九年级下册· 第三十三章锐角三角函数

33.1 锐角三角函数

两条坡道哪条更陡？不用比谁长、谁高，只要比一个“比值”。在直角三角形里，锐角一旦确定，边与边的比就跟着确定。这一节给这些比值起名字：正弦、余弦、正切。

说明：新版九下 2027 春才出版，本节先按旧版教材（原九下第二十八章 28.1）编排，出版后再对表。

本节导读　先修：相似三角形、勾股定理、含 30° 角的直角三角形 · 本节路线

要用到：两角分别相等的两个三角形相似（回看 32.2）；勾股定理（回看 20.1）；直角三角形中 \(30^\circ\) 角所对的直角边等于斜边的一半（回看 15.3）；二次根式的化简与分母有理化（回看 19.2）。

从坡道进入：陡不陡，看“高 ÷ 底”，和坡道长短无关。
对边、邻边、斜边：跟着所讨论的锐角走。
由相似得：锐角确定，边的比值就确定。
正弦、余弦、正切的定义，取值范围，\(\sin A=\cos B\)。
\(30^\circ\)、\(45^\circ\)、\(60^\circ\) 的三角函数值：由三角板推出来，再由值求角。
三大翻车现场：看错角、以为越大值越大、特殊值记混。

坡道甲水平走 4 m、升高 3 m。点按钮换一条坡道和它比（图按同一比例画）：

坡道乙水平走 8 m、升高 6 m。甲、乙哪条更陡？

C。甲：\(3\div4=0.75\)；乙：\(6\div8=0.75\)。乙的每条边都是甲的 2 倍，形状完全一样，坡角相等。A、B 都在比长短，陡不陡和长短无关；D 不对，有高和底就能比。

陡不陡由坡角决定，也由“高 ÷ 底”“高 ÷ 斜边”这些比值决定。这一节要说清：为什么角一定，比值就一定？这些比值叫什么？

1. 先认识几个词：对边、邻边、斜边

前置：直角三角形两锐角互余（\(\angle A+\angle B=90^\circ\)），勾股定理（回看 20.1）。

在 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)。直角所对的边 \(AB\) 叫斜边，记作 \(c\)。对锐角 \(\angle A\) 来说：它对面的直角边 \(BC\) 叫 \(\angle A\) 的对边（记作 \(a\)），夹着它的直角边 \(AC\) 叫 \(\angle A\) 的邻边（记作 \(b\)）。点按钮换一个角看：

直觉微图解 ①对边、邻边跟着角走，斜边不变

核心概念 ②斜边永远不是邻边

\(\angle A\) 被 \(AC\)、\(AB\) 两条边夹着，但“邻边”专指夹着它的那条直角边 \(AC\)。斜边 \(AB\) 只叫斜边，它是三边中最长的。

核心概念 ③只在直角三角形里说

对边、邻边、斜边都是在直角三角形里、相对于某个锐角说的。三角形没有直角时，先作高，造出直角三角形再用。

2. 核心点：锐角确定，边的比值就确定

两个直角三角形，如果有一个锐角相等，那么它们的直角也相等，两角分别相等，所以相似（回看 32.2），对应边成比例：

\(\angle A=\angle A',\ \angle C=\angle C'=90^\circ\ \Longrightarrow\ \color{#B5452F}{\underbrace{\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{B'C'}{A'B'}}_{\text{对边}\div\text{斜边，相等}}}\)

同样，邻边 ÷ 斜边、对边 ÷ 邻边也相等。比值只由 \(\angle A\) 决定，和三角形画多大无关。

直觉微图解 ②同一个角，三角形放大，比值不变

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

两块直角三角形纸板 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 和 \(\text{Rt}\triangle DEF\)，\(\angle C=\angle F=90^\circ\)，\(\angle A=\angle D\)。已知 \(BC=5\)，\(AB=13\)，\(DE=39\)。求 \(EF\)。

