培玉 · 初中数学← 返回主页

八年级下册 · 第二十章 勾股定理

20.2 勾股定理的逆定理及其应用

勾股定理说：直角三角形 → \(a^2+b^2=c^2\)。反过来呢？三条边满足 \(a^2+b^2=c^2\)，三角形就一定有直角吗？不用量角器、只靠算，就能判断墙角是不是方的。

本节导读　先修：勾股定理、SSS、逆命题 · 本节路线

要用到：勾股定理（回看 20.1）；SSS（回看 14.2）；原命题、逆命题、逆定理（回看 15.1）；二次根式运算（回看 19.3）。

  1. 三根木条钉三角形：第三根多长时，夹角正好是直角？
  2. 把勾股定理的题设和结论交换，得到逆命题；它是真的吗？
  3. 证明：另作一个直角三角形，再用勾股定理和 SSS。
  4. 判断方法：先找最大边，再比平方；直角在最大边对着的顶点。
  5. 勾股数：三个正整数；倍数和 \(2m\)、\(m^2-1\)、\(m^2+1\)。
  6. 综合应用：先求边再判直角；练习与中考真题。

木工手里有两根木条，长 \(5\) dm 和 \(12\) dm，一端钉在一起（点 \(C\)），再用第三根木条连接另外两端。第三根换成不同的长度，夹角 \(\angle C\) 跟着变。点按钮看一看：

第三根是 \(13\) dm 时，\(\angle C\) 是多少度？

A。三边是 \(5\)、\(12\)、\(13\)，而 \(5^2+12^2=169=13^2\)，按比例画出来，\(\angle C\) 正好是 \(90^\circ\)。D 不对：三边一定，三角形就定了（SSS），角也就定了。

可是“画出来量得 \(90^\circ\)”不算证明，量角总有误差。这一节要证明：只要三边满足 \(a^2+b^2=c^2\)，就一定是直角三角形，再用它不量角就判断直角。

1. 先认识几个词：逆命题、性质与判定

前置知识：一个命题的题设和结论交换，得到它的逆命题；原命题成立，逆命题不一定成立，要另外证明；证明成立的逆命题叫逆定理（回看 15.1）。点下面三档：

直觉微图解 ①题设和结论交换位置，真假要重新判断

核心概念 ②性质：已知直角 → 边的关系

勾股定理是直角三角形的性质：知道有直角，就能用边的平方关系求边长。

核心概念 ③判定：已知边的关系 → 直角

本节的逆定理是直角三角形的判定。以前判定直角三角形要看角（有一个角是直角，或两个角互余）；现在只算边就行。

2. 核心点：勾股定理的逆定理，以及怎样证明

\(\color{#966524}{\underbrace{a^2+b^2}_{\text{两条较短边的平方和}}}=\color{#B5452F}{\underbrace{c^2}_{\text{最长边的平方}}}\ \Longrightarrow\ \color{#2F7A56}{\underbrace{\angle C=90^\circ}_{\text{最长边 }c\text{ 对着的角}}}\)

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 \(a\)、\(b\)、\(c\) 满足 \(a^2+b^2=c^2\)，那么这个三角形是直角三角形，边 \(c\) 所对的角是直角。它和勾股定理是一对互逆定理。

直接从边推出角很难。办法是：另外作一个已经知道是直角的三角形，证明它和原三角形全等。点下面四档，跟着走一遍：

直觉微图解 ②构造 → 计算 → 全等 → 得直角

自己试试：证明逆定理时，另作的 \(\triangle A'B'C'\) 应该怎样作？

B。只用“两边及夹角”作三角形，一定作得出来；斜边多长是算出来的（\(A'B'^2=a^2+b^2=c^2\)）。A、C 一上来就要求三边是 \(a\)、\(b\)、\(c\) 又有直角，等于先假设了要证的结论，而且条件太多，未必作得出来。

3. 核心点：判断“是不是直角三角形”——先找最大边

字母不说明大小，\(c\) 不一定最长。斜边一定是最长边，所以要拿两条较短边的平方和去比最长边的平方：相等，就是直角三角形，直角在最长边对着的顶点；不相等，就不是直角三角形——因为如果它是，斜边就是最长边，平方关系就该成立（这是用勾股定理说理）。

