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八年级上册 · 第十五章 轴对称

15.2 画轴对称的图形

上一节“看”轴对称，这一节动手“画”：给一个图形和一条直线，画出它的另一半。抓住一句话就够了——对称点的连线被对称轴垂直平分。放进坐标系，这句话变成了坐标的规律。

本节导读　先修：15.1 图形的轴对称、平面直角坐标系 · 本节路线

要用到：对称点的连线被对称轴垂直平分（回看 15.1）；点的坐标、用坐标表示平移（回看 9.1、9.2）。

  1. 从方格纸补全图形进入：对称点在哪一格？
  2. 画一个点的对称点：作垂线、找垂足、截等长。
  3. 画一个图形的对称图形：只画关键点，按原来的顺序连。
  4. 坐标系里关于 \(x\) 轴、\(y\) 轴对称的点，坐标怎么变。
  5. 用坐标画对称图形；分清“平移”和“对称”。
  6. 练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。

美术课上要剪一棵对称的小松树，纸上只画了左半边，竖直虚线是对称轴。点下面的按钮，看怎么把右半边找出来：

图中点 \(A\) 在对称轴左边 \(5\) 格、离底线 \(3\) 格高。补全时，\(A\) 的对称点应该画在哪里？

A。沿竖直的对称轴折过去，高低不变；离轴多远，翻过去还离轴多远。选 B 是从 \(A\) 数起，结果落在轴上；选 D 是把 \(A\) 到轴的 \(5\) 格又多数了一倍；选 C 把左右、上下都翻了，相当于先关于竖直的对称轴、再关于底线连续对称两次。

这里用到的正是 15.1 的结论：对称点的连线垂直于对称轴，并被它平分。这一节要回答：对称轴是斜的怎么画？在坐标系里，对称点的坐标有什么规律？

1. 先认识几个词：画一个点关于直线的对称点

前置提醒：直线 \(l\) 垂直平分对称点 \(P\)、\(P'\) 的连线（回看 15.1）。反过来用这句话，就是画法。对称轴是斜线时，方格数不出来，要用三角尺。点下面三步：

直觉微图解 ①三步画出 \(P\) 关于斜线 \(l\) 的对称点

核心概念 ②两个要点

画出来的图形和原图形全等；每对对称点的连线都被对称轴垂直平分。画完拿这两条检查。

核心概念 ③一个点在对称轴上

折叠时它不动，它的对称点就是它自己。比如三角形有一个顶点在 \(l\) 上，对称三角形也经过这个顶点。

2. 核心点：只画关键点，按原来的顺序连

对称点找对了，还要连对。四边形 \(ABCD\) 的对称图形必须按 \(A'\to B'\to C'\to D'\to A'\) 连，换了顺序就成了别的图形。

直觉微图解 ②同样四个点，连的顺序不同

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

直线 \(l\) 斜着穿过纸面，\(\triangle ABC\) 的顶点 \(C\) 恰好在 \(l\) 上，\(A\)、\(B\) 在 \(l\) 的同一侧。画出 \(\triangle ABC\) 关于 \(l\) 对称的图形。

ABC=C′A′B′O₁O₂l

\(C\) 在对称轴上，所以 \(C'=C\)。先作垂线找 \(O_1\)、\(O_2\)，再在另一侧截等长，最后按顶点顺序连接；不能把斜轴对称画成水平平移。

① 读懂题意：要画的是一个三角形。最少要找几个点？有没有哪个点不用找？

提示 1：哪个点不用找

\(C\) 在对称轴上，它的对称点就是它自己。只需找 \(A'\)、\(B'\)。

基础示范（可收起）
② 想办法：对 \(A\)、\(B\) 分别用三步法：作垂线、找垂足、截等长。
③ 执行：过 \(A\) 作 \(l\) 的垂线，垂足 \(O_1\)，在另一侧截取 \(O_1A'=O_1A\)；同样得 \(B'\)。连接 \(A'B'\)、\(B'C\)、\(CA'\)，\(\triangle A'B'C\) 就是所求。
执行中检查：\(AA'\) 和 \(BB'\) 都垂直于 \(l\)，所以它们所在的直线平行或重合（\(A\)、\(B\) 到 \(l\) 的垂足相同时重合）；量一量 \(A'B'\) 是否等于 \(AB\)。

④ 回头看：对称轴斜着时最容易犯的错，是把点“水平”或“竖直”地搬到另一边。搬的方向必须是垂直于对称轴的方向。

自己试试：对称轴 \(l\) 是一条斜线，小明画点 \(P\) 的对称点时，从 \(P\) 水平向右画到 \(l\)，再继续向右画同样长，得到点 \(Q\)。\(Q\) 是 \(P\) 的对称点吗？

C。对称点的连线必须垂直于对称轴，水平线和斜线 \(l\) 不垂直，所以 \(Q\) 不对。只有对称轴是竖直线时，水平方向才正好垂直于它。“动手”③可以拖着看两者差多远。