① 读懂题意：两个三角形有一个锐角相等。\(BC\) 是 \(\angle A\) 的对边，\(AB\) 是斜边；在 \(\triangle DEF\) 中，\(\angle D\) 的对边是 \(EF\)，斜边是 \(DE\)。

提示 1：两个三角形是什么关系

\(\angle A=\angle D\)，\(\angle C=\angle F\)，两角分别相等。

看完整示范

② 想办法：\(\triangle ABC\backsim\triangle DEF\)，对边 ÷ 斜边相等：\(\dfrac{EF}{DE}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac5{13}\)。

③ 执行：\(EF=39\times\dfrac5{13}=15\)。

执行中检查：\(DE\div AB=39\div13=3\)，\(\triangle DEF\) 是 \(\triangle ABC\) 放大 3 倍，\(EF=3\times5=15\) ✓。

④ 回头看：\(\dfrac5{13}\) 只跟 \(\angle A\) 的大小有关。这个比值值得起一个名字——下一小节就是。

自己试试：把一个直角三角形的三条边都放大到原来的 3 倍。锐角 \(\angle A\) 的“对边 ÷ 斜边”会怎样？

C。分子、分母都乘 3：\(\dfrac{3a}{3c}=\dfrac ac\)。角没变，比值就不变。A 只放大了分子；B 只放大了分母；D 是把面积变 9 倍和边的比混在一起了。

3. 核心点：正弦、余弦、正切

在 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，把 \(\angle A\) 确定后就确定的三个比值分别叫作 \(\angle A\) 的正弦、余弦、正切：

\(\sin A=\dfrac{\color{#B5452F}{\underbrace{a}_{\text{对边}}}}{\color{#3E5C76}{\underbrace{c}_{\text{斜边}}}},\quad \cos A=\dfrac{\color{#966524}{\underbrace{b}_{\text{邻边}}}}{\color{#3E5C76}{\underbrace{c}_{\text{斜边}}}},\quad \tan A=\dfrac{\color{#B5452F}{\underbrace{a}_{\text{对边}}}}{\color{#966524}{\underbrace{b}_{\text{邻边}}}}\)

对每个锐角 \(A\)，三个值都唯一确定，所以它们是 \(A\) 的函数，统称 \(\angle A\) 的锐角三角函数。\(\sin A\) 是一个整体，不是 \(\sin\times A\)。

直觉微图解 ③谁做分子、谁做分母

取值范围：直角边比斜边短，所以 \(0\lt\sin A\lt1\)，\(0\lt\cos A\lt1\)；\(\tan A\) 是两条直角边相比，\(\tan A\gt0\)，可以大于 1。互余关系：\(\angle A+\angle B=90^\circ\) 时，\(\angle A\) 的对边正是 \(\angle B\) 的邻边，所以 \(\sin A=\cos B\)，\(\cos A=\sin B\)。\(\angle A\) 变大时，\(\sin A\)、\(\tan A\) 变大，\(\cos A\) 变小（到“动手 ①”里拖一拖）。

例 2（示范：已知两边求三个值）

在 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，\(BC=8\)，\(AB=17\)。求 \(\sin A\)、\(\cos A\)、\(\tan A\) 和 \(\cos B\)。

① 读懂题意：已知一条直角边和斜边；邻边 \(AC\) 不知道。

提示 1：先补哪条边

三个比值要用到三条边。用勾股定理求 \(AC\)。

看完整示范

② 想办法：画图，标出直角 \(C\)，圈出 \(\angle A\)：对边 \(BC=8\)，邻边 \(AC\)，斜边 \(AB=17\)。

③ 执行：\(AC=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15\)。\(\sin A=\dfrac8{17}\)，\(\cos A=\dfrac{15}{17}\)，\(\tan A=\dfrac8{15}\)。对 \(\angle B\)：邻边是 \(BC\)，\(\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac8{17}\)。

执行中检查：\(\sin A\)、\(\cos A\) 都在 0 和 1 之间 ✓；\(\cos B=\sin A\)，符合互余关系 ✓。

④ 回头看：先“画图、标直角、圈角”，再按“对 / 邻 / 斜”写比，就不会看错边。

自己试试：在 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，\(AC=5\)，\(BC=12\)。\(\cos B\) 等于多少？

