培玉 · 初中数学← 返回主页九年级下册· 第三十四章 投影与视图
34.2 三视图
一堆积木，从正面、左面、上面各看一眼，得到三张平面图。三张图怎么摆、彼此有什么关系，反过来又怎样由图想出物体、算出它的大小，这一节都要讲清楚。
说明：新版九下 2027 春才出版，本节先按旧版教材（原九下第二十九章 29.2）编排，出版后再对表。
本节导读 先修：从不同方向看、正投影、圆锥侧面积 · 本节路线
要用到：从前面、左面、上面看立体图形（回看 6.1）；正投影（回看 34.1）；圆锥侧面积 \(\pi rl\)（回看 29.3）和勾股定理（回看 20.1）。
- 从积木进入：三个方向看到的图不一样，哪一张都不完整。
- 视图是正投影；主视图、左视图、俯视图和它们的摆放位置。
- 长对正、高平齐、宽相等；看得见画实线，看不见画虚线。
- 正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、直三棱柱的三视图。
- 由视图还原小正方体堆：只给两个视图时，个数有最多和最少。
- 由三视图读尺寸，求表面积和体积。
桌上用 6 个一样大的小正方体搭了一堆：后排从左到右是 2、1、0 层，前排是 1、1、1 层。点按钮，从不同方向看它：
三个方向看到的图形里，哪一个包含的小正方形最多？
C。从正面看 4 个，从左面看 3 个，从上面看 5 个。可是一共有 6 个小正方体：前后挡住的、上下叠着的，在某一张图里会“合并”成一个。
所以一张图说不全一个物体。这一节学怎样用三张图把物体说清楚，以及三张图之间的“对齐”规矩。
1. 先认识几个词：视图、三视图
七上“从不同方向看”只要求认出来；这里要按规矩画出来。
从某一方向观察物体时看到的图形，叫物体的视图。视图可以看成物体在某个平面上的正投影（34.1：投影线垂直于投影面）。从正面看得到主视图，从左面看得到左视图，从上面看得到俯视图，三者合称三视图。三张图要按固定位置摆：
直觉微图解 ①一个长方体的三视图放在哪
核心概念 ②位置规定
主视图在左上；俯视图在主视图正下方；左视图在主视图正右方。名字叫“左”，却放在右边。
核心概念 ③左视图的左右
站在物体左边往右看，物体的后面在你左手边、前面在你右手边。所以左视图的左边是物体的后面，右边是前面；俯视图的下边是前面。
自己试试：画三视图时，左视图应该放在哪里？
B。A 是俯视图的位置；C 是被名字“左”带偏了；D 不行，三张图要互相对齐才能读出尺寸（下一点）。
2. 核心点：长对正、高平齐、宽相等
主视图画长和高，俯视图画长和宽，左视图画宽和高。每个尺寸都出现在两张图里，两张图上必须一样长。
直觉微图解 ②虚线把同一个尺寸连起来
画的时候还要分线型：看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线。在长方体中间打一个圆柱形的通孔：
直觉微图解 ③孔看不见的地方画虚线
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
一个长方体的主视图是长 \(5\text{ cm}\)、高 \(2\text{ cm}\) 的长方形，俯视图的面积是 \(15\text{ cm}^2\)。求左视图的面积和这个长方体的体积。
① 读懂题意：主视图给了长和高，俯视图给了长和宽的乘积；左视图要的是宽和高。
提示 1：俯视图的长是多少
长对正：俯视图的长和主视图的长相等，是 \(5\text{ cm}\)。
看完整示范
④ 回头看：每个尺寸都在两张图里出现，读不到的尺寸就到另一张图里找。
自己试试：长方体从前往后打通一个圆柱孔（微图解 ③ 第三档）。俯视图里，这个孔画成什么？
