培玉 · 初中数学← 返回主页九年级下册· 第三十四章 投影与视图
34.1 投影
太阳底下、路灯底下，物体都有影子。同一根杆子，影子有时朝西、有时朝东，有时长、有时短。这一节把“影子”变成数学：光线怎么照，影子就怎么定，而且能算出它有多长。
说明：新版九下 2027 春才出版，本节先按旧版教材（原九下第二十九章 29.1）编排，出版后再对表。
本节导读 先修：相似三角形、勾股定理 · 本节路线
要用到：相似三角形的判定和对应边成比例（回看 32.2）；勾股定理（回看 20.1）；“从不同方向看”立体图形（回看 6.1）。
- 从影子进入：同一根杆，太阳下和路灯下的影子不一样。
- 三个词：投影、投影线、投影面；两类投影：平行投影、中心投影。
- 平行投影：同一时刻，物高与影长成比例。
- 中心投影：物体顶端与影子顶端的连线交于光源，用相似三角形算影长。
- 正投影：投影线垂直于投影面；线段平放等长、倾斜变短、竖直成点。
- 三大翻车现场：路灯下乱用比例、两类投影混淆、以为正投影一样大。
甲、乙两根竖杆一样高，插在平地上。点按钮换光源，看两根杆的影子：
夜里在路灯下，甲、乙两根一样高的竖杆，影子长短怎样？
C。路灯的光从一点发出；同样高的杆，甲离灯近，影子更短。
详细解释
C。路灯的光从一个点发出，离灯越近，光线越陡，影子越短；甲、乙在灯的两侧，影子方向也相反。选 A、D 是把太阳下的规律搬到了路灯下：太阳光可以看成平行的，所以同一时刻一样高的杆影子才一样长、方向相同。
同样是影子，光线“平行”还是“从一点发出”，规律完全不同。这一节就讲这两类影子，以及怎么算影长。
1. 先认识几个词：投影、投影线、投影面
用光线照射物体，在某个平面（地面、墙面等）上得到的影子，叫作物体的投影；照射的光线叫投影线，投影所在的平面叫投影面。下图里一块木板平放在地面上方，换个光源看它的影子：
直觉微图解 ①平行光和点光源，影子差在哪
核心概念 ②平行投影：投影线互相平行
太阳离我们极远，照到地面的光线可以看成平行光。由平行光线形成的投影叫平行投影。同一时刻，各物体影子的方向相同。
核心概念 ③中心投影：投影线从一点发出
路灯、台灯、手电筒的光从一个点发出（看成点光源）。由同一点发出的光线形成的投影叫中心投影。各物体影子的方向一般不同。
自己试试：下面哪个影子是中心投影？
B。手电筒的光从灯泡这一点发出，是中心投影。A、C 都是太阳光，看成平行光，是平行投影。
2. 核心点：平行投影——同一时刻，物高与影长成比例
条件：同一时刻的太阳光（平行光）、物体竖直立在水平地面上。光线平行，两组“物体—影子—光线”围成的直角三角形对应角相等，所以相似。
一天里太阳的位置在变：早晨太阳在东边，影子朝西；中午前后太阳最高，影子最短；傍晚太阳在西边，影子朝东。点按钮换时刻（侧面看，左西右东）：
直觉微图解 ②同一时刻比例相同，换个时刻比例就变
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
晴天下午，身高 \(1.5\) m 的小林站在操场上，影长 \(2\) m；同一时刻，旗杆的影长是 \(9.6\) m。旗杆有多高？
① 读懂题意：“同一时刻”“太阳光”——是平行投影；人和旗杆都竖直站在水平地面上。
提示 1：哪两个三角形相似
人、人的影子、光线围成一个直角三角形；旗杆、旗杆的影子、光线围成另一个。两条光线平行，与地面的夹角相等，再加上直角，两个三角形相似。
看完整示范
④ 回头看：比例的两边都写“高 ÷ 影长”，同类对同类；离开“同一时刻、平行光”这个前提，这个比例就不能用。
自己试试：同一时刻，\(1.2\) m 长的竹竿竖直立着，影长 \(0.8\) m；一棵树的影长是 \(6\) m。树高多少米？
B。\(\dfrac{\text{树高}}{6}=\dfrac{1.2}{0.8}\)，树高 \(=6\times1.5=9\)。A 是比例写倒了：\(6\times\dfrac{0.8}{1.2}=4\)；C 是只乘了 \(1.2\)，忘了除以 \(0.8\)；D 是以为“竿比影长 \(0.4\)，树也比影长 \(0.4\)”，\(6+0.4=6.4\)——影长和物高成比例，不是差相等。
3. 核心点：中心投影——连线交于光源