3. 核心点：坐标系里，关于坐标轴对称的点

在坐标系里取几个点，画出关于 \(x\) 轴、\(y\) 轴的对称点，把坐标列出来比一比：

直觉微图解 ③点 \(P(3,2)\) 的几个对称点

\((x,y)\ \xrightarrow{\text{关于 }x\text{ 轴对称}}\ (\underbrace{x}_{\text{不变}},\ \color{#B5452F}{\underbrace{-y}_{\text{相反数}}})\qquad (x,y)\ \xrightarrow{\text{关于 }y\text{ 轴对称}}\ (\color{#B5452F}{\underbrace{-x}_{\text{相反数}}},\ \underbrace{y}_{\text{不变}})\)

关于哪条坐标轴对称，那条轴对应的坐标不变，另一个坐标变成相反数。记的时候先在脑子里翻一下：关于 \(x\) 轴是上下翻，左右位置（横坐标）不动。

例 2（示范）

点 \(M(-4,\,1.5)\)。写出它关于 \(x\) 轴、关于 \(y\) 轴的对称点的坐标。

提示：先想位置，再写坐标

\(M\) 在第二象限。关于 \(x\) 轴翻下去，到第几象限？关于 \(y\) 轴翻过去呢？

看完整示范
想位置：关于 \(x\) 轴：上下翻，到第三象限，横坐标还是 \(-4\)。关于 \(y\) 轴：左右翻，到第一象限，纵坐标还是 \(1.5\)。
写坐标：关于 \(x\) 轴的对称点 \((-4,\,-1.5)\)；关于 \(y\) 轴的对称点 \((4,\,1.5)\)。
检查：\((-4,1.5)\) 和 \((-4,-1.5)\) 的连线是竖直的，垂直于 \(x\) 轴，中点 \((-4,0)\) 在 \(x\) 轴上 ✓。

自己试试：点 \(N(4,-5)\) 关于 \(x\) 轴对称的点的坐标是：

B。关于 \(x\) 轴，横坐标 \(4\) 不变，纵坐标 \(-5\) 变成 \(5\)。选 A 是把“关于 \(x\) 轴”误解成“\(x\) 变号”；选 C 是两个都变了号。

再试一个：点 \(A(2a-1,\,3)\) 与点 \(B(5,\,b+1)\) 关于 \(y\) 轴对称，则 \(a\)、\(b\) 的值是：

D。关于 \(y\) 轴对称：横坐标互为相反数，\(2a-1=-5\)，\(a=-2\)；纵坐标相等，\(b+1=3\)，\(b=2\)。选 A 是让两个坐标都相等；选 B 是让两个坐标都互为相反数；选 C 用成了关于 \(x\) 轴对称的规律。

4. 核心点：用坐标画对称图形，分清平移和对称

在坐标系里画一个多边形的对称图形：先按规律写出各顶点的对称点坐标，描点，再按原来的顺序连。反过来，看到一个图形各顶点坐标的变化，也能判断它是怎么得到的：

直觉微图解 ④三角形各顶点的坐标这样变，图形怎么动？

例 3（示范）

四边形 \(ABCD\) 的顶点为 \(A(-5,1)\)、\(B(-1,1)\)、\(C(-2,4)\)、\(D(-4,3)\)。画出它关于 \(y\) 轴对称的四边形，写出各顶点坐标。

看完整示范 xyO-4-22424ABCDA′B′C′D′

每小格是1个单位。左图依次连接 \(ABCD\)，右图依次连接 \(A'B'C'D'\)；每对点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于 \(y\) 轴翻折后重合。

写坐标：横坐标变相反数，纵坐标不变：\(A'(5,1)\)、\(B'(1,1)\)、\(C'(2,4)\)、\(D'(4,3)\)。
描点连线：按 \(A'B'C'D'\) 的顺序连起来。检查：\(AB\) 长 \(4\)，\(A'B'\) 也长 \(4\)；原图在 \(y\) 轴左边，新图在右边，像照镜子 ✓。

回头看：如果把四边形“向右平移 \(6\) 个单位”，坐标是 \((x+6,y)\)，图形朝向不变；关于 \(y\) 轴对称是 \((-x,y)\)，图形左右颠倒。

5. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）关于 \(x\) 轴对称，把 \(x\) 变了号
❌ 典型错解：\(P(1,4)\) 关于 \(x\) 轴的对称点是 \((-1,4)\)。
✅ 看图秒懂：\((-1,4)\) 是左右翻过去的点，那是关于 \(y\) 轴对称。关于 \(x\) 轴是沿 \(x\) 轴上下翻，横坐标不动：\((1,-4)\)。
翻车现场 ②点都对了，连接顺序乱了
❌ 典型错解：画出 \(A'\)、\(B'\)、\(C'\)、\(D'\) 后，看哪两个点近就连哪两个。
✅ 一眼看清：原图怎么连，对称图形就怎么连：\(AB\) 对应 \(A'B'\)，\(BC\) 对应 \(B'C'\)……画完量一量对应边，应该一样长。
翻车现场 ③斜对称轴“照着搬”
❌ 典型错解：对称轴是斜线，却把点水平（或竖直）地挪到轴的另一边。
✅ 一眼看清：搬的方向必须垂直于对称轴。先用三角尺过点作 \(l\) 的垂线，再截等长。
再深一点（可跳过）：关于一条竖线作对称点

