培玉 · 初中数学← 返回主页九年级上册 · 第二十六章 二次函数
26.4 实际问题与二次函数
围多大花坛面积最大、定价多少利润最高、货车能否通过拱门，都可以用二次函数来研究。用二次函数解决实际问题时，要先看自变量允许取哪些数。
本节导读 先修：23.4 一次函数应用 · 25.3 方程实际应用 · 26.2 顶点最值 · 本节路线
要用到：一元一次方程与分段方案选择（回看 5.3、回看 23.4）、二次函数顶点坐标与最值公式（回看 26.2）。
- 从跳水和围栅栏出发，看看生活中怎样求最大值或最小值。
- 理清解题步骤：设未知数、列式、定范围、求最值、检验作答。
- 求面积最大：注意靠墙的一边不能超过墙长。
- 利润问题：单价提高、销量减少，怎么定价赚得最多。
- 拱桥问题：选好坐标系，式子更好算。
- 通过实验和练习，分清什么时候取顶点、什么时候看端点。
在一次跳水比赛中，运动员起跳后的运动路线是一条抛物线。运动员的重心离水面的高度 \(h\text{ (m)}\) 与起跳后的时间 \(t\text{ (s)}\) 满足关系式：\(h = -5t^2 + 10t + 10\)。
把二次函数解析式配方：\(h = -5(t - 1)^2 + 15\)。运动员在起跳后多长时间达到最高点？最高点离水面的高度是多少米？
B。二次项系数 \(a = -5 \lt 0\)，抛物线开口向下，顶点为最高点。由顶点式 \(h = -5(t-1)^2 + 15\) 知：当 \(t = 1\text{ s}\) 时取得最大值 \(15\text{ m}\)。
在现实生活中，抛体运动、面积最大、利润最高、用料最省等大量优化极值问题，都可以抽象为二次函数模型来求解！
回到 26.140 m 花坛的面积能达到 100 m² 吗？
用 40 m 护栏围矩形花坛，一边长为 x m，另一边为 (20−x) m，范围是 \(0<x<20\)。把面积关系式配方：
\(y=-x^2+20x=-(x-10)^2+100\le100\)。
因为 \((x-10)^2\ge0\)，所以面积不超过 100 m²。等号在 \(x=10\) 时取到，而且 10 在允许范围内。此时两边都是 10 m，面积最大是 100 m²，正好回答了 26.1 留下的问题。
1. 先认识几个词：建立函数关系、自变量范围与最值
用二次函数解决实际问题，先理清下面几件事：
- 建立函数关系：通过几何公式（长乘宽）、商业规律（每件利润乘销售量）或物理公式列出二次函数。
- 自变量的取值范围：先看实际条件。长度必须大于 0、靠墙的一边不能超过墙长、销量不能为负。列式后，先用这些条件确定自变量能取哪些数。
- 极值判断准则：先查允许范围、端点能否取到，以及最大值、最小值是否存在；不能把不可取的端点值当作已经取得的最值。
- 在连续区间内，若顶点横坐标可取，开口向上在顶点处取最小值，开口向下在顶点处取最大值；另一种最值还要检查端点能否取到并比较。
- 若顶点横坐标在区间外，函数在区间上单调递增或递减；两端都可取时，最大、最小值在两个端点取得。有端点不可取时，相应的最大值或最小值可能不存在。
- 若只允许整数，须比较允许的整数候选（靠近顶点的整数及可取的边界整数），不能直接用不可取的顶点横坐标。
反例检查：\(y=-(x-3)^2+10\) 在 \(0<x<2\) 上严格递增，且 \(1<y<9\)。两端都取不到，所以最大值和最小值都不存在；不能把 \(9\) 或 \(1\) 当作已经取得的最值。
直觉微图解 ①墙长限制：顶点在范围内取顶点，超出范围看端点
模型一几何面积最大模型
设垂直边长为 \(x\)，由周长表示邻边，\(S = x(L - 2x) = -2x^2 + Lx\)。牢记二次项系数必然为负（开口向下），当两邻边比例得当时面积达到极大值。
模型二商业经济最大利润模型
总利润 \(W = (\text{每件利润}) \times (\text{销售量})\)。涨价时每件利润增加，但销量减少；降价时每件利润减少，但销量增加。看相乘得到的二次函数，在允许的售价范围内找利润最大的价格。
