培玉 · 初中数学← 返回主页九年级下册· 第三十一章 概率初步
31.3 用频率估计概率
掷骰子、摸球，结果等可能，可以一个个列出来算概率。可瓶盖、图钉落地，“朝上”“朝下”的概率又该怎样得到？
说明：新版九下 2027 春才出版，本节先按旧版教材（原九上第二十五章 25.3）编排，出版后再对表。
本节导读 先修：31.1 概率、31.2 列举法、12.2 频率 · 本节路线
要用到：概率的意义、\(0\le P(A)\le1\)（回看 31.1）；结果有限且等可能时用列举法求概率（回看 31.2）；频数、频率 = 频数 ÷ 总数（回看 12.2）；用样本估计总体（回看 24.1）。
- 从“瓶盖落地”进入：两种结果，但不等可能。
- 频率：试验做出来的数，每组都可能不同。
- 频率的稳定性：大量重复试验，频率稳定在某个常数附近。
- 用频率估计概率：读频率表，取次数多时频率稳定的值。
- 用估计的概率算数量：成活率、估计个数，结论带“大约”。
- 三个误区：频率当概率、以为次数多就一定更近、赌徒谬误。
把一个瓶盖随手往桌上抛，落下后要么口朝上，要么口朝下。点按钮看抛了不同次数后，“口朝上”占多少（同一串试验，只是看到的次数不同）：
瓶盖落地只有两种结果。“口朝上”的概率是 \(\dfrac12\) 吗？
C。瓶盖两面形状不同，落地时“口朝上”“口朝下”并不等可能，不能用 \(\dfrac mn\) 去数（A 错）。抛 10 次时频率忽高忽低，说明不了什么（B 错）；但抛到几百、上千次，频率就稳在一个数附近，可以拿它当概率的估计（D 错）。
这一节要回答：频率为什么能估计概率？怎么读、怎么用？
如果骰子有偏，不能预先按六种结果等可能计数。你会怎样用多次试验，估计各点数出现的概率？本节用频率来研究。
导入提示：怎样开始收集数据？
保持试验条件，每次重新掷骰子，记录各点数出现的次数，再除以总次数得到频率。用多组大量试验观察频率是否稳定，作为概率的估计；不能因为次数多就断言偏骰各面概率都是1/6。
1. 先认识几个词：频率、重复试验
前置提醒：频率在七下学过（回看 12.2）；概率是刻画事件发生可能性大小的数（回看 31.1）。
在相同条件下把同一个试验做 \(n\) 次，每次结果互不影响，叫重复试验。如果事件 \(A\) 发生了 \(m\) 次，比值 \(\dfrac mn\) 叫事件 \(A\) 发生的频率。频率是做出来的数据：同样抛 20 次硬币，每组得到的频率一般不一样。点三组看看：
直觉微图解 ①同样抛 20 次，三组的频率各不相同
频率试验做出来的数
随试验而变，有偶然性；再做一遍，一般就不一样。
概率事件本身的属性
是一个确定的数，不随你做不做试验而变。均匀硬币正面朝上的概率就是 \(\dfrac12\)。
2. 核心点：频率的稳定性
次数少时频率摆得厉害；次数一多，频率就在某个数附近小幅摆动。下面是同一串抛硬币试验，点按钮看前 10、100、1000、5000 次里频率怎么变（横轴是次数，纵轴是正面朝上的频率）：
直觉微图解 ②次数越多，频率越“安静”
在大量重复试验中，事件 \(A\) 发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是 \(P(A)\)。所以可以用频率估计概率。注意是“约等于”：估计值不是概率本身。
“稳定在附近”不是“越来越近、最后相等”：次数多时摆动范围通常变小，但仍有起伏，某一段离得稍远一点也正常。
自己试试：小明抛一枚硬币 20 次，正面朝上 13 次。这 20 次里正面朝上的频率是多少？
B。频率 \(=\dfrac{13}{20}=0.65\)。A 是概率，不是这次试验的频率；C 是频数（次数）；D 是反面朝上的频率 \(\dfrac{7}{20}\)。
3. 核心点：读频率表，用频率估计概率
实际问题里，常把试验结果整理成表：次数 \(n\)、发生次数 \(m\)、频率 \(\dfrac mn\)。估计概率时看次数最多的那几行，频率在哪个数上下摆动，就用它（按题目要求的精度）。点按钮看表读到不同位置时的估计：
直觉微图解 ③一种种子的发芽试验：频率越来越贴着同一个数
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
林场对一种树苗做移植试验，结果如下。估计这种树苗移植成活的概率（精确到 \(0.1\)）。如果要成活 \(1800\) 棵，大约要移植多少棵？
| 移植棵数 \(n\) | 100 | 400 | 1000 | 2000 | 5000 |
|---|---|---|---|---|---|
| 成活棵数 \(m\) | 86 | 357 | 893 | 1794 | 4495 |
| 成活频率 \(\dfrac mn\) | 0.86 | 0.8925 | 0.893 | 0.897 | 0.899 |
① 读懂题意：“成活”“不成活”不等可能，概率要靠试验估计；第二问是已知成活数求移植数。
提示 1：看哪几行
次数最多的 2000、5000 两行，频率在 \(0.9\) 上下。
看完整示范
④ 回头看：答案要写“大约移植 \(2000\) 棵”：概率是估计的，真实移植时成活数还会有起伏。用 \(1800\times0.9\) 是把方向弄反了。
