培玉 · 初中数学← 返回主页七年级下册 · 第十二章 数据的收集、整理与描述
12.2 用统计图描述数据
收集来的数据，用什么图画出来最能说明问题？扇形图怎么画，直方图怎么分组，趋势图怎么帮我们预测？
本节导读 先修：12.1 统计调查、9.1 坐标 · 本节路线
要用到：怎样收集数据（回看 12.1）；在坐标系里描点（回看 9.1）；小学的条形图、折线图会画，扇形图会读，会算百分数。
- 从一次班级投票进入：同一组数据，画成不同的图，看出的东西不同。
- 扇形图：百分比换成圆心角，自己动手画。
- 选图：想表达占比、多少、变化，各用什么图。
- 频数分布直方图：四步走，难在分组（左闭右开、组数取整）。
- 趋势图：描点，画一条“尽可能靠近”各点的线，再预测。
- 动手改数据、改组距、拖趋势线；练习与中考真题。
七（3）班 \(40\) 人投票选最喜欢的课间活动：跳绳 \(14\) 人，阅读 \(12\) 人，下棋 \(8\) 人，踢毽子 \(6\) 人。同一组数据，点按钮看看画成三种图各是什么样：
班长想贴一张图，让大家一眼看出每种活动占全班的多大比例。用哪种图最合适？
B。整个圆表示全班，每块扇形表示一部分，适合看各项占多少。
详细解释
B。扇形图用整个圆表示全班，每块扇形是一部分，“占多少”一眼可见。条形图更适合比较各项有多少；折线图适合看随时间怎样变化，这四种活动没有先后，连成线没有意义。这一节学怎样画扇形图，怎样选图，再认识两种新图：直方图和趋势图。
1. 先认识几个词：扇形图、频数、组距、频数分布直方图、趋势图
前置知识：小学会画条形图、折线图，会读扇形图；怎样收集数据见 12.1；描点见 9.1。
扇形图用整个圆表示总体，每个扇形表示其中一部分，扇形的大小由它的圆心角决定。把数据分成若干组，落在各组内的数据的个数叫这一组的频数；每组两个端点之间的距离叫组距。列出各组和频数的表叫频数分布表；在横轴上按组画出紧挨着的小长方形、用高表示频数，就是频数分布直方图（本节只用每组一样宽的等距分组）。把成对的数据描成点，画一条尽可能靠近这些点的线来描述两个量的关系，叫趋势图。
直觉微图解 ①扇形的大小 = 这部分占全体的比例
调查 \(50\) 名同学的上学方式：步行 \(18\) 人，骑车 \(12\) 人，公交 \(15\) 人，家长接送 \(5\) 人。点一类，看它的扇形是怎么算出来的：
核心概念 ②条形图 vs 直方图
条形图的横轴是类别（步行、骑车……），条和条分开；直方图的横轴是一段段连续的数（\(145\)～\(150\) cm、\(150\)～\(155\) cm……），长方形一个挨一个，不留空隙。
核心概念 ③扇形只说占比，不说多少
“步行占 \(36\%\)”只告诉你比例。\(50\) 人里是 \(18\) 人，\(1\,000\) 人里就是 \(360\) 人。总数不同的两张扇形图，不能比扇形大小来比人数。
2. 核心点：扇形图——百分比换成圆心角
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
社区随机调查了 \(200\) 户居民对垃圾分类的掌握情况：完全掌握 \(92\) 户，基本掌握 \(64\) 户，了解一点 \(30\) 户，不了解 \(14\) 户。画扇形图前，先算出各部分的圆心角。
① 读懂题意：扇形图要的是“占比”，题目给的是“户数”。中间差了哪一步？
提示 1：先求百分比
每部分户数 ÷ 总户数 \(200\)。
看完整示范
④ 回头看：百分比加起来不是 \(100\%\)，多半是漏了一类（常常是“其他”）。扇形的先后位置可以换，不影响图的意思。
自己试试：一张扇形图里，“坐地铁”这一块的圆心角是 \(54^\circ\)。坐地铁的人占总人数的百分之几？
A。倒过来算：\(54^\circ\div360^\circ=0.15=15\%\)。圆心角的度数不是百分数，要除以 \(360^\circ\)。
3. 核心点：想表达什么，就选什么图
直觉微图解 ②四种需要，四种图
自己试试：小林记录了一株豆苗连续 \(10\) 天每天的高度，想看出它长高的快慢变化，最适合用哪种图？
C。数据随时间变化，折线的陡和缓直接显示长得快和慢。扇形图看不出先后；条形图能比每天的高低，但看变化趋势不如折线直观。
4. 核心点：频数分布直方图——四步，难在分组