2. 核心特征：商业利润模型与单价销量的反向翘翘板
直觉微图解 ②定价与利润：找利润最大的售价
3. 抛物线形拱桥：怎样建立坐标系更好算
直觉微图解 ③建立坐标系：以对称轴为 y 轴，式子更好算
4. 自己试试与典例示范
【自测 1】用长为 \(24\text{ m}\) 的细铁丝围成一个矩形，当矩形的长和宽分别为多少时，围成的矩形面积最大？最大面积是多少？（ ）
B。设宽为 \(x\text{ m}\)，则长为 \((12-x)\text{ m}\)。面积 \(S = x(12-x) = -(x-6)^2 + 36\)。当长和宽相等（\(x = 6\text{ m}\)）围成正方形时，面积最大为 36 平方米。
【自测 2】某商品的日销售利润 \(W\)（元）与销售单价 \(x\)（元）的函数关系为 \(W = -10(x-20)^2 + 800\)。若受物价管控，规定销售单价最高不得超过 18 元（即 \(x \le 18\)），则最大日销售利润为（ ）
C。抛物线对称轴为 \(x = 20\)，开口向下。但在有效范围 \(x \le 18\) 内，单价无法达到 20 元！此时利润随 \(x\) 的增大而增大，因此最大值必须在端点 \(x = 18\) 处取得：\(W_{\max} = -10(18-20)^2 + 800 = -10(4) + 800 = 760\text{ 元}\)。选 A 是彻底忽视定义域的典型翻车！
【自测 3】一座抛物线型拱桥的跨度为 \(20\text{ m}\)，拱高为 \(4\text{ m}\)。以拱顶为原点，以对称轴为 \(y\) 轴建立直角坐标系，抛物线的函数解析式为（ ）
A。顶点为原点 \((0, 0)\)，设解析式为 \(y = ax^2\)。跨度为 20m，半跨为 10m，水面两侧点坐标为 \((10, -4)\) 和 \((-10, -4)\)。代入得 \(-4 = a(10)^2 \implies a = -\dfrac{4}{100} = -\dfrac{1}{25}\)。解析式为 \(y = -\dfrac{1}{25}x^2\)。
【例题 1·波利亚示范】靠墙围矩形试验田最值（顶点落在域内）
题目：用总长为 \(96\text{ m}\) 的栅栏靠墙围成矩形，墙长为 \(54\text{ m}\)。求围成矩形的最大面积。
第一步（设元列式）：设与墙垂直的边长为 \(x\text{ m}\)，则平行于墙的边长为 \((96 - 2x)\text{ m}\)。
面积 \(S = x(96 - 2x) = -2x^2 + 96x = -2(x - 24)^2 + 1152\)。
第二步（定自变量范围）：两边均为正数且靠墙边不超过墙长：
\(\begin{cases} x \gt 0 \\ 96 - 2x \gt 0 \\ 96 - 2x \le 54 \end{cases} \implies \begin{cases} x \gt 0 \\ x \lt 48 \\ 2x \ge 42 \implies x \ge 21 \end{cases} \implies 21 \le x \lt 48\)。
第三步（求最值与检验）：顶点横坐标 \(x = 24\) 落在 \([21, 48)\) 内，因此当 \(x = 24\) 时取得最大值 \(1152\text{ m}^2\)。
【例题 2·波利亚示范】靠墙围矩形（墙长受限，顶点超限取端点）
题目：若上题中墙的最大可用长度改为只有 \(36\text{ m}\)，此时最大面积是多少？
深刻对比剖析：由墙长约束 \(96 - 2x \le 36 \implies 2x \ge 60 \implies x \ge 30\)！
自变量有效范围变为 \(30 \le x \lt 48\)。
顶点横坐标 \(x = 24\) 根本不在这个区间内！
抛物线对称轴为 \(x = 24\)，开口向下，在 \(x \ge 30\) 时，函数值随 \(x\) 的增大而减小。
因此，当 \(x\) 尽可能小即 \(x = 30\text{ m}\) 时取得最大面积：
