八年级上册 · 第十八章分式

18.5 分式方程

未知数跑进了分母里，方程怎么解？办法还是七年级的老办法：去分母，化成一元一次方程。只是这一次，两边乘的式子可能等于 \(0\)，所以多了一步不能省的检验。

本节导读　先修：5.2 解一元一次方程、18.1 最简公分母 · 本节路线

要用到：一元一次方程的去分母和解法（回看 5.2）；列方程解应用题（回看 5.3）；分式有意义的条件、最简公分母（回看 18.1）；分式的加减（回看 18.3）。

从“两段路用时相同”进入：未知数出现在分母里。
认识分式方程，和整式方程比一比。
解法：两边乘最简公分母，化成一元一次方程。
为什么必须检验：乘的式子等于 \(0\) 时，解出来的数不是原方程的解。
应用题：设、列、解、检、答，“检”要检两样。
练习与中考真题，回看最容易错的三处。

小周上学，先骑共享单车 \(6\) km 到地铁站，再坐地铁 \(18\) km。两段用的时间正好一样长，地铁每小时比单车快 \(24\) km。单车的速度是多少？先猜几个速度，看看两段各用多少分钟：

单车速度是多少时，两段用时正好相等？

B。单车 \(12\) km/h，骑 \(6\) km 用 \(\tfrac{6}{12}=0.5\) 小时；地铁 \(12+24=36\) km/h，坐 \(18\) km 也用 \(\tfrac{18}{36}=0.5\) 小时。A、C 代进去两段时间不等；D 是把“快 \(24\)”当成了单车的速度。

设单车速度为 \(x\) km/h，时间 \(=\) 路程 \(\div\) 速度，相等关系是 \(\dfrac{6}{x}=\dfrac{18}{x+24}\)。未知数 \(x\) 跑进了分母里。一个个去试太慢，这一节学怎么直接解它。

1. 先认识几个词：分式方程、去分母、检验

前置知识：一元一次方程去分母（回看 5.2）；最简公分母（回看 18.1）。判断是不是分式方程，只看一件事：分母里有没有未知数。点下面几个方程试试：

直觉微图解 ①只看分母：里面有没有未知数 \(x\)

分式方程：分母中含有未知数的方程，例如 \(\dfrac{6}{x}=\dfrac{18}{x+24}\)、\(3+\dfrac{1}{2x}=5\)。以前学的一元一次方程、二元一次方程组，未知数都不在分母里，叫整式方程。

去分母：方程两边都乘最简公分母，把分式方程化成整式方程。本节的方程，去分母后都是一元一次方程。

核心概念 ②这回乘的是含 \(x\) 的式子

七年级去分母，两边乘的是 \(6\)、\(10\) 这样的非零数；现在乘的是 \(x\)、\(x(x+24)\) 这样的式子，它可能等于 \(0\)。所以解出来的数要检验：代入最简公分母，看是不是 \(0\)。

核心概念 ③解方程 ≠ 分式运算

解方程有等号，两边可以同乘最简公分母，分母就去掉了。化简 \(\dfrac1x+\dfrac{2}{x+1}\) 没有等号，只能通分，分母要留着，不能“乘掉”。

2. 核心点：去分母，化成一元一次方程

\(\color{#2F7A56}{\underbrace{\text{分式方程}}_{\text{分母含 }x}}\) \(\xrightarrow{\ \times\text{最简公分母}\ }\) \(\color{#966524}{\underbrace{\text{整式方程}}_{\text{一元一次}}}\) \(\xrightarrow{\ \text{解}\ }\) \(\color{#B5452F}{\underbrace{x=a}_{\text{必须检验}}}\)

去分母时，每一项都要乘最简公分母，包括不带分母的整数项；分子是多项式时要加括号。点下面几步看清楚：

直觉微图解 ②解 \(\dfrac{7}{x-1}-2=\dfrac{x}{x-1}\)：每一张“卡片”都要乘

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

解方程 \(\dfrac{5}{x+3}=\dfrac{2}{x}\)。

① 读懂题意：两个分母 \(x+3\)、\(x\) 都含未知数，是分式方程。目标还是化成 \(x=a\)，挡路的是分母。

提示 1：乘什么能同时去掉两个分母

两个分母没有公因式，最简公分母是它们的积 \(x(x+3)\)。

基础示范（可收起）

② 想办法：方程两边乘 \(x(x+3)\)，左边约掉 \(x+3\)，右边约掉 \(x\)，变成一元一次方程。

③ 执行：方程两边乘 \(x(x+3)\)，得 \(5x=2(x+3)\)。去括号 \(5x=2x+6\)，移项合并 \(3x=6\)，解得 \(x=2\)。

执行中检查：检验：当 \(x=2\) 时，\(x(x+3)=2\times5=10\ne0\)。所以，原分式方程的解为 \(x=2\)。

④ 回头看：代回原方程再看一眼：左边 \(\tfrac55=1\)，右边 \(\tfrac22=1\) ✓。步骤是“去分母 → 解整式方程 → 检验 → 写结论”，检验一行不能省。