所以把几根杆的“顶端—影子顶端”连线延长，会交于一点，这点就是光源。算影长要用相似三角形：灯、灯脚、影子顶端围成的大三角形，和人、人脚、影子顶端围成的小三角形相似。
路灯高 \(4.5\) m，身高 \(1.5\) m 的人站在离灯脚不同的地方（侧面看）：
直觉微图解 ③离灯越远，影子越长
例 2（示范：由影长反求路灯高）
晚上，身高 \(1.6\) m 的小芸站在离路灯灯脚 \(4\) m 的地方，她的影长是 \(2\) m。路灯（看成点光源）有多高？
① 读懂题意：点光源 → 中心投影；灯、小芸的头顶、影子顶端在一条直线上。
提示：画出两个三角形
从影子顶端看：大三角形的竖边是路灯，底边是“灯脚到影子顶端”\(4+2=6\) m；小三角形的竖边是小芸，底边是她的影长 \(2\) m。两条竖边都垂直地面，互相平行，所以两个三角形相似。
看完整示范
④ 回头看：动手 ② 里灯高正好是 \(4.8\) m、人高 \(1.6\) m，把人拖到离灯 \(4\) m 处，影长读数就是 \(2\) m。
自己试试：路灯高 \(4\) m，身高 \(1.6\) m 的人站在离灯脚 \(3\) m 处。他的影长是多少米？
提示
设影长为 \(s\)，大三角形底边是 \(3+s\)：\(\dfrac{s}{3+s}=\dfrac{1.6}{4}\)。
A。\(\dfrac{s}{3+s}=\dfrac{1.6}{4}=\dfrac25\)，\(5s=6+2s\)，\(s=2\)。也可以看成：人头顶以上的灯杆 \(4-1.6=2.4\)，\(\dfrac{s}{3}=\dfrac{1.6}{2.4}\)，\(s=2\)。B 是把底边配错了：\(\dfrac s3=\dfrac{1.6}{4}\)，得 \(1.2\)；C 是比例写倒：\(\dfrac s3=\dfrac{2.4}{1.6}\)，得 \(4.5\)。
4. 核心点：正投影——平放等长、倾斜变短、竖直成点
线段平行于投影面：正投影和原线段一样长；倾斜：变短；垂直于投影面：缩成一个点。平面图形同理：平行时全等，倾斜时形状变，垂直时成一条线段。
一根长 \(5\) 的木棒 \(AB\)，\(A\) 端贴在投影面上，把 \(B\) 端抬高，光线垂直于投影面照下来：
直觉微图解 ④越立起来，正投影越短
例 3（示范：倾斜线段的正投影有多长）
一根长 \(50\) cm 的木棒，一端放在桌面上，另一端被垫高 \(30\) cm。台灯换成从正上方竖直照下的平行光，木棒在桌面上的正投影有多长？
① 读懂题意：投影线垂直于桌面，是正投影；木棒倾斜，投影会比 \(50\) cm 短。
提示：找直角三角形
从垫高的那端往桌面作垂线，垂足就是这一端的投影。木棒、这条垂线、正投影围成一个直角三角形，木棒是斜边。
看完整示范
④ 回头看：垫得越高，投影越短；垫到 \(50\) cm，木棒竖直，正投影缩成一个点。注意题里说的是“竖直照下的平行光”——真用台灯（点光源）照，就是中心投影，不能这样算。
自己试试：一张正方形纸片垂直于投影面放置，它的正投影是什么？
D。纸片和投影线平行，整张纸片“侧着”，投影压成一条线段。A 是把“线段垂直成点”搬到了面上；B 是纸片平行于投影面时的情形；C 是以为正投影总是按比例缩小。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：灯高改变，倍率怎样变？
木板平行地面、离地2 m，灯在其正上方，灯高大于板高。灯高8 m与4 m时影子各是木板的几倍？先用相似三角形列比。
想好后看解释
微图解 ① 里，木板平行于地面，灯在木板正上方。灯、木板端点、影子端点共线，木板和影子对应边平行，所以影子是木板以灯为位似中心的放大图形（32.3 位似）。放大的倍数是“灯到地面的距离 ÷ 灯到木板的距离”：灯高 \(8\) m、板离地 \(2\) m 时是 \(\dfrac86=\dfrac43\)；灯低到 \(4\) m 时是 \(\dfrac42=2\)。灯越高，光线越接近平行，影子越接近原来的大小——这也是把太阳光看成平行光的道理。
① 太阳光：两根杆，同一时刻
拖动下方滑轨上的圆点（或点一下圆点再用方向键）改变光线的斜度：越往右，太阳越低、光线越斜。两根竖杆高 2 m 和 3 m，看影长和“高 ÷ 影长”。
