培玉 · 初中数学← 返回主页八年级下册 · 第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
给平行四边形加一个条件：一个角变成直角，是矩形；一组邻边变得相等，是菱形；两个都加，是正方形。它们比平行四边形多了哪些性质？又怎样判定？
本节导读 先修：21.2 平行四边形、等腰三角形、勾股定理 · 本节路线
要用到：平行四边形的性质与判定（回看 21.2）；等腰三角形“三线合一”、含 30° 角的直角三角形（回看 15.3）；勾股定理（回看 20.1）。
- 把平行四边形木框推成直角，看对角线怎样变。
- 矩形、菱形、正方形的定义：都以平行四边形为出发点。
- 矩形：四个直角、对角线相等；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；判定。
- 菱形：四边相等、对角线互相垂直并平分一组对角；面积；判定。
- 正方形：两条判定路径；分清“平行四边形”还是“四边形”出发。
- 练习与中考真题。
平行四边形木框 \(ABCD\)，\(AB=6\)，\(AD=4\)。慢慢推动它，改变 \(\angle A\)（点按钮），看两条对角线的长度：
推到 \(\angle A=90^\circ\) 时，两条对角线 \(AC\)、\(BD\) 有什么关系？
A。\(\angle A\) 越接近 \(90^\circ\)，两条对角线越接近；等于 \(90^\circ\) 时一样长，都是 \(\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}\)。它们并不垂直（垂直要邻边相等）。
有一个角是直角的平行四边形，就是我们熟悉的长方形，数学上叫矩形。这一节研究这类“特殊的平行四边形”。
1. 先认识几个词：矩形、菱形、正方形
前置知识：平行四边形的定义和性质（回看 21.2）。小学用“四个直角”描述长方形；现在换个出发点：先是平行四边形，再加一个条件。两种说法说的是同一种图形。
直觉微图解 ①在平行四边形上加条件
核心概念 ②定义 = 平行四边形 + 一个条件
矩形：有一个角是直角的平行四边形。菱形：有一组邻边相等的平行四边形。正方形：有一组邻边相等、并且有一个角是直角的平行四边形。它们都具有平行四边形的全部性质。
核心概念 ③包含关系
正方形既是矩形，又是菱形；矩形、菱形都是平行四边形。条件越多，图形越“特殊”，范围越小。梯形不是平行四边形，和它们都不相交。
2. 核心点：矩形
矩形有一个直角，由邻角互补，四个角都是直角；由“动手”① 还能看出对角线相等：
证对角线相等：\(\triangle ABC\cong\triangle DCB\)（SAS：\(AB=DC\)，\(\angle ABC=\angle DCB=90^\circ\)，\(BC\) 公共）。对角线相等又互相平分，所以 \(OA=OB=OC=OD\)。
把它用到直角三角形上，得到一条很有用的定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。只对斜边上的中线成立。
直觉微图解 ②倍长斜边上的中线，补成矩形
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
\(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle ACB=90^\circ\)，\(AC=5\)，\(BC=12\)，\(M\) 是 \(AB\) 的中点。求 \(CM\) 的长。
① 读懂题意：\(CM\) 是从直角顶点到斜边中点的线段——斜边上的中线。
提示：先求什么
定理把 \(CM\) 和斜边 \(AB\) 联系起来。\(AB\) 怎么求？
看完整示范
④ 回头看：斜边中点到三个顶点一样远，\(\triangle ACM\)、\(\triangle BCM\) 都是等腰三角形——求角的题常用这一点。
矩形的判定（性质的逆命题，都能证明）：① 定义：有一个角是直角的平行四边形；② 对角线相等的平行四边形；③ 有三个角是直角的四边形（第四个角由内角和得 \(90^\circ\)）。前两条要先是平行四边形，第三条从四边形出发。
证明任务：矩形的两条判定（先自己试，再展开）
② 对角线相等的平行四边形是矩形。提示：比较 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DCB\)。
证明：∵ ▱\(ABCD\) 中 \(AB=DC\)，\(BC=CB\)，又 \(AC=DB\)，∴ \(\triangle ABC\cong\triangle DCB\)（SSS），∴ \(\angle ABC=\angle DCB\)。∵ \(AB\parallel CD\)，∴ \(\angle ABC+\angle DCB=180^\circ\)（邻角互补）。∴ \(\angle ABC=90^\circ\)，▱\(ABCD\) 是矩形（定义）。
