培玉 · 初中数学← 返回主页九年级下册· 第三十二章 相似
32.1 图形的相似
把照片放大，人还是那个人；把照片只往横里拉，人就变“胖”了。什么样的放大缩小能让“形状不变”？这一节用“线段的比”把“形状相同”说清楚，再看两个多边形什么时候算相似。
说明：新版九下 2027 春才出版，本节先按旧版教材（原九下第二十七章 27.1）编排，出版后再对表。
本节导读 先修：比和比例、14.1 全等三角形 · 本节路线
要用到：比的意义、约分；全等图形（回看 14.1）；平行四边形、矩形、菱形、正方形的边和角（回看 21.3）。小学的“比例”没学过也不要紧，下面从头讲。
- 从图片拉伸进入：哪种放大“形状不变”？
- 相似图形：形状相同，大小可以不同；全等是特例。
- 线段的比、成比例线段，比例的基本性质 \(ad=bc\)，顺序有讲究。
- 相似多边形：角分别相等、边成比例，两个条件缺一不可。
- 相似比有方向；周长比等于相似比。
- 三大翻车现场：形状差不多、只看一个条件、对应边配错。
左边是一张小房子的图片。点按钮，用三种方式把它变大，看右边的新图：
哪一种变大后，房子的形状没有变，只是变大了？
B。宽和高乘同一个倍数，屋顶的尖角还是 \(90^\circ\)，房子只是变大了。只拉宽，屋顶变扁；只拉高，屋顶变尖，形状都变了。选 D 是只看“都还是房子”，没看比例。
“形状相同”怎么用数说清楚？关键是：每个方向都按同一个倍数放大缩小。
1. 先认识几个词：相似图形
形状相同的图形叫相似图形。两个图形相似，其中一个可以看成由另一个放大或缩小得到；放大缩小时，图上每一条线段都乘同一个倍数，角的大小不变。点按钮，把箭头按不同方式变化：
直觉微图解 ①每个方向乘同一个倍数，形状才不变
核心概念 ②相似：形状相同，大小可以不同
同一张底片洗出的大小照片、地图和它的放大版、两个大小不同的圆，都是相似图形。
核心概念 ③全等是特殊的相似
放大倍数是 1 时，形状、大小都相同，就是全等。哈哈镜、只拉宽的图片，各方向倍数不同，形状变了，不相似。
自己试试：一张照片宽 6 cm、高 4 cm。冲洗成下面哪种尺寸，照片里的人不会变形？
B。\(9\div6=1.5\)，\(6\div4=1.5\)，宽、高乘同一个倍数。A 是宽、高各加 2 cm：\(8\div6\ne6\div4\)，形状变了；C 是只拉宽（宽 ×2，高 ×1）。
2. 核心点：线段的比与成比例线段
“乘同一个倍数”换个说法就是“比相等”。两条线段长度的比（用同一个长度单位量）叫这两条线段的比。四条线段 \(a,b,c,d\) 中，如果 \(\dfrac ab=\dfrac cd\)，就说这四条线段成比例，简称比例线段。注意是按 \(a,b,c,d\) 这个顺序说的。
这叫比例的基本性质：两边同乘 \(bd\) 就得到 \(ad=bc\)；反过来两边同除以 \(bd\) 就回到比例式。
直觉微图解 ②同样四条线段，顺序一换可能就不成比例
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
四条线段 \(a,b,c,d\) 成比例，其中 \(a=2\text{ cm}\)，\(b=5\text{ cm}\)，\(c=0.6\text{ dm}\)。求 \(d\)。
① 读懂题意：“\(a,b,c,d\) 成比例”就是 \(\dfrac ab=\dfrac cd\)，顺序不能乱；三个已知长度的单位不一样。
提示 1：先做什么
比只能在同一单位下算：\(0.6\text{ dm}=6\text{ cm}\)。然后列比例式，用基本性质化成乘积。
看完整示范
④ 回头看：要是忘了换单位，会算出 \(2d=5\times0.6\)，\(d=1.5\)，差了 10 倍。成比例先看单位，再看顺序。
自己试试：线段 \(a=4\text{ cm}\)，\(b=6\text{ cm}\)，\(c=10\text{ cm}\)，且 \(a,b,c,d\) 成比例。\(d\) 是多少？
C。\(\dfrac46=\dfrac{10}d\)，\(4d=60\)，\(d=15\)；检查 \(\dfrac{10}{15}=\dfrac23=\dfrac46\) ✓。A 是把顺序写成 \(\dfrac ab=\dfrac dc\)：\(\dfrac46=\dfrac d{10}\)，得 \(d=\dfrac{20}3\)。B 是以为“\(b\) 比 \(a\) 多 2，\(d\) 也比 \(c\) 多 2”——比例看的是倍数，不是差。
