培玉 · 初中数学← 返回主页八年级下册 · 第十九章 二次根式
19.3 二次根式的加法与减法
\(\sqrt{18}\) 和 \(\sqrt{50}\) 看上去毫不相干，化简后却都是 \(\sqrt2\) 的倍数，能像 \(2x+3x\) 那样合并。这一节学二次根式的加减，再把整式的乘法公式搬过来做混合运算。
本节导读 先修：19.2 二次根式的乘法与除法 · 本节路线
要用到：把二次根式化成最简（回看 19.2）；合并同类项、去括号（回看 4.2）；平方差公式和完全平方公式（回看 16.3）。
- 从两个正方形并排进入：边长相加。
- 加减的方法：先化简，再合并被开方数相同的二次根式（依据分配律）。
- 辨析：\(\sqrt a+\sqrt b\) 一般不等于 \(\sqrt{a+b}\)。
- 混合运算：整式的乘法法则和乘法公式照样用。
- 整体代入求值：先算 \(x+y\)、\(xy\)，再组合。
- 练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。
两块正方形瓷砖并排放，总长是两条边长的和。边长都带根号，能合成一个数吗？先点下面几组看看，下方彩色尺子按“一小段”来量：
两块正方形瓷砖的面积分别是 \(28\) 和 \(63\)，并排放的总长 \(\sqrt{28}+\sqrt{63}\) 等于多少？
B。\(\sqrt{28}=2\sqrt7\)，\(\sqrt{63}=3\sqrt7\)，就是 \(2\) 段加 \(3\) 段“\(\sqrt7\)”，共 \(5\sqrt7\)（约 \(13.23\)）。选 A 是把被开方数直接相加，\(\sqrt{91}\approx9.54\)，比两条边加起来短多了；选 C 是系数相加的同时又把两个 \(7\) 加成了 \(14\)。
这一节要回答：什么样的二次根式能合并？怎样合并？加减和乘除混在一起又怎么算？
1. 先认识几个词：被开方数相同，才能合并
前置知识：把二次根式化成最简（回看 19.2）；合并同类项 \(3x+2x=(3+2)x\)（回看 4.2）。把 \(\sqrt m\) 看成“一小段”，数一数有几段：
直觉微图解 ①同一种“小段”才能一起数
二次根式加减的方法：先把每个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式合并。合并的依据是分配律，和合并同类项一样。
核心概念 ②像合并同类项
\(3x+2x=5x\)，\(3\sqrt3+2\sqrt3=5\sqrt3\)：被开方数不变，系数相加减。\(\sqrt3\) 前面没写系数，系数是 \(1\)。
核心概念 ③化简后仍不同：不能合并
\(\sqrt2+\sqrt3\) 就是最后结果，像 \(x+y\) 不能再合并。但要先化简再判断：\(\sqrt{27}\) 和 \(\sqrt{12}\) 表面不同，化简后都含 \(\sqrt3\)。
2. 核心点：先化简，再合并
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
计算：(1) \(\sqrt{48}-\sqrt{27}+\sqrt{75}\)；(2) \(\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{\tfrac15}\)。
① 读懂题意：被开方数都不一样，能直接算吗？第一步做什么？
提示 1：先化简每一项
(1) 三个数都含平方因数，且剩下的都是 \(3\)；(2) \(\sqrt{\tfrac15}\) 的被开方数有分母，要化成分母不含根号的形式。
基础示范（可收起）
④ 回头看：加减分两步：化简（每一项）→ 合并（被开方数相同的项）。结果 \(\tfrac{24}{5}\sqrt5\) 也可以写成 \(\tfrac{24\sqrt5}{5}\)。
自己试试：\(\sqrt{50}-\sqrt8\) 等于多少？
B。\(\sqrt{50}-\sqrt8=5\sqrt2-2\sqrt2=3\sqrt2\)。A 是被开方数直接相减；C 是合并后把 \(\sqrt2\) 丢了；D 是把减号当成了加号。
为什么不能把被开方数直接相加？比一比两条线段：
直觉微图解 ②\(\sqrt a+\sqrt b\) 和 \(\sqrt{a+b}\) 一样长吗？
3. 核心点：混合运算——乘法公式照样用
二次根式的混合运算和整式一样：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号里；分配律、乘法公式都能用，因为有理数的运算律在实数范围内同样成立。
直觉微图解 ③\((\sqrt a+b)^2\) 是大正方形，切成四块
例 2（示范）
计算：(1) \((\sqrt6-2)(\sqrt6+2)\)；(2) \((2\sqrt3+1)^2\)；(3) \((\sqrt{18}-\sqrt8)\div\sqrt2\)。
提示：先认结构
(1) 是“和 × 差”，用平方差公式；(2) 用完全平方公式，三项都要写；(3) 除以 \(\sqrt2\) 要对括号里的每一项起作用。
看完整示范
回头看：(1) 两个含根号的式子相乘得到有理数 \(2\)，平方差公式把根号“消掉”了。
自己试试：\((\sqrt7+\sqrt3)(\sqrt7-\sqrt3)\) 等于多少？
A。平方差公式：\((\sqrt7)^2-(\sqrt3)^2=7-3=4\)。B 是把减号写成了加号；C 是写成了 \(\sqrt{7-3}=\sqrt4=2\)，忘了 \((\sqrt7)^2=7\)、\((\sqrt3)^2=3\) 已经没有根号。
再试一个：\((\sqrt3+1)^2\) 等于多少？
B。\((\sqrt3)^2+2\times\sqrt3\times1+1^2=3+2\sqrt3+1=4+2\sqrt3\)。A 漏了中间项（翻车现场 ③）；C 漏了 \(1^2\)。
4. 核心点：整体代入求值
已知 \(x\)、\(y\) 是带根号的数，求一个复杂式子的值：直接代入也对，但更省事的是先算 \(x+y\)、\(x-y\)、\(xy\) 这些简单组合，再用乘法公式、因式分解把所求式子写成它们的组合。
例 3（示范）