D。\(AB=\sqrt{5^2+12^2}=13\)。\(\angle B\) 的邻边是 \(BC=12\)，\(\cos B=\dfrac{12}{13}\)。A 是把 \(\angle B\) 的对边 \(AC\) 当成邻边，算成了 \(\sin B\)；B 把分子分母颠倒，结果大于 1，一看就不对；C 是对边 ÷ 邻边，算成了 \(\tan B\)。

自己试试：在 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，\(\sin A=0.6\)。\(\cos B\) 等于多少？

B。\(BC\) 是 \(\angle A\) 的对边，也是 \(\angle B\) 的邻边，\(\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\sin A=0.6\)。A 是 \(\cos A\)（设 \(BC=3k\)，\(AB=5k\)，则 \(AC=4k\)，\(\cos A=0.8\)）；C 是以为 \(\sin A+\cos B=1\)，算 \(1-0.6\)；D 是 \(\tan A=\dfrac34\)。

4. 核心点：\(30^\circ\)、\(45^\circ\)、\(60^\circ\) 的三角函数值

不用死记，用两块三角板就能推出来。含 \(30^\circ\) 角的直角三角形：\(30^\circ\) 角所对的直角边是斜边的一半，设它为 1、斜边为 2，由勾股定理另一条直角边是 \(\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3\)，三边比 \(1:\sqrt3:2\)。等腰直角三角形：两直角边都设为 1，斜边 \(\sqrt2\)。

\(\begin{array}{c|ccc} & \sin & \cos & \tan\\ \hline 30^\circ & \color{#B5452F}{\tfrac12} & \tfrac{\sqrt3}2 & \tfrac{\sqrt3}3\\ 45^\circ & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac{\sqrt2}2 & 1\\ 60^\circ & \tfrac{\sqrt3}2 & \color{#B5452F}{\tfrac12} & \sqrt3\end{array}\)

\(\sin30^\circ=\cos60^\circ\)、\(\sin60^\circ=\cos30^\circ\) 正是互余关系。\(\tan30^\circ=\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}3\)（分母有理化）。到“动手 ②”看三角板。

别的锐角（如 \(37^\circ\)）的三角函数值一般不是这样整齐的数，题目会直接给近似值，如 \(\sin37^\circ\approx0.60\)。反过来，知道值也能求角：\(\sin A=\dfrac12\) 的锐角是 \(30^\circ\)。

例 3（示范：特殊角的计算与由值求角）

(1) 计算 \(\sqrt3\tan30^\circ-2\sin30^\circ\cos60^\circ\)；(2) 锐角 \(\alpha\) 满足 \(2\cos\alpha=\sqrt3\)，求 \(\alpha\)。

① 读懂题意：(1) 里每个三角函数值都是特殊值，先代入再算；(2) 先把 \(\cos\alpha\) 解出来。

提示 1：要用哪几个值

\(\tan30^\circ\)、\(\sin30^\circ\)、\(\cos60^\circ\)。拿不准时画出含 \(30^\circ\) 角的三角板，三边 \(1,\sqrt3,2\)，现场读。

看完整示范

② 想办法：(1) 代入 \(\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}3\)，\(\sin30^\circ=\cos60^\circ=\dfrac12\)。(2) \(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}2\)，找哪个特殊角的余弦是它。

③ 执行：(1) \(\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}3-2\cdot\dfrac12\cdot\dfrac12=1-\dfrac12=\dfrac12\)。(2) \(\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}2\)，所以 \(\alpha=30^\circ\)。

执行中检查：(2) 不是 \(60^\circ\)：\(\cos60^\circ=\dfrac12\)。\(\dfrac{\sqrt3}2\approx0.866\)，比 \(\cos45^\circ\approx0.707\) 大，角应比 \(45^\circ\) 小 ✓。

