培玉 · 初中数学← 返回主页九年级下册· 第三十一章 概率初步
31.1 随机事件与概率
有些事一定发生，有些事一定不发生，还有很多事“说不准”。说不准的事也有“更可能”和“不太可能”之分，这一节学怎么用一个 \(0\) 到 \(1\) 之间的数把“可能性有多大”说清楚。
说明：新版九下 2027 春才出版，本节先按旧版教材（原九上第二十五章 25.1）编排，出版后再对表。
本节导读 先修：分数、12.2 频数与频率 · 本节路线
要用到：分数的意义、约分和比较大小；频数、频率（回看 12.2）。不需要小学学过“可能性”。
- 从抽卡片进入：同样是“抽到 1”，换个盒子，结论就变了。
- 三类事件：必然事件、不可能事件、随机事件；判断时一定带上条件。
- 随机事件的可能性有大有小。
- 概率：刻画可能性大小的数 \(P(A)\)；结果有限且等可能时 \(P(A)=\dfrac mn\)。
- 不等可能时先拆成等可能的小份（不等分的转盘）。
- 概率的范围 \(0\le P(A)\le 1\)，以及概率“保证不了”什么。
三个盒子里各有 5 张卡片，大小、手感完全一样，闭着眼睛抽一张。点按钮看看每个盒子里的卡片：
从哪个盒子里抽，“抽到写着 1 的卡片”这件事可能发生、也可能不发生？
B。盒子甲全是 1，一定抽到 1；盒子丙没有 1，一定抽不到；只有盒子乙“说不准”。选 D 是把“抽卡片”本身当成了说不准——其实要看盒子里装的是什么，也就是条件。
盒子乙里 5 张有 3 张是 1，抽到 1 的可能性比抽到 2 大。大多少？这一节要回答：怎么给“可能性”一个数？
1. 先认识几个词：必然事件、不可能事件、随机事件
不需要小学学过“可能性”。下面说的“事件”就是“一件事的某种结果”，例如“掷一枚骰子，朝上的点数是 3”。
在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件；必然不会发生的事件叫不可能事件；二者合称确定性事件。在一定条件下可能发生、也可能不发生的事件叫随机事件。掷一枚普通骰子（六个面分别是 1 到 6 点），点下面的事件，看 6 种结果里有几种符合：
直觉微图解 ①数一数：6 种结果里有几种让事件发生
核心概念 ②确定性事件：结果事先就能断定
6 种结果全符合 → 必然事件；一种都不符合 → 不可能事件。“点数是 7”不是“很难”，是不可能。
核心概念 ③说事件，必须连条件一起说
“抽到 1”在盒子甲是必然事件，在盒子丙是不可能事件。“水烧到 100 ℃ 沸腾”要加上“在标准大气压下”才是必然事件。
自己试试：下面哪个是随机事件？
D。射击可能中 10 环，也可能不中。A 是必然事件：一年只有 12 个月，13 个人不可能月份全不同；B 也是必然事件（点数最小是 1）；C 是不可能事件。
2. 核心点：随机事件的可能性有大有小
同样是随机事件，“可能性”并不一样大。袋子里放大小、质地相同的红球和白球，搅匀后摸一个，点按钮换袋子：
直觉微图解 ②哪种球多，摸到它的可能性就大
只比大小时，数一数就行。但要回答“可能性多大”，就需要一个数。一般地，对于一个随机事件 \(A\)，把刻画它发生的可能性大小的数值，叫作随机事件 \(A\) 发生的概率，记作 \(P(A)\)。
3. 核心点：结果等可能时，\(P(A)=\dfrac mn\)
前提有两个，缺一不可：① 一次试验所有可能的结果只有有限个（\(n\) 个）；② 每种结果出现的可能性相等。
“等可能”从哪来？骰子做得均匀、六个面一样，所以六个点数等可能；球大小质地相同又搅匀了，所以每个球等可能被摸到。转盘也一样：只有等分的转盘，每一格才等可能。
直觉微图解 ③两种颜色 ≠ 两种等可能的结果
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
一个不透明的袋子里有 2 个红球、3 个黄球、5 个蓝球，它们除颜色外都相同。搅匀后摸出一个球。求：(1) 摸到红球的概率；(2) 摸到的不是蓝球的概率。
① 读懂题意：一次试验是“摸一个球”。要先数清一共几种等可能的结果。
提示 1：为什么不是“3 种颜色，各 1/3”
三种颜色的球个数不同，“红、黄、蓝”三种结果不等可能。等可能的是“摸到第几个球”：共 \(2+3+5=10\) 种。
看完整示范
④ 回头看：先问“等可能的结果是什么”，再数。颜色只是给结果分类，不是等可能的结果本身。
自己试试：掷一枚普通骰子，朝上的点数是 3 的倍数的概率是多少？
B。6 种点数等可能，3 的倍数有 3 和 6 两种，\(P=\dfrac26=\dfrac13\)。A 是只数了 3，漏了 6；C 数的是“不是 3 的倍数”的 4 种。
用m/n计数要先检查基本结果等可能。偏骰不能直接把每个点数的概率都当1/6；怎样另作估计，见31.3用频率估计概率。
4. 核心点：概率在 0 和 1 之间
因为 \(0\le m\le n\)，所以 \(0\le P(A)\le 1\)。必然事件包含全部 \(n\) 种结果，概率是 \(1\)；不可能事件一种也不包含，概率是 \(0\)；随机事件的概率在 \(0\) 和 \(1\) 之间。概率越接近 \(1\)，事件越可能发生；越接近 \(0\)，越不可能发生。