② 路灯：人走近、走远
路灯高 4.8 m，人高 1.6 m。拖动人脚下的圆点（或用方向键，每次 1 m），改变人离灯脚的距离。
③ 进阶：正投影，把一端抬起来
线段 \(AB\) 长 5，\(A\) 端贴在投影面上。拖动 \(B\) 点（或用方向键，每次抬高 0.5），光线垂直于投影面照下。点“纸片”把线段换成边长 5 的正方形纸片（侧面看是这条边），右边是投影面上的影子。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 下列影子中，属于中心投影的是哪一个？
C。台灯的光从一点发出，是中心投影。A、B、D 都是太阳光（平行光）形成的平行投影；中午和傍晚只是影子的方向、长短不同。
2. 同一时刻，身高 \(1.6\) m 的小华影长 \(1.2\) m，教学楼的影长 \(15\) m。教学楼高多少米？
A。\(\dfrac{\text{楼高}}{15}=\dfrac{1.6}{1.2}\)，楼高 \(=15\times\dfrac43=20\)。B 是比例写倒：\(15\times\dfrac{1.2}{1.6}=11.25\)；C 是用了“差相等”：\(15+0.4=15.4\)；D 是只乘 \(1.6\) 没除以 \(1.2\)：\(15\times1.6=24\)。
易错
3. 路灯高 \(6\) m。身高 \(1.5\) m 的人站在离灯脚 \(3\) m 处，影长 \(1\) m。同一路灯下，一根 \(3\) m 高的竖直竹竿立在离灯脚 \(9\) m 处，它的影长是多少米？
提示
路灯下不能用“人的高 ÷ 影长”去套竹竿。对竹竿单独画三角形：设影长 \(s\)，\(\dfrac{s}{9+s}=\dfrac36\)。
B。\(\dfrac{s}{9+s}=\dfrac36=\dfrac12\)，\(2s=9+s\)，\(s=9\)。A 是照搬人的比例“高 ÷ 影长 \(=1.5\)”：\(3\div1.5=2\)，这是平行光下才有的规律（翻车现场 ①）；C 是底边配错：\(\dfrac s9=\dfrac36\)，得 \(4.5\)。
4. 一根长 \(1\) m 的木棒竖直立在地面上，光线垂直于地面照射。它在地面上的正投影是什么？
提示
投影线和木棒是什么位置关系？木棒上每一点的投影落在哪？
D。木棒垂直于投影面，投影线和木棒重合，木棒上所有点都投到它的脚下同一点。A 是以为正投影总和原长相等（翻车现场 ③）；B 是把“倾斜变短”用到了竖直的情形；C 是把点光源下影子会被放大的现象套到了正投影上。
5. 晚上，平地上两根一样高的竖杆，影子一根长、一根短，方向也不同。下列判断正确的是：
提示
先判断光源：影子方向不同，说明光线平行吗？
A。方向不同，光线不平行，是中心投影；同高的杆离灯越近影子越短（微图解 ③）。B 是把平行投影的规律用到了路灯下（翻车现场 ②）；C 认错了投影类型；D 把远近说反了。
挑战
6. 晚上，身高 \(1.5\) m 的小东沿直线背着路灯走。在某处时他的影长 \(1\) m；再往前走 \(3\) m，影长变成 \(2\) m。路灯有多高？
提示 1：设未知数
设起初他离灯脚 \(d\) m，灯高 \(H\) m。两处各列一个比例：\(\dfrac{1}{d+1}=\dfrac{1.5}{H}\)，\(\dfrac{2}{d+3+2}=\dfrac{1.5}{H}\)。
提示 2：先求 d
两个比例右边相同，所以 \(\dfrac1{d+1}=\dfrac2{d+5}\)，求出 \(d\) 再代回。
C。\(d+5=2(d+1)\)，\(d=3\)；\(\dfrac1{4}=\dfrac{1.5}{H}\)，\(H=6\)。检验第二处：\(\dfrac{2}{8}=\dfrac{1.5}{6}\) ✓。A 是用“人头顶以上那段”\(\dfrac{1}{d}=\dfrac{1.5}{H-1.5}\) 求出 \(H-1.5=4.5\) 后忘了加回人高；B 是把求出的 \(d=3\) 当成了灯高。
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