\(S_{\max} = 30 \times (96 - 2 \times 30) = 30 \times 36 = 1080\text{ m}^2\)。
结论启示：不可盲目代公式，必须看顶点是否在有效区间内！
【例题 3·波利亚示范】商品怎样定价，利润最大
题目：进价 10 元/件，按 15 元出售日销 100 件。单价每涨 1 元日销减少 10 件。求最大日销售利润及最佳售价。
规范解答：设每件涨价 \(x\) 元（售价为 \(15 + x\) 元），则每件利润为 \((15 + x - 10) = (5 + x)\) 元。
日销售量为 \((100 - 10x)\) 件（要求 \(100 - 10x \ge 0 \implies x \le 10\) 且 \(x \ge -5\)）。
日销售利润 \(W = (5 + x)(100 - 10x) = -10x^2 + 50x + 500\)。
配方得：\(W = -10(x^2 - 5x) + 500 = -10(x - 2.5)^2 + 562.5\)。
当 \(x = 2.5\) 时，最佳售价为 \(15 + 2.5 = 17.5\) 元，最大日销售利润为 \(562.5\) 元。
【例题 4·波利亚示范】抛物线形隧道：货车能有多高
题目：单孔抛物线形隧道，底部宽 \(10\text{ m}\)，拱顶离地 \(5\text{ m}\)。一辆货车宽 \(4\text{ m}\)，居中通过，车顶与隧道顶之间要留至少 \(0.3\text{ m}\) 的安全距离，求这辆货车允许的最大车高。
坐标法四步解法：
① 建立坐标系：以地面中心为原点，对称轴为 \(y\) 轴，顶点为 \((0, 5)\)，地面右端点为 \((5, 0)\)。
② 设解析式为 \(y = ax^2 + 5\)。代入 \((5, 0)\) 得 \(25a + 5 = 0 \implies a = -\dfrac{1}{5}\)。
③ 车居中、宽 \(4\text{ m}\)，车身边缘在 \(x = \pm 2\)，隧道在这里最矮：\(y = -\dfrac{1}{5}\times 4 + 5 = 4.2\text{ m}\)。
④ 扣减安全距离：允许最大车高为 \(4.2 - 0.3 = 3.9\text{ m}\)。
回头看：车宽 \(4\text{ m}\) 的一半才是 \(x=2\)，别把整个车宽 \(4\) 当成横坐标。
5. 常见易错点
再深一点（可以先跳过）：比较一次函数和二次函数的最值，为什么要先看取值范围？
先确认取值范围。在非空有限闭区间（两端都能取到）上，一次函数随自变量增大而上升或下降，最大、最小值都可在端点取得；若斜率为零，得到常函数，各点函数值相同，端点也能取得最值。二次函数要看顶点：顶点横坐标在这个闭区间内时，开口向上在顶点取最小值，最大值比较两个端点；开口向下在顶点取最大值，最小值比较两个端点。顶点横坐标在区间外时，函数在区间内只上升或只下降，最大、最小值都在端点取得。
实验台 1拖动边长，观察靠墙的一边是否超过墙长
总长 96m 围栏，墙长 50m。拖动垂直边长 \(x\)，观察靠墙边长是否超限（红色报警）以及面积极值变迁：
实验台 2（进阶）进阶：商品定价与利润抛物线沙盘
进价 10 元，单价 \(x\) 在 10 到 20 元之间调节。销量规律：单价每涨 1 元，日销量少 20 盒，\(x=10\) 时日销 200 盒（即销量 \(=400-20x\)）。观察“单件利润 × 销量”得到的总利润曲线：
【巩固 1】用总长为 \(36\text{ m}\) 的篱笆靠一面足够长的墙围成一个矩形鸡舍（墙作为一边），则鸡舍的最大面积是（ ）
B。设与墙垂直的边为 \(x\text{ m}\)，则靠墙平行边为 \((36 - 2x)\text{ m}\)。面积 \(S = x(36-2x) = -2x^2 + 36x = -2(x-9)^2 + 162\)。当 \(x = 9\text{ m}\) 时，平行边为 18m，面积最大为 \(162\text{ m}^2\)。选 A 是误当作不靠墙的四边周长 36 计算。