自己试试：小刚算出四个事件的概率，其中有一个一定算错了，是哪个？
C。概率不会超过 \(1\)：\(m\) 是 \(n\) 种结果中的一部分，不会比 \(n\) 还多。A 可以是不可能事件的概率，B 可以是必然事件的概率，D 只是“非常可能”。
例 2（示范：不等分的转盘）
一个转盘分成红、黄、蓝三块扇形，圆心角分别是 \(80^\circ\)、\(120^\circ\)、\(160^\circ\)。转动转盘，求指针落在红色区域的概率（指针落在分界线上就重转）。
提示：怎样变成等可能
三块不一样大，不能说“三块各 \(\dfrac13\)”。三个角都是 \(40^\circ\) 的倍数，把整个转盘等分成每份 \(40^\circ\) 的小扇形。
看完整示范
回头看：结果就是“圆心角 ÷ \(360^\circ\)”。道理仍是 \(\dfrac mn\)：先拆成等可能的小份，再数。
自己试试：抛一枚均匀的硬币，“正面朝上”的概率是 \(\dfrac12\)。这句话的意思是：
A。概率说的是每一次的可能性大小，不保证某几次的结果。抛两次可能两次都是反面（B 错）；100 次里正好 50 次只是可能之一（C 错）；硬币不记得前面的结果，第三次正面的概率还是 \(\dfrac12\)（D 错）。
5. 用之前必查：三大翻车现场
① 设计一个 8 等分的转盘
拖动下方滑轨上的圆点（或点一下圆点再用方向键），改变涂红的格数 \(r\)。指针落在红色区域的概率跟着变。拖到两端看看会出现哪两类事件。
② 摸球袋：红球、白球各放几个
两条滑轨分别调红球、白球的个数（0 到 6）。下面的 0 到 1 刻度尺上，红三角是“摸到红球”的概率，蓝三角是“摸到白球”的概率。
③ 进阶：不等分的转盘，按角度拆成等份
拖动圆周上的圆点（或用方向键，每次 \(15^\circ\)），改变红色扇形的圆心角。虚线把转盘等分成 24 份（每份 \(15^\circ\)），红色占几份，概率就是二十四分之几。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 20 张卡片分别写着 1 到 20，从中随机抽一张，抽到 5 的倍数的概率是多少？
C。5 的倍数有 5、10、15、20 共 4 张，\(P=\dfrac4{20}=\dfrac15\)。A 是以为“只有 5 一张”；B 写的是张数，不是概率（概率不超过 1）；D 是把个数数成了 5 个（多算了 25，可 25 不在卡片里）。
2. 下列事件中，哪个是必然事件？
A。三角形内角和总是 \(180^\circ\)。B、C 是随机事件；D 不是必然事件，但仅凭身高 \(3\) 米，不能断定它必然不发生，不能把“极少见”直接当作“不可能”。
易错
3. 转盘分成红、黄、蓝三块扇形，圆心角依次是 \(150^\circ\)、\(90^\circ\)、\(120^\circ\)。指针落在黄色区域的概率是多少？
提示
三块不一样大。每块占整个圆的几分之几？
D。\(\dfrac{90^\circ}{360^\circ}=\dfrac14\)。A 是把三块当成等可能（翻车现场 ①）；B 是红色的概率 \(\dfrac{150}{360}\)，看错了颜色；C 是圆心角的度数，不是概率。
4. 小雪抛一枚均匀的硬币，前 4 次都是正面朝上。她抛第 5 次时，正面朝上的概率是多少？
提示
硬币“记得”前面 4 次吗？第 5 次的等可能结果有几种？
B。第 5 次仍是“正、反”两种等可能结果，与前面无关。A 是把“5 次中的 1 次”当成了概率；C 是以为“手气正旺”；D 是以为“该轮到反面了”（翻车现场 ②）。
5. 袋中有若干个红球和 4 个白球，它们除颜色外都相同。搅匀后摸一个，摸到红球的概率是 \(\dfrac23\)。袋中有几个红球？
提示
摸到白球的概率是 \(1-\dfrac23=\dfrac13\)，4 个白球占总数的 \(\dfrac13\)，总数是多少？
C。白球占 \(\dfrac13\)，总数 \(4\div\dfrac13=12\)，红球 \(12-4=8\)；检验 \(\dfrac8{12}=\dfrac23\) ✓。A 是总数，忘了减去白球；B 是以为“\(\dfrac23\) 就是 2 个红球”；D 是把 \(\dfrac23\) 当成“白球 : 红球 \(=2:3\)”，得 \(4\div2\times3=6\)。
挑战
6. 用一个 12 等分的转盘设计游戏：指针落在红色区域的概率是 \(\dfrac13\)，落在黄色区域的概率是落在红色区域的一半，其余格子涂蓝色。蓝色有几格？
提示 1：红色几格
12 格等可能，概率 \(\dfrac13\) 对应 \(12\times\dfrac13=4\) 格。
提示 2：黄色几格
黄色的概率是 \(\dfrac13\) 的一半，即 \(\dfrac16\)，对应几格？
D。红 4 格，黄 \(12\times\dfrac16=2\) 格，蓝 \(12-4-2=6\) 格，\(P(\text{蓝})=\dfrac6{12}=\dfrac12\)。A 是红色的格数；B 是黄色的格数；C 是只减了红色 \(12-4\)。
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