培玉 · 初中数学← 返回主页九年级上册 · 第二十八章 旋转
28.2 中心对称
把图形绕一个点旋转 180°，观察它与原图形的关系。从扑克牌花色、风车风叶到平行四边形、正方形与圆，理解中心对称与中心对称图形的联系，掌握对称中心与中点性质，学习直角坐标系中关于原点对称的坐标法则 \((x, y) \to (-x, -y)\)。
本节导读 先修：15.1 轴对称 · 28.1 图形的旋转 · 本节路线
要用到：轴对称与线段垂直平分线（回看 15.1）、旋转三要素与性质（回看 28.1）、平面直角坐标系（回看 9.1）。
- 从魔术扑克牌旋转 \(180^\circ\) 还原切入：什么是中心对称？
- 清晰辨析两个核心概念：两个图形的“中心对称”与一个图形本身的“中心对称图形”；
- 掌握中心对称的几何性质：对称点连线经过对称中心且被对称中心平分，对称线段平行且相等；
- 直角坐标系中的关于原点对称：横纵坐标双双变相反数 \((x, y) \to (-x, -y)\)；
- 动手交互实验：平行四边形绕中心旋转交互台与进阶坐标系原点对称点映射台（含重置按钮）；
- 自检与中考真题演练，突破中考高频图形识别、对顶点求坐标与代数参数方程求值。
魔术师拿出一张扑克牌方块 8，将扑克牌平放在桌面上，绕着扑克牌的中心旋转 \(180^\circ\)（倒转过来）。观众惊讶地发现：整张牌看起来和旋转之前一模一样！
仔细观察一个平行四边形绕着它对角线的交点 \(O\) 旋转 \(180^\circ\) 后的效果，下列叙述正确的是（ ）
D。平行四边形对角线互相平分，绕对角线交点 \(O\) 旋转 \(180^\circ\) 后，顶点 \(A\) 与 \(C\) 互换，顶点 \(B\) 与 \(D\) 互换，四条边完全落在原来的边上。
把一个图形绕着某一个点旋转 \(180^\circ\)，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这种特殊的旋转变换就是中心对称。
1. 先认识几个词：什么是中心对称与中心对称图形？
绕中心旋转 180° 后与另一图形重合。
沿直线折叠后重合；一条对称轴不能替代中心。
先检查条件，再使用关系；彩色标注帮助区分量。
前置知识：旋转的定义（回看 28.1）。中心对称是旋转角为 \(180^\circ\) 的特殊旋转，需严格分清以下两个词：
- 中心对称（两个图形）：把一个图形绕着某一点旋转 \(180^\circ\)，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称（central symmetry）。该点叫作对称中心，两个图形中的对应点叫作关于中心的对称点。
- 中心对称图形（一个图形自身）：把一个图形绕着某一点旋转 \(180^\circ\)，如果旋转后的图形能够与原来的图形自身重合，那么这个图形叫作中心对称图形。这个点就是它的对称中心。
- 注意区别：中心对称说的是“两个图形的位置关系”；中心对称图形说的是“一个图形本身的对称特征”。
直觉微图解 ①概念辨析：两个图形的中心对称 vs 一个图形的中心对称图形
自己试试 1：下列四种常见几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
B。依次分析：
- A 等边三角形：有 3 条对称轴（轴对称），但绕中心旋转 \(180^\circ\) 顶点朝下，不是中心对称图形；
- B 矩形：有 2 条对称轴，且绕对角线交点旋转 \(180^\circ\) 与自身重合，既是轴对称又是中心对称图形；
- C 普通平行四边形：只是中心对称图形，不是轴对称图形；
- D 等腰梯形：只是轴对称图形（1 条对称轴），不是中心对称图形。
常见图形的对称性总结
| 图形类别 | 轴对称图形？ | 中心对称图形？ | 对称中心/对称轴 |
|---|---|---|---|
| 线段 | ✓（2条） | ✓ | 中点 / 垂直平分线与本身 |
| 平行四边形 | ✗ | ✓ | 对角线交点 |
| 矩形 / 菱形 | ✓（2条） | ✓ | 对角线交点 |
| 正方形 | ✓（4条） | ✓ | 中心点 |
| 圆 | ✓（无数条） | ✓ | 圆心 |
2. 中心对称的核心几何性质：中点平分与线段平行
中心对称作为旋转角为 \(180^\circ\) 的特殊旋转，对应点连线与中心共线，呈现出独特的几何性质：