自己试试：解方程 \(\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{1}{x-4}\)，结果是？

A。两边乘 \((x-2)(x-4)\)，得 \(3(x-4)=x-2\)，即 \(3x-12=x-2\)，\(2x=10\)，\(x=5\)。检验：\((5-2)(5-4)=3\ne0\)，所以 \(x=5\) 是原方程的解。B 是 \(3\) 只乘了 \(x\)：\(3x-4=x-2\)；C 是移项时 \(-12\) 没变号：\(2x=-2-12\)；D 不对，这个方程有解。

3. 核心点：为什么检验一行不能省

去分母后整式方程的解中，使原分母为 \(0\)、须舍去的值常称增根。增根不是原分式方程的解。

去分母时两边乘的是含 \(x\) 的式子。如果解出的 \(x\) 让最简公分母不等于 \(0\)，相当于两边乘了一个不为 \(0\) 的数，没问题；可是去分母时的约分，本来就以分母不为 \(0\) 为前提；得到的整式方程，可能恰好在这些被排除的值处成立，而原方程在那里分母为 \(0\)，根本没有意义。所以解出后必须检查原方程的分母是否为 \(0\)。

\(\text{检验：代入最简公分母}\quad\color{#2F7A56}{\underbrace{\ne 0}_{\text{是原方程的解}}}\quad\color{#B5452F}{\underbrace{=0}_{\text{不是原方程的解}}}\)

直觉微图解 ③让分母为 0 的点是“坑”：解出来的数掉进坑里，就不算数

例 2（示范）

解方程 \(\dfrac{x}{x-3}-2=\dfrac{3}{x-3}\)。

提示：中间那个 2 也要乘

最简公分母是 \(x-3\)。\(-2\) 没有分母，但乘完是 \(-2(x-3)\)。

看完整示范

执行：方程两边乘 \(x-3\)，得 \(x-2(x-3)=3\)。去括号 \(x-2x+6=3\)，\(-x=-3\)，解得 \(x=3\)。

检验：当 \(x=3\) 时，\(x-3=0\)。\(x=3\) 不是原分式方程的解，所以原分式方程无解。

回头看：这不是算错了。整式方程 \(x-2(x-3)=3\) 只有一个解 \(x=3\)，它又正好让原方程的分母为 \(0\)，所以原方程本来就没有解。

自己试试：解方程 \(\dfrac{2x}{x+1}=1-\dfrac{2}{x+1}\)，结论是？

B。两边乘 \(x+1\)，得 \(2x=(x+1)-2\)，\(x=-1\)。检验：\(x=-1\) 时 \(x+1=0\)，所以 \(x=-1\) 不是原方程的解，原方程无解。选 A 是漏了检验；C 是 \(1\) 漏乘了 \(x+1\)：\(2x=1-2\)；D 是 \(-2\) 的负号丢了：\(2x=x+1+2\)。

也可把候选解代回原方程，分别计算左右两边作检验。若去分母得到的一元一次方程只有这一个候选解，而它使原分母为0，舍掉后才能断言原方程无解。

4. 核心点：应用题，“检”要检两样

列分式方程解应用题，还是“设、列、解、检、答”。常用的分式量：时间 \(=\) 路程 \(\div\) 速度，工作效率 \(=\) 工作量 \(\div\) 时间（工程问题把全部工作量记作 \(1\)）。“检”要检两样：① 最简公分母不为 \(0\)，是方程的解；② 符合实际意义（速度、天数为正，人数为整数等）。

例 3（示范：工程问题）

铺一段管道，甲队单独铺要 \(24\) 天。甲队先铺了 \(4\) 天，乙队加入，两队又合铺 \(8\) 天正好完成。乙队单独铺这段管道要多少天？

① 读懂题意：谁干了几天？甲从头干到尾，一共 \(4+8=12\) 天；乙只干了 \(8\) 天。

提示：工作量怎么表示

全部工作量记作 \(1\)。甲每天铺 \(\tfrac1{24}\)。设乙单独铺要 \(x\) 天，乙每天铺 \(\tfrac1x\)。等量关系：甲铺的 \(+\) 乙铺的 \(=1\)。

