培玉 · 初中数学← 返回主页九年级下册· 第三十二章 相似
32.3 位似
投影仪把幻灯片上的小图放成幕布上的大图，手电筒把纸片的影子投到墙上：大图和小图不但形状相同，而且“对应点的连线都经过光源”。这种特殊的相似叫位似。这一节学会认位似、画位似图形，并在坐标系里写出对应点的坐标。
说明：新版九下 2027 春才出版，本节先按旧版教材（原九下第二十七章 27.3）编排，出版后再对表。
本节导读 先修：32.1、32.2 相似，9.1 坐标，28.2 中心对称 · 本节路线
要用到：相似多边形和相似比（回看 32.1）；相似三角形的周长比、面积比（回看 32.2）；用坐标表示点（回看 9.1）；中心对称（回看 28.2）。
- 从灯光投影进入：影子和纸片的对应点，连线都过灯。
- 位似图形、位似中心、位似比；位似一定相似，相似不一定位似。
- 性质：不与位似中心重合的对应点到位似中心的距离之比等于位似比，对应边平行或共线。
- 画法：中心可在形外、形上、形内；同侧、异侧各一个，同一个位似比有两个图。
- 坐标：以原点为位似中心，\((x,y)\) 的对应点是 \((kx,ky)\) 或 \((-kx,-ky)\)。
- 中心不在原点时不能直接乘 \(k\)：在网格里先数位移，再乘 \(k\)。
在灯 \(O\) 和墙之间放一张三角形纸片 \(ABC\)，墙上出现影子 \(A'B'C'\)（示意图，虚线是光线）。点按钮换三种摆法：
第一种摆法里，\(OA'\) 是 \(OA\) 的 3 倍，\(OB'\)、\(OC'\) 也分别是 \(OB\)、\(OC\) 的 3 倍。影子的边 \(A'B'\) 是 \(AB\) 的几倍？
B。各顶点到O的距离都变成3倍，对应边也变成3倍。
详细解释
B。三个顶点都从 \(O\) “拉远到 3 倍”，整个三角形就放大到 3 倍：\(A'B'=3AB\)，而且 \(A'B'\parallel AB\)。选 A 是把边长的倍数和面积的倍数（\(3^2=9\)）弄混了；C 是把比写反了。
小孔成像那一档，影子倒过来了，可还是“连线过一点、距离成比例”。这种相似叫位似。
1. 先认识几个词：位似图形、位似中心、位似比
先回想：相似图形形状相同，对应边的比叫相似比（32.1）。
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应线段平行（或在同一条直线上），那么这两个图形叫位似图形，这个点叫位似中心，这时的相似比也叫位似比。本页的位似比 \(k\) 都指“新图 : 原图”。点按钮比一比：
直觉微图解 ①连线交不交于一点？
核心概念 ②位似是一种特殊的相似
位似图形一定相似；相似图形不一定位似。两个相似三角形随便摆，连线一般不交于一点。
核心概念 ③位似比 = 到中心的距离之比
任意一对（不与位似中心重合的）对应点到位似中心的距离之比都等于位似比。\(k>1\) 放大，\(0\lt k\lt 1\) 缩小。
\(O\) 是位似中心，\(A\) 与 \(A'\)、\(B\) 与 \(B'\)、\(C\) 与 \(C'\) 是对应点，\(A'\) 在直线 \(OA\) 上；比式里的点都不与 \(O\) 重合（位似中心在图形上时，和它重合的那个点对应它自己，距离是 0，不列比）。
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：由距离求位似比）
\(\triangle ABC\) 与 \(\triangle A'B'C'\) 是位似图形，位似中心是 \(O\)，\(A'\) 在射线 \(OA\) 上且在 \(A\) 的外侧。已知 \(OA=2\text{ cm}\)，\(AA'=4\text{ cm}\)，\(A'B'=9\text{ cm}\)，\(\triangle ABC\) 的周长是 \(10\text{ cm}\)。求位似比、\(AB\) 和 \(\triangle A'B'C'\) 的周长。
① 读懂题意：位似比要用“到中心的距离”来比，\(OA'\) 没直接给。
提示 1：\(OA'\) 是多少
\(A'\) 在 \(A\) 的外侧，\(O\)、\(A\)、\(A'\) 依次在一条射线上：\(OA'=OA+AA'\)。
看完整示范
④ 回头看：位似比永远是“对应点到位似中心的距离”之比；求出 \(k\) 后，位似图形就是相似图形，32.2 的周长比、面积比都能用。
自己试试：下列说法正确的是？
C。位似图形的定义里先要求“相似”。A 反了：相似的两个三角形还要连线交于一点才是位似（微图解 ① 第二档）；B 只在位似比为 1 时成立；D 不对：灯和纸片、墙的那一档，\(O\) 在两个图形的同一侧。
2. 核心点：怎样画位似图形