自己试试：已知 \(\dfrac ab=\dfrac cd\)（四个数都不为 0）。下面哪个式子不一定成立？
D。D 化成乘积是 \(ac=bd\)，和 \(ad=bc\) 不是一回事：取 \(2,3,4,6\)，\(\dfrac23=\dfrac46\)，但 \(\dfrac23\ne\dfrac64\)。A 是基本性质；B、C 化成乘积都是 \(ad=bc\)，所以成立。以为 A、B、C 不一定成立，是没把它们化成乘积式核对。
3. 核心点：相似多边形
两个边数相同的多边形，两个条件都满足才相似。对应边的比叫相似比。写“四边形 \(ABCD\backsim\) 四边形 \(A'B'C'D'\)”时，对应顶点写在对应位置：\(A\) 对 \(A'\)，\(B\) 对 \(B'\)……
为什么要两个条件？看看正方形和别的四边形比一比：
直觉微图解 ③只满足一个条件，形状还是不同
例 2（示范：由相似比求边、角和周长）
四边形 \(ABCD\backsim\) 四边形 \(A'B'C'D'\)，\(AB=4\)，\(BC=5\)，\(CD=6\)，\(DA=3\)，\(A'B'=6\)，\(\angle B=100^\circ\)。求：(1) 四边形 \(ABCD\) 与四边形 \(A'B'C'D'\) 的相似比；(2) \(B'C'\) 和 \(\angle B'\)；(3) 两个四边形的周长比。
① 读懂题意：顶点按顺序对应：\(AB\) 对 \(A'B'\)，\(BC\) 对 \(B'C'\)，\(\angle B\) 对 \(\angle B'\)。“\(ABCD\) 与 \(A'B'C'D'\)”的相似比，前者的边作分子。
提示 1：哪一组边两个都知道
只有 \(AB\) 和 \(A'B'\) 都已知，相似比就从这一组算：\(\dfrac{AB}{A'B'}\)。
看完整示范
④ 回头看：周长比等于相似比：每条边都乘 \(k\)，加起来的周长也乘 \(k\)。反过来，\(A'B'C'D'\) 与 \(ABCD\) 的相似比是 \(\dfrac32\)，说相似比要说清谁对谁。
自己试试：四边形 \(ABCD\backsim\) 四边形 \(EFGH\)，\(AB=3\)，\(EF=12\)。四边形 \(EFGH\) 与四边形 \(ABCD\) 的相似比是多少？
A。“\(EFGH\) 与 \(ABCD\)”，\(EFGH\) 的边作分子：\(\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{12}3=4\)。B 是写反了，算成了 \(ABCD\) 与 \(EFGH\) 的相似比；C 是 \(12-3\)，相似比是倍数，不是差。
4. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：放大后的面积怎样变？
在动手①中把横、竖倍数都调成k。分别取k=2和k=3/2，先数新图面积与原图的格子，猜面积比与k的关系。
想好后看解释
两方向都乘2时，面积是4倍；都乘3/2时，面积是9/4倍。观察提示面积比是k²，32.2相似三角形再证明。
另一个问题：四边形“只看角”“只看边”都不够，那三角形呢？三角形有没有更省事的判断办法？也留到 32.2。在那之前，判断任何多边形相似都要把两个条件核对齐全。
① 网格上的放大：横、竖倍数分开调
左边是原图 \(ABCDEF\)（每格边长 1）。两条滑轨分别调新图的横向倍数和纵向倍数（\(\dfrac12\) 到 \(\dfrac52\)）。拖动圆点，或点一下圆点再用方向键。看看什么时候新图和原图相似。
② 两个矩形相似吗？
四条滑轨分别调矩形甲、乙的横边和竖边（1 到 8）。矩形的角都是 \(90^\circ\)，只需看边。用 \(ad=bc\) 精确比较，不用小数估。
③ 进阶：只改角，或者只改边
左边是边长 3 的正方形 \(ABCD\)。右边的平行四边形 \(A'B'C'D'\) 中 \(B'C'=4\)：拖动 \(D'\) 改变 \(\angle A'\)（每次 \(15^\circ\)），拖动 \(B'\) 改变 \(A'B'\) 的长（2 到 6）。找出和正方形相似的那一种，再看只改一样时为什么不行。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 若 \(\dfrac a4=\dfrac96\)，则 \(a\) 等于多少？
