柱侧面 \(2\pi\times3\times4=24\pi\)，底面 \(9\pi\)，圆锥 \(l=5\)，侧面 \(\pi\times3\times5=15\pi\)，共 \(48\pi\)。A 多做了被盖住的圆柱顶面 \(9\pi\)；B 把圆锥的高 4 当母线，侧面算成 \(12\pi\)；D 漏了底面。
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