- 中点性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分（即对称中心是任意一对对应点连线段的中点）。
- 图形全等：中心对称的两个图形是全等形，对应线段相等，对应角相等。
- 平行性：对应线段互相平行（或者在同一条直线上），且长度相等。
直觉微图解 ②中点平分与共线性：A-O-A' 三点一线且 OA = OA'
自己试试 2：已知点 \(A\) 和点 \(A'\) 关于点 \(O\) 成中心对称，若点 \(A\) 的坐标为 \((-7, 8)\)，对称中心为原点 \(O(0, 0)\)，则点 \(A'\) 的坐标是（ ）
A。因为点 \(A\) 与点 \(A'\) 关于原点中心对称，原点 \(O\) 是线段 \(AA'\) 的中点。
设 \(A'(x', y')\)，由中点坐标公式 \(\frac{-7 + x'}{2} = 0, \frac{8 + y'}{2} = 0\)，直接解得 \(x' = 7, y' = -8\)。即两个关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数。
作图心法：如何作出一个图形关于已知点 O 对称的图形？
- 连线：连接图形的各个关键顶点与对称中心 \(O\)；
- 延长：将连线向另一侧延长；
- 截取等长：在延长线上截取与原线段等长的线段，找到各对应点（即取各顶点关于点 \(O\) 的对称点）；
- 顺次连接：顺次连接所有对称点，得到成中心对称的图形。
典例 1（波利亚四步法）：过对称中心的直线平分平行四边形
【例 1】平行四边形 \(ABCD\) 的对角线 \(AC, BD\) 相交于点 \(O\)，过点 \(O\) 作直线 \(EF\) 分别交边 \(AB, CD\) 于点 \(E, F\)。若 \(AE = 3, EO = 2\)，求 \(CF + FO\) 的值。
- ① 读懂题意：点 \(O\) 是平行四边形对角线交点（即对称中心），直线 \(EF\) 经过对称中心 \(O\)，已知 \(AE = 3, EO = 2\)，求 \(CF + FO\)。
- ② 想办法：利用平行四边形绕中心 \(O\) 旋转 \(180^\circ\) 与自身重合的性质（或证 \(\triangle AOE \cong \triangle COF\)），找出点 \(A, E\) 的对称点。
- ③ 执行 + 执行中检查：平行四边形 \(ABCD\) 绕点 \(O\) 旋转 \(180^\circ\) 后，边 \(AB\) 与 \(CD\) 重合，直线 \(OE\) 与 \(OF\) 重合，故交点 \(E\) 与 \(F\) 关于点 \(O\) 对称（检查：\(\angle OAE = \angle OCF, OA = OC, \angle AOE = \angle COF \implies \triangle AOE \cong \triangle COF\)）。因此 \(CF = AE = 3\)，\(FO = EO = 2\)，故 \(CF + FO = 3 + 2 = 5\)。
- ④ 回头看：过平行四边形对称中心 \(O\) 的任意一条直线，不仅被点 \(O\) 平分（\(OE = OF\)），而且把平行四边形分成两个全等的图形，平分其周长和面积！
3. 直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律
当对称中心落在平面直角坐标系的原点 \(O\) 时，几何对称完美转化为代数上的相反数规律：
- 核心法则：两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，即：
- \(P(x, y) \quad \xrightarrow{\text{关于原点对称}} \quad P'(-x, -y)\)
- 象限对顶迁移：第一象限 \((+,+)\) 与第三象限 \((-,-)\) 互为关于原点对称；第二象限 \((-,+)\) 与第四象限 \((+,-)\) 互为关于原点对称。
直觉微图解 ③直角坐标系关于原点对称图解：对角象限投射
自己试试 3：在平面直角坐标系中，平行四边形 \(ABCD\) 的对角线交点在原点，若点 \(A\) 的坐标为 \((-3, 4)\)，则顶点 \(C\) 的坐标是（ ）
C。平行四边形是中心对称图形，其对角线交点即为对称中心。