③ 有三个角是直角的四边形是矩形。证明：设 \(\angle A=\angle B=\angle C=90^\circ\)，由内角和 \(\angle D=90^\circ\)。\(\angle A+\angle B=180^\circ\)，∴ \(AD\parallel BC\)；\(\angle B+\angle C=180^\circ\)，∴ \(AB\parallel CD\)（同旁内角互补，两直线平行）。所以它是平行四边形，又有直角，是矩形。
自己试试：矩形 \(ABCD\) 中，\(AB=6\)，\(BC=8\)，对角线交于 \(O\)。\(OB\) 是多少？
A。\(\angle ABC=90^\circ\)，\(AC=\sqrt{6^2+8^2}=10\)；对角线相等且互相平分，\(OB=\tfrac12BD=\tfrac12AC=5\)。B 是整条对角线；C 是 \(\tfrac12(6+8)\)。
再试一个：下列条件能判定四边形 \(ABCD\) 是矩形的是哪一个？
B。三个角是直角的四边形是矩形。A：两腰相等的梯形对角线也相等；C：有两个直角的梯形；D：那个两腰相等的梯形也满足 \(AB\parallel CD\)、\(AC=BD\)。“对角线相等”只能用在已经是平行四边形的时候。
3. 核心点：菱形
菱形有一组邻边相等，加上对边相等，四条边都相等。对角线呢？\(\triangle ABD\) 是等腰三角形，\(O\) 是底边 \(BD\) 的中点，由“三线合一”（回看 15.3），\(AO\perp BD\)，\(AO\) 平分 \(\angle BAD\)。
直觉微图解 ③两条对角线把菱形切成四个全等的直角三角形
例 2（示范）
菱形 \(ABCD\) 的对角线 \(AC=10\)，\(BD=24\)。求它的边长、面积，以及边 \(AB\) 上的高。
提示 1：边长
放进对角线分出的直角三角形 \(\triangle AOB\)，两条直角边各是多少？
提示 2：高
面积还能写成“边长 × 这条边上的高”。
看完整示范
回头看：菱形面积两种算法：对角线乘积的一半，或底 × 高。联立就能求高。
菱形的判定：① 定义：有一组邻边相等的平行四边形；② 对角线互相垂直的平行四边形；③ 四条边都相等的四边形。合起来还有：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
证明任务：菱形的两条判定（先自己试，再展开）
② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。提示：用半条对角线构造全等三角形。
证明：▱\(ABCD\) 的对角线交于 \(O\)，\(AC\perp BD\)。∵ \(OA=OC\)（平行四边形的对角线互相平分），\(\angle AOB=\angle COB=90^\circ\)，\(OB=OB\)，∴ \(\triangle AOB\cong\triangle COB\)（SAS），∴ \(AB=CB\)。有一组邻边相等，▱\(ABCD\) 是菱形（定义）。
③ 四条边都相等的四边形是菱形。提示：先证它是平行四边形。
证明：\(AB=CD\)，\(AD=BC\)，两组对边分别相等，所以它是平行四边形；又 \(AB=AD\)，一组邻边相等，所以是菱形。
自己试试：菱形的边长是 \(10\)，一条对角线长 \(12\)。它的面积是多少？
A。半条对角线 \(6\)，另一半 \(\sqrt{10^2-6^2}=8\)，另一条对角线 \(16\)，面积 \(\tfrac12\times12\times16=96\)。B 漏了 \(\tfrac12\)；C 把边长当高，\(10\times12\)；D 是 \(\tfrac12\times10\times12\)。
4. 核心点：正方形与两条判定路径
正方形既是矩形又是菱形，所以四个角都是直角、四条边都相等；对角线相等、互相垂直平分、每条平分一组对角。两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形。判定不用背清单，记两条路：
直觉微图解 ④先矩形再菱形，或先菱形再矩形
自己试试：▱\(ABCD\) 的对角线 \(AC\perp BD\)。再添一个条件，使它成为正方形，应添哪一个？
提示
\(AC\perp BD\) 已经让它成了什么？还缺矩形的哪个条件？
B。对角线垂直的平行四边形已是菱形；再加对角线相等，它又是矩形，所以是正方形。A、D 是菱形本来就有的；C 是平行四边形本来就有的。添了等于没添。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：只看原图的对角线能猜中点图形吗？
顺次连接四边形各边中点。若原图两条对角线相等、垂直、或既相等又垂直，中点四边形分别会是什么？先猜，再借21.2正文的中位线说明证明。