四步是：① 求最大值与最小值的差；② 定组距和组数；③ 列频数分布表；④ 画直方图。分组写成 \(a\le x\lt b\)：左端点算在本组，右端点不算，下一组从 \(b\) 开始，每个数据只落进一组。如果差恰好是组距的整数倍，最大值会落在最后一组的右端点上、不在组内，还要再多分一组。
直觉微图解 ③一个数据落进哪一组？左闭右开
例 2（示范：跟老师走一遍思考过程）
七（2）班 \(30\) 名同学 \(1\) 分钟仰卧起坐的个数如下。取组距为 \(5\)，列频数分布表，画频数分布直方图。
① 读懂题意：组距已经给了，还缺什么才能分组？
提示 1：先找最大值、最小值
最小值 \(22\)，最大值 \(49\)。差是多少？要分几组？
基础示范（可收起）
| 个数分组 | 频数 |
|---|---|
| 20 ≤ x < 25 | 2 |
| 25 ≤ x < 30 | 5 |
| 30 ≤ x < 35 | 7 |
| 35 ≤ x < 40 | 10 |
| 40 ≤ x < 45 | 4 |
| 45 ≤ x < 50 | 2 |
| 合计 | 30 |
④ 回头看：读图：做 \(35\) 到 \(40\) 个（不含 \(40\)）的人最多，两头的人少。如果取组距 \(1\)，要分 \(28\) 组，太碎；取 \(20\)，只有两组，看不出分布。组距要选得让“形状”露出来。
自己试试：一组数据最大值是 \(92\)，最小值是 \(58\)，取组距为 \(5\)，应分几组？
B。\(92-58=34\)，\(34\div5=6.8\)，取比它大的最小整数 \(7\)。只分 \(6\) 组，从 \(58\) 起只到 \(88\)，\(92\) 就没地方放了。
再试一个：分组是 \(145\le x\lt150\)，\(150\le x\lt155\)。一名同学身高 \(150\) cm，应计入哪一组？
B。\(150\) 是前一组的右端点，不在那组里；是后一组的左端点，算在后一组。同一个数据只能算一次，否则频数合计会比数据个数多。
5. 核心点：趋势图——描点，画一条“靠近”的线，再预测
西红柿苗栽下后第 \(5,10,15,20,25,30\) 天量株高，依次是 \(6.5,\,9.5,\,14,\,17,\,22,\,24.5\)（单位：cm）。把每一对（天数，株高）描成点，这些点大致排在一条直线附近，就可以画一条尽可能靠近所有点的直线来描述它，并用来预测。“尽可能靠近”的标准不止一种：
直觉微图解 ④标准不同，线不同，预测也不同
例 3（示范）
用上面的数据，估计第 \(32\) 天西红柿苗的株高。
提示：还没学函数，怎么从图上读预测值？
从横轴上 \(32\) 处向上作竖线，交趋势线于一点，再从这点向左作横线，读纵轴。
看完整示范
两图使用相同的坐标刻度。实心点是第 5～30 天的给定株高；彩色实线是选定的趋势线，彩色虚线是向第 32 天的延长。空心点是估计值，不是新测量的数据；灰色点线表示从横轴向上、再向左读数。
标准一：过尽量多的点
这条线经过第 10、20、30 天的三个给定点；其余三个点在上方。按这条线向第 32 天外推，读得株高约 26 cm。
标准二：两侧点数相等
这是符合该标准的一条示意线：三个给定点在上方，三个在下方，没有点在线上。按这条线向第 32 天外推，读得株高约 25.46 cm。
作预测须说明画线标准，估计不是唯一精确值。这里只向外延长 2 天。
回头看：读到的高度要与所画的趋势线一致，且要说清画线标准。预测是估计，离已有数据越远越不可靠：不能用这条线去“预测”第 \(300\) 天。
自己试试：对例 3 的点，小陈画的趋势线预测第 \(35\) 天约 \(28.25\) cm，小许画的预测约 \(27.5\) cm。谁对？
C。“尽可能靠近”的标准不唯一；线不同，预测也会略有不同，它们都只是估计。趋势线也不必穿过每个点。
看别人的图要留心：条形图纵轴不从 \(0\) 开始，差一点也会被画得像差好几倍；折线图横轴时间间隔不一样，变化快慢也会被看错。
同为100和120：左图从0起，右图从80起。柱高之比会改变，数量之比没有变。
6. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：组宽不同时怎样公平读图？