步骤：确定位似中心 \(O\) → 连接 \(O\) 和原图各顶点 → 在射线上（或反向延长线上）按位似比取对应点 → 顺次连接。位似中心放在哪里都可以：
直觉微图解 ②位似中心可以在形外、形上、形内（\(k=2\)）
对应点可以和原来的点在 \(O\) 的同侧，也可以在异侧（反向延长线上），所以同一个位似中心、同一个位似比，有两个位似图形：
直觉微图解 ③同侧、异侧各一个
例 2（示范：在网格里缩小）
网格中，从格点 \(O\) 出发：\(A\) 在 \(O\) 右 4 格、上 2 格；\(B\) 在右 6 格、下 2 格；\(C\) 在右 2 格、下 4 格。以 \(O\) 为位似中心，把 \(\triangle ABC\) 缩小为原来的 \(\dfrac12\)，对应点各在哪里？
① 读懂题意：位似比 \(k=\dfrac12\)，没说同侧还是异侧，两种都要画。
提示 1：只看一个点
\(A'\) 在射线 \(OA\) 上，\(OA'=\dfrac12 OA\)：从 \(O\) 到 \(A\) 横走 4、竖走 2，那到 \(A'\) 就横走几、竖走几？
看完整示范
④ 回头看：画位似图形就是“从中心出发，按比例走”。题目不指明哪一侧时，答案有两个。
自己试试：网格中以 \(O\) 为位似中心，把 \(\triangle ABC\) 放大，位似比为 2。\(A\) 在 \(O\) 右 3 格、上 1 格，\(A\) 的对应点 \(A'\) 在哪里？
D。横走、竖走都乘 2：同侧右 6 上 2，异侧左 6 下 2。A 漏了异侧（翻车现场 ②）；B 是把“放大 2 倍”当成每个方向多走 2 格；C 是关于 \(O\) 的中心对称点，那是位似比为 1 的异侧情形。
3. 核心点：坐标系中，以原点为位似中心
位似中心是原点 \(O\) 时，从 \(O\) 到点 \((x,y)\) 正好“横走 \(x\)、竖走 \(y\)”。按比例走 \(k\) 倍，对应点的坐标就是两个坐标都乘 \(k\)：
前提：位似中心是原点，\(k>0\) 是位似比。中心不是原点时不能直接套。
例 3（示范：坐标中缩小）
\(\triangle ABC\) 的顶点 \(A(6,2)\)、\(B(4,-2)\)、\(C(-2,0)\)。以原点为位似中心、位似比 \(\dfrac12\)，画出 \(\triangle ABC\) 的位似图形，写出各顶点坐标。
提示：几个答案
没说在原点哪一侧，乘 \(\dfrac12\) 和乘 \(-\dfrac12\) 各得一个三角形。
看完整示范
回头看：原点到点的“位移”就是点的坐标本身，所以才能直接乘 \(k\)。
自己试试：以原点为位似中心，位似比为 \(\dfrac12\)，点 \(P(-4,6)\) 的对应点坐标是？
A。乘 \(\dfrac12\) 得 \((-2,3)\)，乘 \(-\dfrac12\) 得 \((2,-3)\)。B 是乘了 2（把缩小当成放大）；C 是以为异侧只把纵坐标变号，那是关于 \(x\) 轴的轴对称；D 漏了异侧那个。
位似中心不是原点时，点的坐标不再是“从中心出发的位移”，不能直接乘 \(k\)。在网格里照例 2 的办法：先数从中心到这个点横走几格、竖走几格，乘 \(k\)，再从中心出发走过去（动手 ③ 可以拖着试）。
自己试试：网格中以点 \(P(2,0)\) 为位似中心，位似比为 3，点 \(A(3,1)\) 的对应点 \(A'\) 的坐标是（写出所有可能）？
提示
从 \(P\) 到 \(A\)：横走 1、竖走 1。乘 3 后从 \(P\) 出发走。
B。位移 \((1,1)\) 乘 3 是 \((3,3)\)，从 \(P(2,0)\) 走过去得 \((5,3)\)；反方向走得 \((2-3,\,0-3)=(-1,-3)\)。A 是把 \(A\) 的坐标直接乘 \(\pm3\)（当成中心在原点）；C 只算了位移，忘了从 \(P\) 出发；D 漏了异侧。
4. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点：位似的两个追问
k=1时，同侧与异侧各是什么变换？先按画点规则判断。
想好后看解释
同侧时每点不动；异侧时对应点到O等距、方向相反，正是关于O的中心对称（28.2）。
交换原图与新图，中心和倍率怎样变？设k>0，用距离比解释。
想好后看解释
中心不变，距离比取倒数，倍率成为1/k；同侧或异侧关系不变。
先画图，再核验坐标
原三角形 A(−1,1)、B(2,0)、C(0,3)。① 在方格纸画原图和 O；② 按所选条件逐点作图并连边；③ 输入坐标核验。
均匀网格：x、y 均在 [−12,12]，每格 1/2 单位。
本次尝试后：看作图与自查准则
① 网格里画位似图形