已知 \(x=\sqrt5+1\)，\(y=\sqrt5-1\)，求：(1) \(x^2+y^2\)；(2) \(\dfrac yx+\dfrac xy\)。
提示：先算三个简单的
\(x+y\)、\(xy\) 分别是多少？\(x^2+y^2\) 能用 \((x+y)^2\) 和 \(xy\) 表示吗？
看完整示范
回头看：\(x\)、\(y\) “一加一减”，和与积都很整齐，所以先算组合最省事。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（选学）：分母有两个根式
这里只作拓展。要把 \(1/(\sqrt3-\sqrt2)\) 的分母化成有理数，应同乘什么式子？先试着用平方差公式。
看推导
平方差公式能把 \(\sqrt3-\sqrt2\) 里的根号“消掉”：\((\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)=1\)。所以分母是 \(\sqrt3-\sqrt2\) 时，分子分母同乘 \(\sqrt3+\sqrt2\)：
\(\dfrac{1}{\sqrt3-\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)}=\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{3-2}=\sqrt3+\sqrt2\)
另设t>0，化简 \(\sqrt{8t}+\sqrt{50t}\)。先分别化简，再判断能否合并。
看字母式的计算
\(\sqrt{8t}+\sqrt{50t}=2\sqrt{2t}+5\sqrt{2t}=7\sqrt{2t}\)。条件t>0保证两项都有意义。
① 加法：能不能合并？
拖动两个滑块（或点一下圆点用方向键）改变 \(a\)、\(b\)（\(1\) 到 \(50\)），看 \(\sqrt a+\sqrt b\) 化简后能否合并。彩色分段是化简后的“小段”。
② 完全平方：四块面积
拖动滑块改变 \((\sqrt a+b)^2\) 里的 \(a\)（\(1\) 到 \(10\)）和 \(b\)（\(1\) 到 \(5\)）。
③ 进阶：整体代入
\(x=\sqrt m+n\)，\(y=\sqrt m-n\)。拖动滑块改变 \(m\)（\(2\) 到 \(12\)）和 \(n\)（\(1\) 到 \(4\)）：\(x\)、\(y\) 在数轴上关于 \(\sqrt m\) 对称。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 计算 \(\sqrt{12}+\sqrt{75}\)。
B。\(2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3\)。A 是被开方数直接相加；C 是把两个 \(3\) 也加了；D 是把系数乘了起来。
2. 计算 \(\sqrt2\times(\sqrt8+\sqrt2)\)。
A。分配律：\(\sqrt2\times\sqrt8+\sqrt2\times\sqrt2=4+2=6\)。B 只乘了第一项；C 是先把括号里算成 \(\sqrt{10}\)（翻车现场 ①），再乘 \(\sqrt2\)。
易错
3. 下列计算正确的是哪一个？
提示
逐个算一遍。加减看被开方数是否相同、系数 \(1\) 有没有丢；乘除看系数和被开方数是否分别处理。
C。\(2\sqrt3\times3\sqrt3=6\times(\sqrt3)^2=18\)。A：被开方数不同，不能合并；B：应为 \(3\sqrt5\)；D：\(\sqrt{8\div2}=\sqrt4=2\)。
4. 计算 \((\sqrt5-2)^2\)。
提示
完全平方公式三项：\((\sqrt5)^2\)、\(-2\times\sqrt5\times2\)、\(2^2\)。
B。\(5-4\sqrt5+4=9-4\sqrt5\)。A 漏了中间项 \(-4\sqrt5\)（翻车现场 ③）；C 是中间项少乘了 \(2\)；D 漏了 \(2^2\)。
5. 计算 \((\sqrt{27}-\sqrt{12})\div\sqrt3\)。
提示
两条路：逐项除以 \(\sqrt3\)；或者先化简括号里的，再除。
A。\(\sqrt{27}\div\sqrt3-\sqrt{12}\div\sqrt3=3-2=1\)；或 \((3\sqrt3-2\sqrt3)\div\sqrt3=1\)。B 是括号里被开方数直接相减成 \(\sqrt{15}\)；C 是只除了第一项。
挑战
6. 已知 \(a=3+\sqrt2\)，\(b=3-\sqrt2\)，求 \(a^2-ab+b^2\) 的值。
提示 1：先算简单的
\(a+b=?\)，\(ab=?\)（用平方差公式）。
提示 2：凑成和与积
\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)，所以 \(a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab\)。
A。\(a+b=6\)，\(ab=9-2=7\)，\(a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab=36-21=15\)。B 是把 \(-ab\) 当成了 \(+ab\)；C 是只算了 \((a+b)^2\)；D 是只算了 \(a^2+b^2\)，漏减 \(ab\)。
本节中考真题
共 5 道，含 4 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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“先化简再合并”和“乘法公式”是二次根式计算题的主力；化简求值的最后一步常常就是代入一个二次根式。
一试延伸（入门 F1–F2）
学有余力可以试试竞赛入门。下面的一试专题（限定 F1–F2 入门梯度）可以直接从本节出发：
- 一试 · 数列的和（F1–F2）分母有理化 $\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\sqrt{n+1}-\sqrt n$ 能直接把含根号的分式和转化为首尾相消的裂项求和。