因为对角线交点在原点，所以相对的两个顶点 \(A\) 与 \(C\) 关于原点成中心对称。由原点对称坐标法则 \((x, y) \to (-x, -y)\)，点 \(A(-3, 4)\) 的对称点 \(C\) 的坐标为 \((3, -4)\)。
口诀记忆：三类坐标对称规律横向大串联
- 关于 \(x\) 轴对称：横坐标不变，纵坐标变相反数，即 \((x, y) \to (x, -y)\)；
- 关于 \(y\) 轴对称：纵坐标不变，横坐标变相反数，即 \((x, y) \to (-x, y)\)；
- 关于原点对称：横纵坐标双双变相反数，即 \((x, y) \to (-x, -y)\)；
- 极速口诀：“关于谁对称谁不变，关于原点全变号”！
典例 2（波利亚四步法）：利用原点对称列方程求参数
【例 2】已知点 \(P(a - 1, -5)\) 与点 \(P'(3, b + 1)\) 关于原点对称，求 \(a + b\) 的值。
- ① 读懂题意：点 \(P\) 与 \(P'\) 关于原点对称，给出了含有未知数 \(a, b\) 的坐标表达式，求代数和 \(a + b\)。
- ② 想办法：根据原点对称点的特征，两点的横坐标互为相反数（相加为 \(0\)）、纵坐标互为相反数（相加为 \(0\)），列出一元一次方程分别求解 \(a\) 和 \(b\)。
- ③ 执行 + 执行中检查：由横坐标互为相反数得 \((a - 1) + 3 = 0 \implies a = -2\)；由纵坐标互为相反数得 \(-5 + (b + 1) = 0 \implies b = 4\)（检查：此时 \(P(-3, -5)\)，\(P'(3, 5)\)，确为原点对称）。因此 \(a + b = -2 + 4 = 2\)。
- ④ 回头看：用“横坐标之和 \(= 0\)、纵坐标之和 \(= 0\)”列方程，比带负号移项更不易发生符号错误。
用之前必查：三大翻车现场
实验 1平行四边形绕中心旋转 180° 动态重合台
拖动滑块调节旋转角 \(\alpha\)（\(0^\circ\) 到 \(180^\circ\)），观察平行四边形 \(ABCD\) 绕对角线交点 \(O\) 旋转的过程。旋转到 \(180^\circ\) 时，观察各顶点如何完全与相对顶点重合。
实验 2进阶：坐标系关于原点中心对称映射台
拖动滑块改变动点 \(P\) 的横纵坐标，观察对称点 \(P'\) 的动态位置。连线 \(PP'\) 永远经过原点 \(O\)，且 \(O\) 永远是线段 \(PP'\) 的中点。
作图工坊：由你取点，再连成整图
每格长 1。按题目给的中心 O，自己为 A、B、C 取对应点。不能只把原点当中心：先连顶点与 O，再向 O 的另一侧截取等长，最后按原来的顶点次序连图。
选一个待作点后点击或触摸网格；也可在网格用方向键移动光标，Enter 或空格落点；还可直接填坐标。坐标范围为 −6 至 6；输入须由半角数字 0–6 中的一个数字组成，可带半角正负号和首尾空格或制表符，不接受小数、分数、指数、全角数字或数字间空格。本活动只核对这些网格题。
待你作图；目前没有对应点。
纸笔作图与自核（不自动评定）
在方格纸上抄下本题原图与 O，保留各条辅助线、等长标记和整图。逐点核对：原顶点、O、对应点共线吗？O 在两点之间且到两点距离相等吗？若原顶点恰是 O，对应点是否仍在 O？连图顺序是否一致？同伴可用直尺逐点复核，再交换一题。纸笔作品和文字理由由你们按准则自核，页面不认证其正确。
自证工坊：任意过中心的直线为什么能平分？
设 ABCD 是不退化的平行四边形，四顶点按边界次序排列，O 是对角线交点。任取过 O 的直线 l，与边界的两个交点为 E、F（可能是顶点），把它分成两块。证明两块面积相等，原四边形边界分在两侧的长度相等，进而两块各自的周长相等。请解释“任意”，不能用拖动或测量几次代替证明。
写完后展开：逐步对照论证与边界
- 对角线互相平分，故 A、C 关于 O 对称，B、D 也关于 O 对称。半周旋转把各条边依次映到对边，整个平行四边形与自身重合。过 O 的直线仍是自身，但它的两个半平面互换：直线外任一点与其对应点分居直线两侧。
- O 在内部，过 O 的直线与这个凸四边形边界恰有两个交点 E、F。旋转把边界映回边界，又把 l 的两条射线互换，故 E、F 互换，OE=OF。每一块内的任一点都转到另一块内，反转一次又转回，既无遗漏也无多余。因此两块经旋转完全重合，是全等形，面积相等。这不是从有限次测量推出来的。