拖动位似中心 \(O\)（或点一下再用方向键，每次一格），它只能在虚线框里的格点上走（框外的话，放大后的图会跑出网格）；拖下方滑轨换位似比 \(k\)；按钮换同侧、异侧。实线三角形是原图 \(ABC\)，虚线三角形是位似图形 \(A'B'C'\)。
② 坐标系里，以原点为位似中心
拖滑轨换位似比 \(k\)（有 \(\dfrac12\)、\(\dfrac32\) 这样的分数档），按钮换同侧、异侧。读数给出每个顶点的坐标，看看它们和原来的坐标是什么关系。
③ 进阶：位似中心不在原点
位似中心换成格点 \(P\)，可以拖（或用方向键）。虚圈是“把 \(A\) 的坐标直接乘 \(k\)”得到的点，对照真正的 \(A'\)，看什么时候两者才重合。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 以原点为位似中心，位似比为 3，把点 \(M(-1,2)\) 变到原点同侧，对应点的坐标是？
C。同侧：两个坐标都乘 3。A 是异侧的点（乘了 \(-3\)），题目要同侧；B 只乘了横坐标；D 是除以 3，把放大做成了缩小。
2. \(\triangle A'B'C'\) 是 \(\triangle ABC\) 的位似图形，位似比为 \(\dfrac32\)。\(\triangle ABC\) 的周长是 12，\(\triangle A'B'C'\) 的周长是？
A。位似图形相似，周长比等于位似比：\(12\times\dfrac32=18\)。B 是乘了 \(\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac94\)，那是面积比；C 是 \(12\div\dfrac32\)，比写反了。
易错
3. 关于位似，下列说法正确的是？
提示
逐条对照定义：相似 + 连线交于一点 + 对应边平行或共线。注意“一定”两个字。
D。这正是位似的性质。A 只说明相似，缺“连线交于一点”（翻车现场 ①）；B 漏了“在同一直线上”：位似中心在 \(AB\) 所在直线上时，\(A'B'\) 和 \(AB\) 共线（动手 ① 把 \(O\) 拖到 \(AB\) 上试试）；C 只在位似比为 1 时成立。
4. \(\triangle ABC\) 的顶点 \(A(6,-4)\)。以原点为位似中心，把 \(\triangle ABC\) 缩小为原来的 \(\dfrac12\)，点 \(A\) 的对应点坐标是？
提示
题目没说在原点哪一侧。
B。乘 \(\dfrac12\) 得 \((3,-2)\)，乘 \(-\dfrac12\) 得 \((-3,2)\)。A、D 各漏了一个（翻车现场 ②）；C 是乘了 2，缩小做成了放大。
5. 网格中以点 \(P(-1,0)\) 为位似中心，位似比为 2，画 \(\triangle ABC\) 的位似图形，并且对应点和原来的点在 \(P\) 的同侧。\(A(1,1)\) 的对应点坐标是？
提示
中心不是原点。从 \(P\) 到 \(A\) 横走几格、竖走几格？
A。\(P\to A\) 横走 2、竖走 1，乘 2 得横 4、竖 2，从 \(P(-1,0)\) 出发：\((-1+4,\,0+2)=(3,2)\)。B 是把 \(A\) 的坐标直接乘 2（翻车现场 ③）；C 只写了位移 \((4,2)\)，忘了从 \(P\) 出发；D 是异侧的点 \((-1-4,\,0-2)\)，题目要同侧。
挑战
6. \(\triangle ABC\) 与 \(\triangle A'B'C'\) 位似，位似中心 \(O\) 在两个三角形之间（异侧），\(A\)、\(O\)、\(A'\) 在一条直线上。\(OA=2\)，\(AA'=5\)，\(\triangle ABC\) 的面积是 8。\(\triangle A'B'C'\) 的面积是？
提示 1：\(OA'\) 是多少
\(O\) 在 \(A\) 和 \(A'\) 之间：\(AA'=OA+OA'\)。
提示 2：面积比
位似比 \(k=\dfrac{OA'}{OA}\)；相似三角形的面积比是相似比的平方（32.2）。
C。\(OA'=5-2=3\)，\(k=\dfrac32\)，面积 \(8\times\dfrac94=18\)。A 是面积也只乘了 \(\dfrac32\)；B 是拿 \(\dfrac{AA'}{OA}=\dfrac52\) 当位似比，\(8\times\dfrac{25}4=50\)；D 是以为 \(A'\) 在 \(A\) 外侧（同侧），\(OA'=2+5=7\)，\(8\times\dfrac{49}4=98\)。
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