④ 回头看：记不清时，用三角板现场推；再用“角越大，余弦越小”估一估。

自己试试：锐角 \(\alpha\) 满足 \(\tan\alpha=\sqrt3\)，\(\alpha\) 是多少？

A。三边 \(1,\sqrt3,2\) 的三角板中，\(60^\circ\) 角的对边是 \(\sqrt3\)、邻边是 1，\(\tan60^\circ=\sqrt3\)。B 是把 \(\tan30^\circ\) 和 \(\tan60^\circ\) 记反了（\(\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}3\)）；C 的 \(\tan45^\circ=1\)；D 是以为正切也不能超过 1——只有正弦、余弦小于 1。

5. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）对边、邻边看错了角

❌ 典型错解：\(\angle C=90^\circ\)，写 \(\sin B=\dfrac{BC}{AB}\)；或把斜边当邻边，写 \(\cos A=\dfrac{AB}{AC}\)（比 1 还大）。

✅ 看图秒懂：先圈出 \(\angle B\)，它对面的是 \(AC\)：\(\sin B=\dfrac{AC}{AB}\)。邻边是夹着角的直角边，余弦是邻边 ÷ 斜边，不会大于 1。

翻车现场 ②以为三角形越大，值越大

❌ 典型错解：“把直角三角形放大 2 倍，\(\sin A\) 也变成 2 倍。”

✅ 一眼看清：放大后对边、斜边都乘 2，比值不变。三角函数值只由角的大小决定。

翻车现场 ③特殊值记混，角翻倍值也翻倍

❌ 典型错解：\(\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt3}2\)；\(\tan30^\circ=\sqrt3\)；“\(\sin60^\circ=2\sin30^\circ=1\)”。

✅ 一眼看清：\(30^\circ\) 角对最短边，\(\sin30^\circ=\dfrac12\) 最小。\(\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}2\approx0.866\ne1\)：角翻倍，值不翻倍。

再深一点（可跳过）：定义中的三个比值有固定关系吗？

对锐角A，从边的比值定义出发，试求 \(\sin^2A+\cos^2A\) 及 \(\sin A/\cos A\)。它们是否依赖三角形的大小？

想好后看解释

由定义，\(\sin^2A+\cos^2A=\dfrac{a^2}{c^2}+\dfrac{b^2}{c^2}=\dfrac{a^2+b^2}{c^2}\)，由勾股定理 \(a^2+b^2=c^2\)，所以 \(\sin^2A+\cos^2A=1\)（\(\sin^2A\) 表示 \((\sin A)^2\)）。又 \(\dfrac{\sin A}{\cos A}=\dfrac{a/c}{b/c}=\dfrac ab=\tan A\)。用例 2 验证：\(\left(\dfrac8{17}\right)^2+\left(\dfrac{15}{17}\right)^2=\dfrac{64+225}{289}=1\) ✓。这两个关系能推出来就行，不用背。

① 改变角和大小，看三个比值

拖动右边两条滑轨上的圆点（或点一下圆点再用方向键）：上面改 \(\angle A\)（\(5^\circ\) 到 \(85^\circ\)，每步 \(1^\circ\)），下面改斜边长（2 到 6）。三个比值保留三位小数。

② 三角板里的特殊角

点按钮换角。三边长用最简单的数表示（\(30^\circ\)、\(60^\circ\) 用同一块三角板），比值由边长算出，写成最简形式。

③ 进阶：知道 \(\sin A\)，找 \(\angle A\)

拖动滑轨（或用方向键）改 \(\sin A\) 的值（0.05 到 0.95，每步 0.05）。图里的三角形按这个值画；读数在 \(1^\circ\) 到 \(89^\circ\) 的整数度里找正弦最接近的那个角。

④ 自主计算：先估一估，再核验

自己选一个锐角求比值，或给一个比值找锐角。先用三角板、边的比或原互动图估计，再看计算读数。

数学范围：0° < θ < 90°；sin、cos 的值在 0 与 1 之间，tan 的值大于 0，也可以大于 1。为便于读数，本工作区只接收：角 0.000001°～89.999999°，sin/cos 值 0.000001～0.999999，tan 值 0.000001～1000000（均含两端）。这是工作区限制，不是数学定义域的边界。用十进制数（可用 e 记数），不带单位或算式。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. 在 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，\(AB=10\)，\(BC=6\)。\(\sin A\) 等于多少？