直觉微图解 ③谁最长，谁就是“斜边候选”；直角在它对面

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范）

判断由下列线段组成的三角形是不是直角三角形，是的话，指出哪个角是直角：(1) \(a=2.4\)，\(b=1\)，\(c=2.6\)；(2) \(a=7\)，\(b=8\)，\(c=11\)；(3) \(a=\sqrt3\)，\(b=\sqrt5\)，\(c=2\sqrt2\)。

① 读懂题意：每组先回答：哪条边最长？

提示 1：带根号的怎么比大小

都平方后再比：\((\sqrt3)^2=3\)，\((\sqrt5)^2=5\)，\((2\sqrt2)^2=8\)。

看完整示范
② 想办法：找最长边，分别算“两条较短边的平方和”和“最长边的平方”，先别写等号。
③ 执行：(1) 最长 \(c=2.6\)：\(a^2+b^2=5.76+1=6.76\)，\(c^2=6.76\)，相等，是直角三角形，\(\angle C=90^\circ\)。(2) 最长 \(c=11\)：\(49+64=113\)，\(121\)，不相等，不是直角三角形。(3) 最长 \(c=2\sqrt2\)：\(3+5=8=c^2\)，是直角三角形，\(\angle C=90^\circ\)。
执行中检查：(1) 是 \(5,12,13\) 的 \(0.2\) 倍：\(1,2.4,2.6\) ✓。依据要写对：判直角用的是“勾股定理的逆定理”。

④ 回头看：第 (1) 组字母顺序和大小顺序不一样，第 (3) 组最长边藏在根号里，所以第一步永远是“找最长边”。

自己试试：\(\triangle ABC\) 中，\(AB=15\)，\(BC=9\)，\(CA=12\)。它是直角三角形吗？

C。最长边 \(AB=15\)：\(BC^2+CA^2=81+144=225=AB^2\)，直角是 \(AB\) 对着的 \(\angle C\)。A 没先找最长边；B、D 把直角放错了顶点。

4. 核心点：勾股数

能成为直角三角形三条边长的三个正整数，叫勾股数，例如 \(3,4,5\)；\(5,12,13\)；\(8,15,17\)；\(7,24,25\)。三个数都要是正整数：\(1.5,2,2.5\) 能组成直角三角形，但不是勾股数。一组勾股数同乘一个正整数，还是勾股数。还有一个造勾股数的办法：

直觉微图解 ④\(m\) 是大于 \(1\) 的整数时，\(2m\)、\(m^2-1\)、\(m^2+1\) 是勾股数

\((2m)^2+(m^2-1)^2=4m^2+m^4-2m^2+1=m^4+2m^2+1=(m^2+1)^2\)

这个办法造不出所有勾股数：\(5,12,13\) 就不在里面（\(12=2\times6\)，可 \(6^2-1=35\)）。

自己试试：取 \(m=6\)，按上面的办法得到的勾股数是哪一组？

D。\(2m=12\)，\(m^2-1=35\)，\(m^2+1=37\)；验算 \(144+1225=1369=37^2\) ✓。A 把 \(2m\) 写成了 \(m\)；B、C 把 \(m^2\) 本身当成了一个数。

5. 核心点：两个定理一起用

常见的套路：先在一个直角三角形里用勾股定理求出一条边，再在另一个三角形里用逆定理判出直角。写依据时分清两个名字。

例 2（示范：四边形的面积）

如图，四边形 \(ABCD\) 中，\(\angle B=90^\circ\)，\(AB=1\)，\(BC=2\)，\(CD=2\)，\(AD=3\)。求四边形 \(ABCD\) 的面积。

① 读懂题意：四边形的面积没有现成公式。连哪条线，能把它分成两个好算的三角形？

提示 1：选一条对角线

连接 \(AC\)。\(\triangle ABC\) 有直角，用勾股定理求 \(AC\)。

提示 2：检查三边关系

比一比 \(AC^2+CD^2\) 和 \(AD^2\)。

看完整示范
② 想办法：连接 \(AC\)：\(\triangle ABC\) 用勾股定理求 \(AC\)；\(\triangle ACD\) 用逆定理判直角；两个直角三角形面积相加。
③ 执行：在 \(\mathrm{Rt}\triangle ABC\) 中，\(AC^2=1^2+2^2=5\)，\(AC=\sqrt5\)（勾股定理）。在 \(\triangle ACD\) 中，\(AC^2+CD^2=5+4=9=AD^2\)，所以 \(\angle ACD=90^\circ\)（勾股定理的逆定理）。面积 \(=\tfrac12\times1\times2+\tfrac12\times\sqrt5\times2=1+\sqrt5\)。
执行中检查：\(\angle ACD\) 是最长边 \(AD\) 对着的角 ✓；两个三角形都用“两直角边乘积的一半”算面积 ✓。