D。两头相乘等于中间相乘：\(6a=4\times9=36\)，\(a=6\)；检查 \(\dfrac64=\dfrac32=\dfrac96\) ✓。A 是把 \(a\) 和 \(9\) 当成一对相乘：\(9a=24\)；C 是把 \(a\) 和 \(4\) 相乘：\(4a=54\)；B 是以为“9 比 6 多 3，\(a\) 也比 4 多 3”。
2. 五边形 \(ABCDE\backsim\) 五边形 \(A'B'C'D'E'\)，前者与后者的相似比是 \(2:3\)。五边形 \(ABCDE\) 的周长是 \(24\text{ cm}\)，五边形 \(A'B'C'D'E'\) 的周长是多少？
A。周长比等于相似比：\(24:x=2:3\)，\(2x=72\)，\(x=36\)。B 是方向弄反：\(24\times\dfrac23=16\)，可后者比前者大；C 是把相似比平方了：\(24\times\dfrac94=54\)，周长比不平方。
易错
3. 下面每组两个图形，一定相似的是哪一组？
提示
每组都问两件事：对应角一定分别相等吗？对应边一定成比例吗？能举出一个反例，就不是“一定”。
C。两个正方形角都是 \(90^\circ\)，四边各自相等，边的比都相同。A 只保证角相等（\(6\times4\) 与 \(8\times6\) 不相似，翻车现场 ①）；B 只保证边成比例，角可以不同；D 两个条件都不保证。
4. 小林说：“菱形 \(ABCD\) 四条边都是 5，正方形 \(EFGH\) 四条边都是 10，对应边的比都是 \(1:2\)，所以它们相似。”这个说法：
提示
相似多边形的定义有几个条件？小林核对了哪一个？菱形的角一定是 \(90^\circ\) 吗？
B。只核对了边（翻车现场 ②）。比如一个角是 \(60^\circ\) 的菱形，和正方形形状明显不同。A、D 都是只看了一个条件；C 的毛病不在这里：若菱形也是正方形，按小林的顺序写相似比 \(1:2\) 没问题。但题目没有给出角相等的条件，所以不能断定它们相似。
5. 四边形 \(ABCD\backsim\) 四边形 \(PQRS\)，\(AB=6\)，\(BC=8\)，\(PQ=9\)。\(QR\) 等于多少？
提示
按字母位置配对：\(AB\) 对 \(PQ\)，\(BC\) 对 \(QR\)。\(PQRS\) 的边是 \(ABCD\) 对应边的几倍？
D。\(\dfrac{PQ}{AB}=\dfrac96=\dfrac32\)，\(QR=8\times\dfrac32=12\)。A 是倍数用反了：\(8\times\dfrac69=\dfrac{16}3\)；B 是以为“多 3”：\(8+3\)；C 是把 \(PQ\) 配给了 \(BC\)：\(\dfrac{QR}{AB}=\dfrac{PQ}{BC}\)，\(QR=\dfrac{6\times9}8=\dfrac{27}4\)（翻车现场 ③）。
挑战
6. 一张矩形纸片长 \(x\)、宽 \(2\)（\(x>2\)）。沿两条长边中点的连线剪开，得到两个一样的小矩形，每个小矩形都与原矩形相似。\(x\) 是多少？
提示 1：小矩形的边
小矩形两边是 \(2\) 和 \(\dfrac x2\)。如果 \(\dfrac x2\) 比 2 还长，小矩形的长边 \(\dfrac x2\) 对原来的长边 \(x\)、短边 2 对 2，相似比就是 1，可 \(\dfrac x2\ne x\)，不可能。所以小矩形的长边是 2。
提示 2：列比例式
长边对长边、短边对短边：\(\dfrac x2=\dfrac2{x/2}\)。用基本性质化成乘积。
B。\(x\cdot\dfrac x2=2\times2\)，\(x^2=8\)，\(x=2\sqrt2\)（\(x>0\)）。检查：小矩形长 2、宽 \(\sqrt2\)，\(\dfrac2{\sqrt2}=\sqrt2\)，原矩形 \(\dfrac{2\sqrt2}2=\sqrt2\) ✓。A 是把相似当成全等，令小矩形的短边 \(\dfrac x2=2\)，可这时小矩形是正方形；C 是 \(x^2=8\) 忘了开方；D 是解出 \(\left(\dfrac x2\right)^2=2\) 得 \(\dfrac x2=\sqrt2\) 后忘了乘 2。
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