基础示范（可收起）

② 想办法：甲铺了 \(\tfrac{12}{24}\)，乙铺了 \(\tfrac{8}{x}\)，列方程 \(\dfrac{12}{24}+\dfrac{8}{x}=1\)。

③ 执行：方程两边乘 \(24x\)，得 \(12x+192=24x\)，\(12x=192\)，解得 \(x=16\)。

执行中检查：检验：\(x=16\) 时 \(24x\ne0\)，是原方程的解；天数 \(16\) 是正数，符合实际。答：乙队单独铺要 \(16\) 天。

④ 回头看：甲 \(12\) 天铺了一半，乙 \(8\) 天铺了另一半，乙每天铺 \(\tfrac1{16}\)，比甲快，合理。“动手”③ 可以改合作天数再看。

想一想：一艘船在静水中每小时行 \(20\) km，顺流行 \(72\) km 和逆流行 \(48\) km 用时相同，求水流速度。设水速为 \(v\) km/h，小林列出 \(\dfrac{72}{20-v}=\dfrac{48}{20+v}\)，解得 \(v=-4\)，检验时最简公分母不为 \(0\)。下面说法正确的是？

C。顺流速度是 \(20+v\)，逆流速度是 \(20-v\)，正确的方程是 \(\dfrac{72}{20+v}=\dfrac{48}{20-v}\)，解得 \(v=4\)，检验 \((20+4)(20-4)\ne0\)，且 \(0<4<20\)，符合实际。A 只做了第一样检验，没看实际意义；B 算错了：\(v=-4\) 时两个分母是 \(24\) 和 \(16\)，都不为 \(0\)。

5. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）解出来就写答案，不检验

❌ 典型错解：解 \(\dfrac{x}{x-3}-2=\dfrac{3}{x-3}\)，得 \(x=3\)，写“原方程的解为 \(x=3\)”。

✅ 看图秒懂：\(x=3\) 正好落在让分母 \(x-3\) 为 \(0\) 的坑里，原方程在这里没有意义。它不是原方程的解，原方程无解。

翻车现场 ②去分母漏乘、漏括号

❌ 典型错解：\(\dfrac{7}{x-1}-2=\dfrac{x}{x-1}\) 去分母写成 \(7-2=x\)；或写成 \(7-2x-1=x\)。

✅ 一眼看清：每一项都乘 \(x-1\)，\(-2\) 乘完是 \(-2(x-1)\)，括号不能丢：\(7-2(x-1)=x\)，即 \(7-2x+2=x\)。

翻车现场 ③代入整式方程“检验”，或以为无解就是算错了

❌ 典型错解：把 \(x=3\) 代入 \(x-2(x-3)=3\)，两边都是 \(3\)，“检验通过”；或看到 \(x-3=0\) 就推倒重算。

✅ 一眼看清：\(x=3\) 本来就是从整式方程解出来的，代进去当然成立，等于没检。要代入最简公分母。等于 \(0\) 时，结论就是“原方程无解”，不是算错。

① 拖动 x：原方程和整式方程，两边相不相等

选一个方程，拖动数轴上的点 \(x\)（或点一下再用方向键）。左边两根柱子是原方程左、右两边的值，右边两根是去分母后整式方程两边的值（横线处为 \(0\)，太高的柱子截断了）。红圈是让最简公分母为 \(0\) 的点。

② 行程问题：拖动水速，让两段时间相等

船在静水中每小时行 \(20\) km，顺流行 \(72\) km，逆流行 \(48\) km。拖动水速 \(v\)，看两段用时怎么变；两根条一样长时，\(v\) 就是方程 \(\dfrac{72}{20+v}=\dfrac{48}{20-v}\) 的解。

③ 进阶：工程问题，合作几天、乙要几天

接例 3：甲队单独要 \(24\) 天，先干 \(4\) 天，再和乙队合干 \(t\) 天。拖动 \(t\) 和乙单独需要的天数 \(x\)，看总工作量是不是正好等于 \(1\)。

④ 章末活动：自选四数，探究比例的性质

比例是两个比相等，记作 \(a:b=c:d\)，即 \(a/b=c/d\)，先要求 \(b,d\ne0\)。\(a,d\) 叫外项，\(b,c\) 叫内项。自选四数，自己算比值和两项积，再探究变形；样本只能启发猜想。

请填整数、小数（最多4位）或分数，分母写正整数，每个整数最多8位。数字中间不要留空格，首尾和分数线两侧可以留空格。可用全角数字和负号“−”，不要填算式、指数或单位。四个参数的绝对值不超过20，约分后分母不超过100。