- 原边界被 E、F 分成两条路径。旋转把一条路径的每段映到另一条路径的等长段，故两条路径长度均为原周长的一半。每一块的边界还包括同一条切口 EF，因此每块周长=原周长的一半+EF，两块周长相等；不能说每块周长是原周长的一半。
- 若 E 是顶点，半周旋转把它映到对顶点 F，此时 l 就是那条对角线，两块是全等三角形，前述对应仍成立。对角线以外的过 O 直线不经过顶点。O 在内部，故 l 不可能沿原边所在直线。两块都包含切口 EF 作为边界，切口没有面积，端点没有长度，重合部分不影响面积或原边界长度的二等分；但 EF 必须分别计入两块的周长。退化为线段的“四边形”不在本命题范围。
把 O 改成非中心的内部点，或只说“看起来一样”，还能保证任意直线都平分吗？画一个长方形和一条偏离中心的竖直切线，说明缺少了什么条件。
尚未自核；文字不由机器判真。
练习 1：下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A。正偶数边形（如正方形、正六边形、正八边形等）都是中心对称图形；正奇数边形（如正三角形、正五边形）不是中心对称图形。直角梯形既不是轴对称图形也不是中心对称图形。
练习 2：在平面直角坐标系中，点 \(P(4, -5)\) 关于原点的对称点 \(P'\) 的坐标是（ ）
D。根据原点对称点的坐标特征：\((x, y) \to (-x, -y)\)，点 \(P(4, -5)\) 的对称点坐标为 \((-4, 5)\)。
练习 3：在平面直角坐标系 \(xOy\) 中，正方形 \(ABCD\) 的对角线 \(AC, BD\) 相交于原点 \(O\)，若点 \(A\) 的坐标是 \((3, 1)\)，则点 \(C\) 的坐标是（ ）
B。正方形对角线交点 \(O\) 是其对称中心，相对的两个顶点 \(A\) 与 \(C\) 关于原点对称，故点 \(C\) 的坐标为 \((-3, -1)\)。
练习 4：已知点 \(M(m, 4)\) 与点 \(N(-3, n)\) 关于原点对称，则 \(m - n\) 的值是（ ）
B。由原点对称可知，横坐标互为相反数 \(m = 3\)，纵坐标互为相反数 \(n = -4\)。因此 \(m - n = 3 - (-4) = 7\)。
练习 5：若点 \(A(x, 2)\) 与点 \(B(-3, y)\) 关于原点对称，则点 \(M(x, y)\) 所在的象限是（ ）
提示
先由点 \(A, B\) 关于原点对称求出 \(x, y\) 的正负号，再判断 \((x, y)\) 位于第几象限。
D。因为点 \(A(x, 2)\) 与 \(B(-3, y)\) 关于原点对称，所以 \(x = 3 > 0\)，\(y = -2 \lt 0\)。横正纵负的点 \(M(3, -2)\) 位于第四象限。
易错提醒：中心对称图形的快速辨析法
试翻法：想象将试卷或手机倒过来旋转 \(180^\circ\)：
- 如果图形看起来与原来完全一样，就是中心对称图形（例如平行四边形、英文字母 N、S、Z、汉字“日”“中”等）；
- 如果倒过来形状颠倒了（如等边三角形尖朝下、英文字母 A、W 等），就不是中心对称图形。
巩固练习 1：在平面直角坐标系中，点 \(A(-1, 2)\) 关于原点对称的点的坐标是（ ）
C。在平面直角坐标系中，点 \(P(x, y)\) 关于原点 \((0, 0)\) 对称的点的坐标为 \(P'(-x, -y)\)，即横、纵坐标同时变号．因此点 \(A(-1, 2)\) 关于原点对称的点的坐标为 \((1, -2)\)，故选 C．
巩固练习 2：在平面直角坐标系中，点 \(P(2, 1)\) 关于原点对称的点的坐标是______．
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答案：\((-2,-1)\)
关于原点对称的两点，横、纵坐标都互为相反数，所以点 \(P(2, 1)\) 关于原点对称的点的坐标是 \((-2, -1)\)．
本节中考真题
共 16 道，含 4 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
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