C。从上往下看，孔藏在长方体里面，看不见，孔壁的两条轮廓线画虚线。A 是主视图里孔的样子，搬错了图；B 把看不见的线画成了实线；D 把看不见的线漏掉了。
3. 核心点：基本几何体的三视图
正方体：三个全等的正方形。长方体：三个长方形。圆柱（立着放）：两个长方形和一个圆。圆锥（立着放）：两个等腰三角形和一个带圆心的圆。球：三个等大的圆。直三棱柱（立着放、一个侧面朝前）：两个长方形和一个三角形。动手 ② 里可以逐个切换、改尺寸看。
例 2（示范：由三视图求表面积）
某几何体的主视图和左视图都是底边 \(6\text{ cm}\)、高 \(4\text{ cm}\) 的等腰三角形，俯视图是直径 \(6\text{ cm}\) 的圆（带圆心）。求它的表面积。
提示：先认出是什么几何体，再读半径和高
两个等腰三角形 + 带圆心的圆 → 圆锥。长对正：三角形的底边就是底面直径。
看完整示范
回头看：三视图负责“读尺寸”，算面积用的还是 29.3 的圆锥公式。误把高 4 当母线会得 \(12\pi+9\pi=21\pi\)。
自己试试：一个几何体的三个视图是三个大小相同的圆，它是：
D。球从哪个方向看都是同样大的圆。A 只有俯视图是圆，主视图是长方形；B 主视图是三角形；C 三个视图是正方形。
4. 核心点：由视图还原小正方体堆
在俯视图的每个格子里写上这个位置摞了几个，就能把小正方体堆说清楚。从正面看，同一列前后的几摞会重叠，主视图每列的层数 = 这一列里最高的那摞；同理，左视图每列的层数 = 这一排里最高的那摞。反过来只知道主视图和左视图时，格子里的数常常不止一种填法：
直觉微图解 ④两个视图相同，个数可以不同
例 3（示范：最少）
用小正方体搭一个几何体，底面占 2 排 3 列的格子。主视图从左到右是 2、1、2 层；左视图从左到右是 2、1 层。最少用几个？
① 读懂题意：左视图的左边是后排：后排最高 2 层，前排最高 1 层。
提示 1：每摞的最高限制
每格最多能摞到“所在列的最高”和“所在排的最高”里较小的那个。
提示 2：最少怎么想
主视图左列、右列要 2 层，这两摞只能在后排（前排最高 1 层）。中列要有 1 层，放在哪排最省？
看完整示范
④ 回头看：两个视图只管“每列、每排的最高”，最少是 5 个；有些格子还可以加积木而不改变两个视图。再补充俯视图后能否确定唯一数量？到下面的“自己试试”推理，再去动手 ③ 换别的视图试。
自己试试：例 3 里如果再告诉你俯视图是 2 排 3 列，6 个格子都有。这个几何体用了几个小正方体？
A。每格至少 1 个；前排最高 1 层，所以前排三格都是 1；左列、右列的 2 层只能在后排；后排中间不超过 1、又至少 1。共 \(2+1+2+1+1+1=8\)，只能是 8。B 是没用上俯视图，还按例 3 的最少算；C 是以为每格只有 1 个；D 是每格都按 2 层算 \(6\times2\)。
不一定。2×2×2 摆满的 8 个小正方体，三个视图都是 2×2 的正方形。把后排右上角那一个拿走（剩 7 个），从正面看被前排挡住、从左面看被左列挡住、从上面看下面还有一个，三个视图一点都没变。再把俯视图填成后排 \(2,1\)、前排 \(1,2\)（6 个），三个视图仍然一样。所以“最多、最少”的问法在三个视图都给出时也可能出现，要逐格想清楚每格能填的范围。
5. 用之前必查：三大翻车现场
① 搭积木，看三视图
左边是俯视图的格子，格子里的数是这个位置摞了几个（0 到 3）。点格子加一层（到 3 后回到 0），或者选中格子后用方向键 ↑↓ 调。右边三个视图按规定位置摆放：主视图看每列最高，左视图看每排最高（左边是后排、右边是前排），俯视图看哪些格有方块。
② 基本几何体的三视图
点按钮换几何体，拖动右边滑轨上的圆点（或选中后用方向键）改尺寸，单位 cm。虚线是“长对正、高平齐、宽相等”的对齐线：宽从俯视图沿 45° 斜线转到左视图。