想好后看解释
中点四边形的边分别平行且等于原图两条对角线的一半。对角线相等时中点图形是菱形；垂直时是矩形；既相等又垂直时是正方形。依次用中位线与特殊平行四边形的判定说明，不能只凭外形。
① 拖平行四边形：什么时候是矩形、菱形、正方形
拖动 \(A\)、\(B\)、\(D\)（或点一下再用方向键），顶点停在格点上，\(C\) 跟着变。判断按格点坐标精确计算，“差一点”不算。
② 斜边中线：CM 什么时候等于 AB 的一半
\(A\)、\(B\) 固定，\(AB=10\)，\(M\) 是中点。拖动 \(C\)，比较 \(CM\) 和 \(5\)。找找哪些格点让 \(\angle ACB\) 正好是直角。
③ 进阶：只看对角线，能判定什么
四个顶点都能拖。读数检查对角线是否互相平分、相等、垂直，再给出结论。试着拖出“对角线垂直且相等”却不是正方形的四边形。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 矩形 \(ABCD\) 的对角线 \(AC=12\)，对角线交于 \(O\)。\(OB\) 是多少？
A。\(BD=AC=12\)，\(OB=\tfrac12BD=6\)。B 是整条对角线；C 多除了一次 \(2\)。
2. 菱形的周长是 \(68\)，一条对角线长 \(30\)。它的面积是多少？
A。边长 \(17\)，半条对角线 \(15\)，另一半 \(\sqrt{17^2-15^2}=8\)，另一条对角线 \(16\)，面积 \(\tfrac12\times30\times16=240\)。B 漏了 \(\tfrac12\)；C 是误把边长与半条对角线相乘：\(17\times15=255\)。
易错
3. 下列命题是真命题的是哪一个？
提示
每句先看起点是“四边形”还是“平行四边形”，再找反例：梯形、风筝形。
B。第四个角 \(=360^\circ-270^\circ=90^\circ\)。A：两腰相等的梯形；C：风筝形；D：漏了“平行四边形”，风筝形也有邻边相等。
4. \(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，\(AC=6\)，\(BC=8\)，\(D\) 是 \(BC\) 的中点。\(AD\) 的长是多少？
提示
\(AD\) 是哪条边上的中线？斜边中线定理能用吗？
C。\(AD\) 是直角边 \(BC\) 上的中线，不能用斜边中线定理。\(CD=4\)，在 \(\text{Rt}\triangle ACD\) 中 \(AD=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}\)。A 是 \(\tfrac12BC\)；B 是 \(\tfrac12AB\)（斜边中线的长）；D 是斜边。
5. 正方形的对角线长 \(6\)，它的面积是多少？
提示
正方形也是菱形，面积可以用两条对角线算。
A。两条对角线都是 \(6\)，面积 \(\tfrac12\times6\times6=18\)；边长 \(3\sqrt2\)，\((3\sqrt2)^2=18\) ✓。B 漏了 \(\tfrac12\)；C 把边长当成了对角线的一半。
挑战
6. 正方形 \(ABCD\) 中，点 \(E\) 在对角线 \(BD\) 上，\(BE=BC\)。\(\angle DCE\) 是多少度？
提示 1：\(\angle EBC\) 是多少
正方形的对角线平分一组对角。
提示 2：哪个三角形是等腰的
\(BE=BC\)，在 \(\triangle BCE\) 中求底角 \(\angle BCE\)。
A。\(\angle EBC=45^\circ\)，\(\angle BCE=\tfrac12(180^\circ-45^\circ)=67.5^\circ\)，\(\angle DCE=90^\circ-67.5^\circ=22.5^\circ\)。B 是 \(\angle BCE\)，停早了；C 是把 \(\angle DCE\) 当成对角线分出的角；D 是以为 \(\triangle BCE\) 是等边三角形后算 \(90^\circ-60^\circ\)。
本节中考真题
共 67 道，含 29 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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矩形、菱形的计算和证明几乎每年都考。做完看解析。
先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 三下第3单元 · 长方形和正方形小学掌握长方形四个角是直角、正方形四条边相等的特征，初中将其纳入平行四边形的特殊化谱系（矩形、菱形、正方形），增加对角线判定定理。