【巩固 2】某文具店进价每件 4 元，售价为 6 元时每天可卖 40 件。若每涨价 1 元每天少卖 5 件，设每件涨价 \(x\) 元，每天销售利润 \(W\)（元）关于 \(x\) 的函数为（ ）
A。原单件利润为 \(6 - 4 = 2\) 元，涨价 \(x\) 元后单件利润为 \((2+x)\) 元；日销量减少为 \((40 - 5x)\) 件。总利润为两者乘积 \(W = (2+x)(40-5x)\)。
【巩固 3·易错题】二次函数 \(y = -(x-3)^2 + 10\)，当 \(0 \le x \le 2\) 时，函数 \(y\) 的最大值和最小值分别是（ ）
提示
对称轴 x = 3 不在区间 [0, 2] 内，函数在 [0, 2] 上单调递增，最值在端点取得。
C。对称轴为 \(x = 3\)，开口向下。当 \(x \le 3\) 时，\(y\) 随 \(x\) 增大而增大。在区间 \([0, 2]\) 内：当 \(x = 2\) 时取得最大值 \(y = -(2-3)^2 + 10 = 9\)；当 \(x = 0\) 时取得最小值 \(y = -(0-3)^2 + 10 = 1\)。选 A 又是盲目看顶点的错误！
【巩固 4·综合题】抛物线型拱门的地面宽度为 4 米，最高点为 4 米。若一辆宽 2 米的厢式货车要通过该拱门，货车的最高高度不能超过（ ）
提示
以地面中心为原点，解析式为 y = -x² + 4，货车宽 2 米对应两侧 x = ±1。
B。以地面中心为原点，顶点为 \((0, 4)\)，地面两端点为 \((-2, 0)\) 和 \((2, 0)\)。设 \(y = ax^2 + 4\)，代入 \((2, 0)\) 得 \(4a + 4 = 0 \implies a = -1\)，即 \(y = -x^2 + 4\)。车宽 2 米居中通过时，车边缘横坐标为 \(x = 1\)，此时拱高为 \(y = -(1)^2 + 4 = 3\text{ 米}\)。故车高不能超过 3 米。
【易错挑战】自变量受限制时，怎样求最大利润
题目：某农场生产某种绿色蔬菜，每千克成本 3 元。若售价为 \(x\) 元（\(4 \le x \le 8\)），每天销量为 \((12 - x)\) 千克。若受政府调控，销售单价最高限定为 7 元，求每天的最大利润。
正解剖析：利润 \(W = (x - 3)(12 - x) = -x^2 + 15x - 36 = -(x - 7.5)^2 + 20.25\)。
对称轴为 \(x = 7.5\) 元。但受到政策管控限制：\(x \le 7\)，即自变量可行域变为 \(4 \le x \le 7\)！
在 \(x \le 7.5\) 区间内，抛物线单调递增，故最值只能在限定端点 \(x = 7\) 处取得：
\(W_{\max} = (7 - 3)(12 - 7) = 4 \times 5 = 20\) 元。
若无视限定代入 7.5 会得出 20.25 元而扣分！
巩固练习 1：某学校劳动基地用总长为 \(60\text{ m}\) 的栅栏围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙的最大可用长度为 \(24\text{ m}\)（栅栏无重叠、无损耗）。设与墙垂直的一边长为 \(x\text{ m}\)，与墙平行的一边长为 \(y\text{ m}\)，试验田面积为 \(S\text{ m}^2\)。 (1) 求 \(y\) 关于 \(x\) 的函数解析式，并写出自变量 \(x\) 的取值范围； (2) 当 \(x\) 为何值时，面积 \(S\) 最大？最大面积是多少？
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答案：(1) \(y=60-2x\)，\(18\le x<30\)；(2) 当 \(x=18\) 时，\(S\) 最大，为 \(432\text{ m}^2\)