两组频数相同，但组距一个为5、一个为10。若画成一样高，面积还相同吗？能怎样选择纵轴，使面积表示频数？
想好后看解释
直方图里，真正表示频数的是小长方形的面积：一般把纵轴取成“频数 ÷ 组距”，面积 = 组距 × 高 = 频数。等距分组时每个长方形一样宽，面积和高成比例，才可以直接用高表示频数。高中还会继续用面积来读图。
自己制作：从原始数据到两张图，再解释选择
下面是虚构的练习数据。先自己统计、量角和设置柱高，网页会按你填的数画图。输入只在本页保留，刷新会清空。
① 改数据，扇形图跟着变
还是 \(50\) 名同学的上学方式。先点选一类，再拖动下方圆点（或用方向键）改这一类的人数。看百分比和圆心角怎样一起变。
② 拖动组距，直方图和频数一起变
某班 \(40\) 名同学的身高（单位：cm）如下，第一组从最小值开始。拖动“组距”圆点（或用方向键），看分几组、每组多少人。
③ 进阶：自己画趋势线
西红柿苗的 6 个点。上下拖动直线上的两个圆点（或用方向键），让线“尽可能靠近”各点，看两侧点数、竖直距离之和和第 35 天的预测怎样变。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 调查 \(40\) 名同学最喜欢的社团，选“科技社”的有 \(9\) 人。画扇形图时，“科技社”这一块的圆心角是多少度？
A。\(9\div40=22.5\%\)，\(360^\circ\times22.5\%=81^\circ\)。B 把百分数直接当成了度数。
2. 一组数据中最大值是 \(71\)，最小值是 \(44\)。取组距为 \(4\)，应分成几组？
B。\(71-44=27\)，\(27\div4=6.75\)，取比它大的最小整数 \(7\)。组数是整数，不能写 \(6.75\) 组，也不能舍成 \(6\) 组。
易错
3. 七年级有 \(300\) 人，扇形图中“喜欢书法”占 \(30\%\)；八年级有 \(400\) 人，扇形图中“喜欢书法”占 \(25\%\)。哪个年级喜欢书法的人多？
提示
扇形只表示占比。先把两个年级的人数各算出来。
B。七年级 \(300\times30\%=90\) 人，八年级 \(400\times25\%=100\) 人。知道总数就能换算成人数再比，所以 D 也不对。
4. 成绩分成 \(60\le x\lt70\)，\(70\le x\lt80\)，\(80\le x\lt90\) 等组。成绩 \(80\) 分应计入哪一组？
提示
左端点算在本组，右端点不算。\(80\) 是哪一组的左端点？
C。\(80\) 是 \(80\le x\lt90\) 的左端点。计入两组会让频数合计比数据个数多；哪组都不计就漏了。
5. 关于频数分布直方图，下面说法正确的是哪一个？
提示
想想直方图和条形图横轴上写的分别是什么。
C。直方图横轴是连续的数，长方形紧挨着（A、B 说的是条形图）。只有每组一样宽，高才能代表频数；组宽不一样时，要看面积。
挑战
6. 一组数据最小值是 \(40\)，最大值是 \(70\)，取组距为 \(5\)，第一组从 \(40\) 开始（\(40\le x\lt45\)）。要装下所有数据，应分几组？
提示 1
先算 \((70-40)\div5\)，是整数吗？
提示 2
按这个数分组，最后一组是什么？\(70\) 在不在里面？
B。\(30\div5=6\) 恰好是整数。可是 \(6\) 组到 \(65\le x\lt70\) 为止，\(70\) 是右端点、不在这组里，要再加一组 \(70\le x\lt75\)，共 \(7\) 组。
本节中考真题
共 31 道，含 28 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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这组题练习读统计图表、选择合适的统计图，以及从直方图中找信息。原题图表已改写成文字。选完看解析，核对读到的数据。
先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 四上第6单元 · 条形统计图小学学习的条形统计图、五下折线统计图与六上扇形统计图，在初中与频数分布直方图结合，用于全面描述样本数据的分布特征。