变形约定：交换内项是把 b 与 c 交换后重新组成两个比；两比都倒置是每个比的前后项对调；合比是两前项相加作新前项、两后项相加作新后项，与原来左边的比比较；合比再倒置是把合比和原来左边的比都倒过来。先自己写出变形，再查新分母。

本轮记录（换四数保留旧样本，输入只存本页内存，刷新清除）：

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. 下面哪个是分式方程？

B。只有 B 的分母 \(x+1\) 含未知数。A、D 的分母是数；C 的分母 \(a\) 是已知数，不是未知数。它们都是整式方程。

2. 解方程 \(\dfrac{4}{x}=\dfrac{3}{x-1}\)，结果是？

A。两边乘 \(x(x-1)\)，得 \(4(x-1)=3x\)，\(4x-4=3x\)，\(x=4\)。检验：\(4\times3=12\ne0\)，所以 \(x=4\) 是原方程的解。B 是交叉乘错了：\(4x=3(x-1)\)；C 是 \(4\) 只乘了 \(x\)：\(4x-1=3x\)，而且 \(x=1\) 会让分母为 \(0\)；D 不对，方程有解。

易错

3. 方程 \(\dfrac{2}{x-3}-1=\dfrac{x+1}{x-3}\) 去分母，正确的是？

提示

两边乘 \(x-3\)。\(-1\) 没有分母，乘完是什么？右边分子 \(x+1\) 要不要整体保留？

B。\(-1\) 乘 \(x-3\) 得 \(-(x-3)\)。A 漏乘了 \(-1\)；C 去括号时 \(-3\) 没变号（应是 \(2-x+3\)）；D 把右边分子 \(x+1\) 抄丢了 \(1\)。接着解：\(2-x+3=x+1\)，\(x=2\)，检验 \(2-3=-1\ne0\)，原方程的解为 \(x=2\)。

4. 解 \(\dfrac{x}{x-4}=2+\dfrac{4}{x-4}\) 时，小明去分母得 \(x=2(x-4)+4\)，解得 \(x=4\)。他把 \(x=4\) 代入 \(x=2(x-4)+4\)，两边都是 \(4\)，就写“原方程的解为 \(x=4\)”。正确的看法是？

提示

检验应该代入哪里？\(x=4\) 时，原方程的分母是多少？

B。代入去分母后的整式方程，两边当然相等，那等于没检。代入最简公分母 \(x-4\)，得 \(0\)，原方程分母为 \(0\)，所以原方程无解。C 以为“无解”就是算错了：去分母那一步没错，方程本来就无解。

5. 一道分组问题，设每组有 \(x\) 人，列出分式方程后解得 \(x=7.5\)，代入最简公分母不为 \(0\)。下面说法正确的是？

提示

应用题的“检”要检两样：是不是方程的解？符不符合实际？

B。最简公分母不为 \(0\)，说明 \(7.5\) 是这个方程的解；但人数不能是 \(7.5\)，所以要回头检查是不是读错题、列错式。A 只检了第一样；C 把“是方程的解”和“符合实际”混在了一起。

挑战

6. 甲、乙两地相距 \(120\) km，客车和货车同时从甲地出发开往乙地，客车速度是货车的 \(1.5\) 倍，结果客车比货车早到 \(40\) 分钟。货车每小时行多少千米？

提示 1：单位先统一

速度用 km/h，时间就要用小时：\(40\) 分钟 \(=\tfrac{40}{60}=\tfrac23\) 小时。

提示 2：列方程

设货车速度为 \(x\) km/h，客车 \(1.5x\) km/h。货车用时 \(-\) 客车用时 \(=\tfrac23\)。

A。\(\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{1.5x}=\dfrac23\)，即 \(\dfrac{120}{x}-\dfrac{80}{x}=\dfrac23\)，两边乘 \(3x\)：\(360-240=2x\)，\(x=60\)。检验：\(3x\ne0\)，速度为正，符合实际。（货车 \(2\) 小时，客车 \(90\) km/h 用 \(\tfrac43\) 小时，正好早 \(40\) 分钟。）B 是客车的速度，看清问的是谁；C 是把 \(40\) 分钟当成了 \(0.4\) 小时：\(\tfrac{40}{x}=0.4\)；D 是单位没统一，直接写 \(\tfrac{40}{x}=40\)。

本节中考真题

共 27 道，含 10 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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本节精选

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分式方程几乎是中考必考：填空题考解方程，解答题考列方程解应用题。做完看解析，留意每道题的“检验”怎么写。

本章测验

这一章学完了，用 12 道题整体检查一下。整套提交后看解析，答错的题进入错题本。

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