26.1 二次函数的概念

题目：将函数 \(y = (2x-1)(x+3) - 5\) 化为二次函数的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。

第一步（理解题意）：按多项式相乘展开式子，合并同类项排成降幂，再提取各项带符号的常数。

第二步（拟定计划）：利用乘法分配律展开 \((2x-1)(x+3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3\)，再减 5。

第三步（规范解答）：
\(y = 2x^2 + 5x - 3 - 5 = 2x^2 + 5x - 8\)。
其中：二次项系数 \(a = 2\)，一次项系数 \(b = 5\)，常数项 \(c = -8\)。

第四步（回顾反思）：常数项包含前面的负号，是 \(-8\)，不是 \(8\)！

题目：已知关于 \(x\) 的函数 \(y = (k^2-k-2)x^2 + (k-2)x + 3\)，当 \(k\) 取何值时，它是二次函数？当 \(k\) 取何值时，它是一次函数？

分析与解：
(1) 若它是二次函数，则二次项系数必须非零：
\(k^2 - k - 2 \ne 0 \implies (k-2)(k+1) \ne 0 \implies k \ne 2 \text{ 且 } k \ne -1\)。
(2) 若它是一次函数，则必须满足二次项系数为 0，且一次项系数非零：
\(\begin{cases} k^2 - k - 2 = 0 \\ k - 2 \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} k = 2 \text{ 或 } k = -1 \\ k \ne 2 \end{cases} \implies k = -1\)。

题目：用总长为 \(18\text{ m}\) 的铝合金条制作“日”字形窗框（外框是一个长方形，中间再加一根横梁，共 3 根横梁、2 根竖边）。若窗框的横梁长为 \(x\text{ m}\)，窗框的总透光面积为 \(S\text{ m}^2\)。求 \(S\) 关于 \(x\) 的函数解析式，并写出自变量 \(x\) 的实际取值范围。

规范解答：“日”字形窗框包含 3 根横梁和 2 根竖立边框。
3 根横梁共耗材 \(3x\text{ m}\)，剩余 2 根立柱总长为 \((18 - 3x)\text{ m}\)，每根竖直立柱长为 \(\dfrac{18-3x}{2}\text{ m}\)。
总透光面积 \(S = x \cdot \dfrac{18-3x}{2} = -\dfrac{3}{2}x^2 + 9x\)。
由于边长必须为正数：\(x \gt 0\) 且 \(18 - 3x \gt 0 \implies x \lt 6\)。
∴ 自变量 \(x\) 的取值范围为 \(0 \lt x \lt 6\)。

题目：在二次函数 \(y = x^2 - 2x - 3\) 中，已知函数值 \(y = 5\)，求自变量 \(x\) 的值。

规范解答：令 \(y = 5\)，代入得一元二次方程：
\(x^2 - 2x - 3 = 5 \implies x^2 - 2x - 8 = 0\)。
因式分解得 \((x-4)(x+2) = 0\)，解得 \(x_1 = 4, x_2 = -2\)。
核心启示：一个函数值可以对应两个不同的自变量值，这一点和一次函数不同。

题目：已知函数 \(y = (a-1)x^{a^2} + 2x - 3\)。
（1）当 \(a\) 为何值时，它是关于 \(x\) 的二次函数？
（2）当 \(a\) 为何值时，它是关于 \(x\) 的一次函数？（本题要求定义域为全体实数，按原式判断，不给未定义的点补值。）

易错剖析：很多同学只令最高次数等于 2，却忘了检验二次项系数是否被消为 0！
（1）要成为二次函数，必须同时满足 \(\begin{cases} a^2 = 2 \\ a - 1 \ne 0 \end{cases}\)，解得 \(a = \pm\sqrt{2}\)。
（2）检查三种可能：① 幂项系数为 0：\(a - 1 = 0 \implies a = 1\)，此时指数为 1，原式在全体实数上化为 \(y = 2x - 3\)，是一次函数；② 幂项系数非零且指数为 1：\(a^2 = 1\) 且 \(a - 1 \ne 0 \implies a = -1\)，此时 \(y = -2x + 2x - 3 = -3\)，一次项抵消，成为常数函数，舍去；③ 指数为 0：\(a = 0\)，原式含 \(x^0\)，只在 \(x\ne0\) 时等于 1，\(x=0\) 时的 \(0^0\) 没有定义。因此只能在 \(x\ne0\) 时化为 \(y = 2x - 4\)，\(x=0\) 时原式无定义，不满足全实数定义域要求，舍去。其余情况幂项系数非零且指数既非 0 也非 1，不能化为一次式。故本题只有 \(a = 1\)。