自己试试：工厂抽检一种零件，\(200\) 件中合格 \(188\) 件，\(500\) 件中合格 \(476\) 件，\(1000\) 件中合格 \(949\) 件，\(2000\) 件中合格 \(1902\) 件。估计这种零件合格的概率约为（精确到 \(0.01\)）：
提示
四个频率依次是 \(0.94,\ 0.952,\ 0.949,\ 0.951\)；次数多的几行在哪个数上下？
D。后三行频率 \(0.952,0.949,0.951\) 都在 \(0.95\) 附近。A 只看了次数最少的第一行 \(188\div200\)；B 是以为“合格、不合格两种结果各一半”；C 是不合格的概率。
4. 用估计的概率反推数量
频率还能反过来估计“有多少”。只要每次试验条件相同，“在样本里占几成”就能估计“在总体里大约占几成”（回看 24.1 用样本估计总体）。
例 2（示范：估计池塘里有多少条鱼）
从池塘里捞出 \(120\) 条鱼，做上标记后放回。几天后鱼混匀了，再捞 \(150\) 条，其中有标记的 \(9\) 条。估计池塘里大约有多少条鱼？
看完整示范
回头看：前提是“混匀了”，每条鱼被捞到的机会一样；答“大约 \(2000\) 条”。
自己试试：不透明袋中有红球、白球共 \(40\) 个，除颜色外都相同。每次摸出一个记下颜色再放回，摸了 \(200\) 次，其中红球 \(48\) 次。估计袋中红球大约有几个？
A。摸到红球的频率 \(\dfrac{48}{200}=0.24\)，红球约 \(40\times0.24=9.6\approx10\) 个。B 是以为“两种颜色各一半”；C 把摸到的次数当成了个数；D 是白球的个数 \(40\times0.76\approx30\)。
5. 用之前必查：三大翻车现场
下面的试验由计算机用伪随机数模拟：每次结果不同，规律相同。“重置”回到同一组开头，“再来一组”换一串新结果。
① 抛硬币：看频率怎么稳下来
每点一次就接着往后抛。折线是正面朝上的频率，虚线是概率 \(0.5\)。横轴是次数（刻度随次数自动放大）。
② 摸球：已知概率，看频率追不追得上
袋中 10 个球，拖动滑轨圆点（或点一下再用方向键）改红球个数。每次摸一个记下颜色再放回。虚线是摸到红球的概率 \(\dfrac{\text{红球数}}{10}\)。
③ 进阶：图钉的概率只能估计
图钉落地“钉尖朝上”“钉尖着地”不等可能，没法列举。多抛几次，拖下面滑轨上的圆点写下你的估计（灰虚线），最后点“揭晓”看看计算机设定的概率。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 一名射击运动员练习 \(400\) 次，命中 10 环 \(128\) 次。他命中 10 环的频率是多少？
C。\(128\div400=0.32\)。A 是没命中 10 环的频率 \(272\div400\)；B 是频数；D 是把除法倒过来 \(400\div128\)。
2. 大量试验表明，一种种子的发芽概率约为 \(0.85\)。播下 \(2000\) 粒，估计发芽的种子：
B。\(2000\times0.85=1700\)，是估计值。A 是错用除法 \(2000\div0.85\approx2353\)；C 是不发芽的 \(2000\times0.15\)；D 把估计说成了必然。
易错
3. 抛一枚质地均匀的硬币，已经连续 4 次反面朝上。第 5 次正面朝上的概率：
提示
每次抛硬币互不影响；硬币会“记得”前面的结果吗？
D。每次试验互不影响，仍是 \(\dfrac12\)。A 是赌徒谬误“该补正面了”（翻车现场 ③）；B 是“手气在反面”；C 是被前 4 次搞糊涂了。
4. 下面说法正确的是哪一个？
提示
分清“频率”（做出来的数）和“概率”（确定的数）；“稳定在附近”和“一定越来越近”一样吗？
C。A 把 10 次的频率当成概率；B 错在“一定”，频率仍会上下摆动；D 把概率当成必然的次数，抛 100 次正面可能是 47 次、53 次。
5. 一种花苗移植的成活率约为 \(0.9\)。公园想要成活 \(900\) 株，大约要移植多少株？
提示
移植株数 × 成活率 ≈ 成活株数。已知的是哪一个？
A。\(900\div0.9=1000\)。B 是方向弄反，算成 \(900\times0.9\)；C 是以为“死了一成就多种一成”\(900\times1.1\)，但多种的那部分也会有不成活的；D 忘了有不成活的。
挑战
6. 不透明袋中有 \(3\) 个红球和若干个白球，除颜色外都相同。每次摸出一个记下颜色再放回，大量重复后发现摸到红球的频率稳定在 \(0.2\) 附近。估计袋中白球大约有几个？
提示 1：先估计什么
摸到红球的概率约 \(0.2\)，而它等于 \(\dfrac{\text{红球数}}{\text{球的总数}}\)。
提示 2：别停在总数
总数约 \(3\div0.2\)。题目问的是白球。
B。球的总数约 \(3\div0.2=15\) 个，白球约 \(15-3=12\) 个。A 停在了总数；C 是错算成 \(3\times0.2\)；D 是把“每 5 次约有 1 次摸到红球”直接当成袋里“1 个红球、4 个白球”，忘了红球其实有 \(3\) 个：红、白之比约 \(1:4\)，白球应是 \(3\times4=12\) 个。
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