④ 回头看：同一道题里两个定理各用一次：已知直角求边，用勾股定理；已知三边判直角，用逆定理。

自己试试：小船从码头 \(O\) 出发，向正北行驶 \(6\) km 到 \(P\)，然后转向，直线行驶 \(8\) km 到 \(Q\)。这时测得 \(Q\) 在过 \(O\) 的南北方向直线的东侧，且 \(OQ=10\) km。从 \(P\) 到 \(Q\) 船朝哪个方向行驶？

A。\(OP^2+PQ^2=36+64=100=OQ^2\)，由逆定理，\(\angle OPQ=90^\circ\)：\(PQ\) 和正北方向的 \(OP\) 垂直，\(Q\) 又在东边，所以朝正东。

6. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）不先找最长边，按字母顺序硬套
❌ 典型错解：\(\triangle ABC\) 中 \(AB=5\)，\(BC=13\)，\(CA=12\)。“\(AB^2+BC^2=194\ne CA^2=144\)，所以不是直角三角形。”
✅ 看图秒懂：最长的是 \(BC=13\)：\(AB^2+CA^2=25+144=169=BC^2\)，是直角三角形，\(\angle A=90^\circ\)。拿谁去比，由大小决定，不由字母决定。
翻车现场 ②直角标错位置、依据写错名字
❌ 典型错解：“三边满足 \(a^2+c^2=b^2\)，所以 \(\angle C=90^\circ\)（勾股定理）。”
✅ 一眼看清：最长的是 \(b\)，直角是 \(b\) 对着的 \(\angle B\)。由三边判直角，依据是“勾股定理的逆定理”；由直角求边，才写“勾股定理”。
翻车现场 ③满足平方关系就叫勾股数
❌ 典型错解：“\(0.3,0.4,0.5\) 是勾股数”；“勾股数同乘 \(\tfrac12\) 还是勾股数”。
✅ 一眼看清：勾股数必须是三个正整数。\(0.3,0.4,0.5\) 能组成直角三角形，但不是勾股数；\(6,8,10\) 乘 \(\tfrac12\) 得 \(3,4,5\) 碰巧还是，\(3,4,5\) 乘 \(\tfrac12\) 就不是了。

① 三根木条：什么时候围成直角三角形

拖动下面三个滑块（或点一下圆点用方向键）改变三边 \(a=BC\)、\(b=CA\)、\(c=AB\)（单位：dm，取整数）。三角形按比例画出；满足平方关系时，直角自动标出来。

② 勾股数生成器

拖动滑块改变 \(m\)（\(2\) 到 \(9\)）和倍数 \(k\)（\(1\) 到 \(4\)）。三边是 \(k\cdot2m\)、\(k(m^2-1)\)、\(k(m^2+1)\)，三角形按比例缩放画出。

③ 进阶：在方格纸上找直角

点 \(A\) 固定，拖动格点 \(B\) 和 \(P\)（每个小格边长 \(1\)）。每条边的平方可以数格子用勾股定理算出来，再用逆定理判断有没有直角、在哪个顶点。试着找出 \(\angle P=90^\circ\) 的位置，再找一个 \(\angle A=90^\circ\) 的。

④ 结绳工坊：先搭边、读角，再写猜想

纸绳怎么做、记录什么？

用尺量出3、4、5个同长单位的三段不易伸长的细绳，接成闭环，固定三个结点，把每段拉直成三角形。用量角器量最长段所对的角，记下单位长度、三段实测长度、角读数与误差；未做就写计划。下面先在网页上搭接，实物操作请另行动手完成。