(1) 两条垂直边加一条平行边共 \(60\)：\(2x+y=60\)，\(y=60-2x\)。需 \(y>0\) 且 \(y\le24\)：\(60-2x\le24\Rightarrow x\ge18\)，\(60-2x>0\Rightarrow x<30\)，故 \(18\le x<30\)。(2) \(S=x(60-2x)=-2x^2+60x=-2(x-15)^2+450\)，对称轴 \(x=15\) 不在 \([18,30)\) 内；在 \(x\ge18\) 的范围，\(S\) 随 \(x\) 增大而减小，所以 \(x=18\) 时最大，\(S=18\times24=432\)。
巩固练习 2：某超市购进一批进价为 \(8\) 元/盒的点心。试销发现：日销售量 \(y\)（盒）与销售单价 \(x\)（元/盒，\(x\ge8\)）满足一次函数关系，且 \(x=10\) 时 \(y=140\)；\(x=12\) 时 \(y=100\)。 (1) 求 \(y\) 关于 \(x\) 的函数解析式； (2) 设日销售利润为 \(W\) 元，求 \(W\) 关于 \(x\) 的函数解析式； (3) 销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
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答案：(1) \(y=-20x+340\)（\(8\le x\le17\)）；(2) \(W=-20x^2+500x-2720\)；(3) 单价定为 \(12.5\) 元时，最大日销售利润为 \(405\) 元
(1) 设 \(y=kx+b\)，\(10k+b=140\)，\(12k+b=100\)，解得 \(k=-20,b=340\)，\(y=-20x+340\)；\(y\ge0\) 得 \(x\le17\)，故 \(8\le x\le17\)。(2) \(W=(x-8)(-20x+340)=-20x^2+500x-2720\)。(3) \(W=-20(x-12.5)^2+405\)，\(12.5\) 在 \([8,17]\) 内，所以 \(x=12.5\) 时 \(W\) 最大，为 \(405\)。
巩固练习 3：某公路隧道截面轮廓可近似看作一段抛物线，隧道底部宽 \(16\text{ m}\)，最高点离地面 \(8\text{ m}\)。以地面所在直线为 \(x\) 轴，抛物线的对称轴为 \(y\) 轴建立平面直角坐标系。 (1) 求该抛物线的函数解析式； (2) 一辆货车宽 \(4\text{ m}\)，沿隧道中线居中通过，要求车顶与隧道顶之间至少留 \(0.5\text{ m}\) 的空隙，求这辆货车允许的最大车高。
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答案：(1) \(y=-\dfrac18x^2+8\)；(2) \(7\text{ m}\)
(1) 顶点 \((0,8)\)，设 \(y=ax^2+8\)；过 \((8,0)\)：\(64a+8=0\)，\(a=-\dfrac18\)，\(y=-\dfrac18x^2+8\)。(2) 货车居中，车身边缘在 \(x=\pm2\)，隧道此处高度 \(y=-\dfrac18\times4+8=7.5\)，再留 \(0.5\) m 空隙，车高最大 \(7.5-0.5=7\) m。
巩固练习 4：从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度 \(h\)（单位：m）与运动时间 \(t\)（单位：s）的关系式为 \(h=-5t^2+20t\)（\(t\ge0\)）。下列结论中正确的是（ ）
B。\(h=-5(t-2)^2+20\)：\(t=2\) s 时最高，最大高度 \(20\) m，A 错、B 对；令 \(h=0\)：\(-5t(t-4)=0\)，\(t=4\) s 落地，C 错；\(t=3\) 时 \(h=-45+60=15\) m，D 错。选 B。
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