直线m过 \((1,0)\) 且平行y轴。画出 \((4,2)\) 关于m的对称点，写出坐标。先数格子，不用记公式。

想好后看解释

直线 \(m\) 经过点 \((1,0)\) 并且平行于 \(y\) 轴。点 \((4,2)\) 关于 \(m\) 的对称点在哪里？在方格纸上画一画：\((4,2)\) 在 \(m\) 右边 \(3\) 格，对称点就在 \(m\) 左边 \(3\) 格、同一高度，是 \((-2,2)\)。这类问题现在只要会在图上数格子画出来，不用记公式。

① 方格纸上画对称三角形

拖动 \(A\)、\(B\)、\(C\)（或点一下再用方向键），每次一格；选对称轴是竖线还是横线。浅色是原三角形，红色是它的对称图形。

② 坐标系里拖动点 \(P\)

拖动 \(P\)，每次一个单位。\(P_1\) 是 \(P\) 关于 \(x\) 轴的对称点，\(P_2\) 是关于 \(y\) 轴的对称点。

③ 进阶：斜对称轴，“垂直着搬”和“水平照搬”差多少？

拖动 \(P\)；拖动直线上的绿点转动对称轴。红点 \(P'\) 是用三步法画的对称点，灰点 \(Q\) 是水平照搬的错误位置。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. 点 \((-2,7)\) 关于 \(y\) 轴对称的点的坐标是：

C。关于 \(y\) 轴：横坐标变相反数，纵坐标不变。A 是关于 \(x\) 轴的对称点；B 两个都变了号。

2. \(\triangle ABC\) 的顶点为 \(A(1,1)\)、\(B(4,1)\)、\(C(2,3)\)。画出它关于 \(x\) 轴对称的 \(\triangle A'B'C'\)，点 \(C'\) 的坐标是：

A。关于 \(x\) 轴：横坐标 \(2\) 不变，纵坐标 \(3\) 变成 \(-3\)。\(\triangle A'B'C'\) 在第四象限，\(A'(1,-1)\)、\(B'(4,-1)\)。

易错

3. 点 \(P(3,-4)\) 关于 \(x\) 轴对称的点的坐标是：

提示

关于 \(x\) 轴是上下翻。\(P\) 在第几象限？翻过去到第几象限？

B。\(P\) 在第四象限，上下翻到第一象限，横坐标不变：\((3,4)\)。A 是把“关于 \(x\) 轴”当成“\(x\) 变号”（翻车现场 ①）；C 是两个都变号。

4. 点 \(M(a,b)\) 与点 \(N(-a,-b)\)（\(a\)、\(b\) 都不为 \(0\)），下列说法正确的是：

提示

取 \(a=2\)，\(b=3\) 试一试：\((2,3)\) 先关于 \(x\) 轴对称得到什么点？再关于 \(y\) 轴对称呢？

C。\((a,b)\to(a,-b)\to(-a,-b)\)。两个坐标都变了号，既不是关于 \(x\) 轴、也不是关于 \(y\) 轴对称；\(M\)、\(N\) 到 \(x\) 轴的距离都是 \(\lvert b\rvert\)，D 不对。顺带一提：单看一个点，\(M\) 当然也能“挪”到 \(N\)；但对整个图形作平移时，所有点的横坐标都加同一个数、纵坐标也都加同一个数，而 \((x,y)\to(-x,-y)\) 对不同的点加的数不同，所以图形的这种变化不是平移。

5. 对称轴 \(l\) 是一条斜线，画点 \(P\) 关于 \(l\) 的对称点，正确的做法是：

提示

对称点的连线和对称轴是什么关系？

A。对称点的连线垂直于对称轴并被它平分。B、C 只有对称轴分别是竖直线、水平线时才对（翻车现场 ③）；D：离 \(l\) 一样远的点有无数个，只有在垂线上的那一个才是。

挑战

6. 点 \(P(m-1,\,2m+4)\) 关于 \(x\) 轴对称的点在第四象限，则 \(m\) 的取值范围是：

提示 1：先写出对称点

关于 \(x\) 轴：\((m-1,\,-2m-4)\)。

提示 2：第四象限的点

横坐标为正、纵坐标为负，列出不等式组。

A。对称点 \((m-1,\,-2m-4)\) 在第四象限：\(m-1>0\) 且 \(-2m-4<0\)，即 \(m>1\) 且 \(m>-2\)，公共部分是 \(m>1\)。也可以想：对称点在第四象限，\(P\) 就在第一象限。选 C 是把两个坐标都变了号，写成 \((1-m,\,-2m-4)\)，解得 \(-2<m<1\)；选 D 是把横坐标变了号，写成 \((1-m,\,2m+4)\)，解得 \(m<-2\)；选 B 是漏了横坐标那个不等式。

本节中考真题

共 12 道，含 6 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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本节精选

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关于坐标轴对称的点，是中考填空、选择的常客。

一试延伸（入门 F1–F2）

学有余力可以试试竞赛入门。下面的一试专题（限定 F1–F2 入门梯度）可以直接从本节出发：

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