先统一单位，再输入三段长度（可试3、4、5及其它数），再自己移动C，让CA、CB都接上给定长度。AB作底边；a=BC，b=CA，c=AB。

请用半角数字填整数、小数或分数：整数部分最多9位，小数最多6位。数字中间不要留空格，分数线两侧可以留空格。不要填上标、全角数字、单位或算式。

尚未取绳。

移动结点C，再核搭接

横、纵标尺以最长绳长为1格；方向键每次移0.001格，也可拖C或拖标尺。搭接误差按最长绳长的0.2%核对，只作近似测量。

先留下本图量角记录

再写猜想，核算精确边长

⑤ 证明工坊：只用两条边与直角来构造

一般题设：非退化△ABC中，BC=a>0、CA=b>0、AB=c>0，且a²+b²=c²。求证∠C为直角。下面用a=3、b=4演练作图；一般证明仍要写任意正a、b、c的理由，不能只用这一组数或测量结论。上方任意三段若不满足这里的题设，不能套用本证明的结论。

作新三角形A′B′C′

先作∠A′C′B′为直角，再在两射线上分别截C′B′=a、C′A′=b。不要预设新三角形的第三边，也不要先把原∠C当直角。

从构造写到原三角形

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. 下列各组线段中，能组成直角三角形的是哪一组？

B。最长边是 \(2\)：\(1^2+(\sqrt3)^2=4=2^2\)。A：\(16+25=41\ne36\)；C：\(4+9=13\ne16\)；D：\(25+36=61\ne49\)。

2. \(\triangle ABC\) 中，\(AB=17\)，\(BC=8\)，\(AC=15\)。哪个角是直角？

C。最长边 \(AB=17\)：\(BC^2+AC^2=64+225=289=17^2\)，直角是 \(AB\) 对着的 \(\angle C\)。

易错

3. \(\triangle ABC\) 的三边 \(a=1.3\)，\(b=0.5\)，\(c=1.2\)。小明算出 \(a^2+b^2=1.94\)，\(c^2=1.44\)，说“不相等，不是直角三角形”。正确的结论是？

提示

三条边里哪条最长？用另外两条去比它。

D。最长边是 \(a=1.3\)：\(b^2+c^2=0.25+1.44=1.69=a^2\)，直角是 \(a\) 对着的 \(\angle A\)。小明拿 \(c\) 当最长边了（翻车现场 ①）；B 是按字母把直角放在了 \(C\)。

4. 如果 \(a\)、\(b\)、\(c\) 是一组勾股数，那么下面哪一组一定也是勾股数？

提示

勾股数有两个条件：满足平方关系，并且都是正整数。拿 \(3,4,5\) 试一试每个选项。

C。\((3a)^2+(3b)^2=9(a^2+b^2)=9c^2=(3c)^2\)，又都是正整数。用 \(3,4,5\) 试：A 得 \(1.5,2,2.5\)，不是整数；B 得 \(4,5,6\)，\(16+25\ne36\)；D 得 \(9,16,25\)，\(81+256\ne625\)。

5. 已知 \(\triangle ABC\) 三边满足 \(AC^2+BC^2=AB^2\)，得出 \(\angle C=90^\circ\)。这一步的依据是什么？

B。由“边的关系”推出“直角”，是判定，用逆定理。勾股定理是反方向：由直角推出边的关系（翻车现场 ②）。

挑战

6. 四边形 \(ABCD\) 中，\(AB=BC=2\)，\(\angle B=90^\circ\)，\(CD=1\)，\(AD=3\)。\(\angle BCD\) 是多少度？

提示 1

连接 \(AC\)。\(\triangle ABC\) 是等腰直角三角形，\(\angle BCA\) 是多少度？\(AC\) 多长？

提示 2

在 \(\triangle ACD\) 中比较 \(AC^2+CD^2\) 和 \(AD^2\)。

C。\(AC^2=2^2+2^2=8\)；\(AC^2+CD^2=8+1=9=AD^2\)，由逆定理 \(\angle ACD=90^\circ\)。又等腰直角三角形中 \(\angle BCA=45^\circ\)，所以 \(\angle BCD=45^\circ+90^\circ=135^\circ\)。（四边形面积 \(=2+\tfrac12\times2\sqrt2\times1=2+\sqrt2\)。）

本节中考真题

共 1 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

开始做本节真题

本节精选

正在加载精选题…

逆定理常和勾股数、作垂线的实际办法一起考。填空点开就能看分步解析。

本章测验

这一章学完了，用 12 道题整体检查一下。整套提交后看解析，答错的题进入错题本。

第 20 章 勾股定理 · 章末测验 →

不确定前面哪里没跟上？做一次摸底 →