③ 进阶：只给主视图和左视图，你来摆
右边是要求的主视图和左视图。在左边格子里摆小正方体（操作同 ①）。绿格是已经对上的，虚线框是还缺的，红格是多出来的。对上以后试试能不能用更少或更多的方块；也可以点“摆成最少”“摆成最多”看一种摆法。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 一个几何体的主视图、左视图都是长方形，俯视图是圆。它是：
D。立着的圆柱从正面、左面看是长方形，从上面看是圆。A 是只看俯视图是圆就下结论（圆锥的主视图是三角形）；B 球的三个视图都是圆；C 长方体的俯视图是长方形。
2. 一个长方体的主视图是长 \(4\)、高 \(3\) 的长方形，左视图是宽 \(2\)、高 \(3\) 的长方形。它的俯视图面积是多少？
C。俯视图画长和宽：\(4\times2=8\)。A 是主视图面积 \(4\times3\)；B 是左视图面积 \(2\times3\)；D 是体积 \(4\times2\times3\)。
易错
3. 小正方体堆的俯视图上，每格写着这里摞的个数：后排从左到右 \(1,0,2\)，中排 \(0,1,1\)，前排 \(1,3,0\)。它的左视图从左到右依次是几层？
提示
左视图每一列对应一排，取这一排里最高的；左视图的左边是后排。
B。后排最高 2，中排最高 1，前排最高 3，后排在左：\(2,1,3\)。A 是左右画反，成了“从右面看”（翻车现场 ①）；C 是把每排加起来 \(3,2,4\)，而前后左右重叠的只能看到最高的；D 是主视图（每列最高 \(1,3,2\)）。
4. 用小正方体搭几何体，主视图从左到右是 2、1 层，左视图从左到右是 1、2 层（底面不超过 2 排 2 列）。用的小正方体个数是：
提示
左视图：后排最高 1，前排最高 2。先想最多（每格填较小的那个最高），再想最少（一摞同时撑起一列和一排）。
A。最多：后排 \(\min(2,1),\min(1,1)=1,1\)，前排 \(2,1\)，共 5。最少：前排左 2 个（撑起左列和前排），后排右 1 个（撑起右列和后排），共 3。B 是以为两个视图能定形（翻车现场 ③）；C 是把两个视图的小正方形数 \(3+3\) 当成最多；D 的最多对了，最少只摆了左前那一摞 2 层，忘了右列和后排各还要 1 层。
5. 一个长方体从上往下打通一个圆柱孔。它的主视图是：
提示
从正面看，孔被前面的板挡住了吗？挡住的线画什么线？
D。孔壁的两条轮廓从正面看不见，画虚线。A 漏了看不见的线；B 把看不见的画成实线（翻车现场 ②）；C 是俯视图里孔的样子。
挑战
6. 一个零件的主视图是长 \(6\)、高 \(4\) 的长方形，中间有两条相距 \(2\) 的竖直虚线；俯视图是长 \(6\)、宽 \(4\) 的长方形，正中一个直径 \(2\) 的实线圆（以上长度单位均为 cm）。它的体积是多少（单位 \(\text{cm}^3\)）？
提示 1：它是什么
长方体从上往下打通一个圆柱孔：孔的直径 2、高等于长方体的高 4。
提示 2：怎么算
柱体体积 = 底面积 × 高。长方体体积减去圆柱孔的体积。
B。长方体 \(6\times4\times4=96\)；孔半径 1，体积 \(\pi\times1^2\times4=4\pi\)；零件 \(96-4\pi\ \text{cm}^3\)。A 没看懂虚线、漏了孔；C 把直径 2 当半径：\(\pi\times2^2\times4=16\pi\)；D 用了孔的侧面积 \(2\pi\times1\times4=8\pi\) 当体积。
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