C。\(\angle A\) 的对边是 \(BC=6\)，\(\sin A=\dfrac6{10}=\dfrac35\)。A 是用了邻边 \(AC=\sqrt{10^2-6^2}=8\)，算成 \(\cos A=\dfrac8{10}\)；B 是对边 ÷ 邻边 \(\dfrac68\)，即 \(\tan A\)；D 是斜边 ÷ 对边，分子分母颠倒。

2. 计算 \(2\sin60^\circ-\tan60^\circ+\cos^2 45^\circ\)。

B。\(2\cdot\dfrac{\sqrt3}2-\sqrt3+\left(\dfrac{\sqrt2}2\right)^2=\sqrt3-\sqrt3+\dfrac12=\dfrac12\)。A 是把 \(\sin60^\circ\) 记成 \(\dfrac12\)：\(1-\sqrt3+\dfrac12\)；C 是忘了平方，把 \(\cos^2 45^\circ\) 当成 \(\cos45^\circ\)。

易错

3. 在 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，\(AC=6\)，\(BC=8\)。\(\tan B\) 等于多少？

提示

先圈出 \(\angle B\)：它对面的直角边是哪条？夹着它的直角边是哪条？

D。\(\angle B\) 的对边是 \(AC=6\)，邻边是 \(BC=8\)，\(\tan B=\dfrac68=\dfrac34\)。A 是看成了 \(\angle A\)：\(\dfrac{BC}{AC}=\dfrac86\)（翻车现场 ①）；B 是 \(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac6{10}\)，算成了 \(\sin B\)；C 是 \(\dfrac{BC}{AB}=\dfrac8{10}\)，邻边 ÷ 斜边，那是 \(\cos B\)。

4. 把 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 的三条边都扩大为原来的 4 倍，得到 \(\text{Rt}\triangle A'B'C'\)（\(\angle A'\) 与 \(\angle A\) 对应）。\(\tan A'\) 和 \(\tan A\) 的关系是：

提示

\(\tan A'\) 的分子、分母各变成原来的几倍？

A。\(\tan A'=\dfrac{4a}{4b}=\dfrac ab=\tan A\)；三角形放大，角不变，三角函数值不变。B 只把对边乘了 4（翻车现场 ②）；C 只把邻边乘了 4；D 是按面积的倍数 \(4^2\) 算的。

5. 下列等式或不等式中，正确的是：

提示

每个都用三角板现场推一下，别凭印象。

C。\(30^\circ+60^\circ=90^\circ\)，互余，两边都等于 \(\dfrac{\sqrt3}2\)。A：\(2\sin30^\circ=1\)，而 \(\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}2\)，角翻倍值不翻倍（翻车现场 ③）；B 是和 \(\tan60^\circ\) 记反了，\(\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}3\)；D 是以为角大余弦也大，其实 \(\cos60^\circ=\dfrac12\lt\dfrac{\sqrt3}2=\cos30^\circ\)。

挑战

6. 在 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，\(\sin A=\dfrac5{13}\)，\(BC=10\)。求 \(\triangle ABC\) 的周长。

提示 1：设边

\(BC\) 是 \(\angle A\) 的对边。设 \(BC=5k\)，\(AB=13k\)，由 \(BC=10\) 求 \(k\)。

提示 2：第三条边

用勾股定理求 \(AC\)，三边加起来。

D。\(5k=10\)，\(k=2\)，\(AB=26\)，\(AC=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{576}=24\)，周长 \(10+24+26=60\)。A 是直接把三边当成 5、12、13，没乘 \(k\)；B 是 \(10+26\)，漏了 \(AC\)；C 是 \(10+24\)，漏了斜边 \(AB\)。

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