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六年级下册 · 第三单元 圆柱与圆锥 · 第 6 课

解决问题（圆柱与圆锥综合）

回想五年级把石头放进水里的办法：水量不变，占着的位置变了。

本节路线导读

核心问题：取出物体后，怎样从水面变化找到体积？

先修：圆锥的体积 · 初中衔接：立体图形的展开与观察。

先用旧办法猜一猜 → 动手换几组验证 → 说清理由 → 分步看例题 → 自己练一练。

查看本课概念与易错卡

本单元按旧版教材编排。

一个圆柱形的玻璃缸里有水，水里沉着一个圆锥形的铅锤。铅锤完全浸没在水里。把铅锤拿出来（没有带走水），水面会怎样？

把铅锤拿出水面后，缸里的水面（ ）。

铅锤原来占了一块体积，取出来水面就下降。下降的那一层水的体积，正好等于铅锤的体积。

回想把石头放进水里的办法。

1. 取一取：水面降了多少

玻璃缸底面半径 5 cm，底面积 3.14 × 5 × 5 = 78.5 cm²。铅锤原来完全浸没在水中，取出时不带走水，水也没有溢出。铅锤的底面半径是 3 cm，调节高，再取出铅锤，比较两次水面。也可以改变玻璃缸的底面半径。

先猜同一个铅锤放在更宽的缸里，取出后水面下降得更多还是更少。调缸半径 4、5、7 cm 验证；每次先放回，再取出，比较两次水面。

自己试试

水面下降的那一层水，它的体积等于（ ）。

形状变了，体积不变：下降的水的体积 = 铅锤的体积。

从旧办法想出新办法

  1. 圆锥完全浸没时占了一块空间。取出时不带走水，水也没有溢出，水本身的体积没有变。
  2. 两次水面之间的一层空间是圆柱，体积等于取走的圆锥体积。它的底面积是容器底面积。
  3. 这层空间的体积 = 容器底面积 × 下降高度。先求圆锥体积，再除以容器底面积，就得到下降高度。

形状变了，体积不变；先想要求的是面积还是体积，再想用哪几个量，最后别忘了圆锥要乘三分之一。

两个容易错的地方

✗ 水面下降量用铅锤的底面去除 拿铅锤体积除以铅锤的底面积。
✓ 除以玻璃缸的底面积 下降的是玻璃缸里的一层水，它的底面是玻璃缸的底。
✗ 面积和体积混着用 “做桶要用多少铁皮”当成体积，“桶装多少水”当成表面积。
✓ 铁皮是面积，水是体积 铁皮是面，用 cm²；水占空间，用 cm³。

先自己想，再逐步展开提示

圆柱形容器底面积 50 cm²。一个底面积 15 cm²、高 10 cm 的实心圆锥完全浸没其中。取出时不带走水，水无溢出，水面下降多少厘米？

① 读懂题意

先画出两次水面间的一层，底面与容器的底一样大。

② 列式与理由

圆锥体积：15 × 10 ÷ 3 = 50（cm³）；下降高度：50 ÷ 50 = 1（cm）。

③ 检验与易错点

用 50 × 1 = 50（cm³）还原这层空间，正好等于圆锥体积。不要除以圆锥的底面积 15 cm²。

自己试试

算“下降了几厘米”时，用铅锤体积除以（ ）。

下降的水是一层圆柱，它的底面是玻璃缸的底，所以：下降的高度 = 铅锤体积 ÷ 玻璃缸底面积。

直接用

1. 玻璃缸的底面积是 78.5 cm²，有一个体积是 94.2 cm³ 的圆锥铅锤，原先完全浸没在水中。把它取出（没有带走水），水面下降多少厘米？

敞口底面积 78.5 cm²取出完全浸没的圆锥 94.2 cm³

94.2 ÷ 78.5 = 1.2（cm）。

2. 把一块底面积 30 cm²、高 9 cm 的圆柱形钢材，熔铸成一个底面积也是 30 cm² 的圆锥，这个圆锥的高是多少厘米？

圆柱圆锥熔铸前后底面积均为 30 cm²圆柱高 9 cm示意图，不按比例

体积 30 × 9 = 270（cm³）。圆锥：270 = × 30 × h，所以 h = 270 × 3 ÷ 30 = 27（cm）。

容易错

3. 要做一个无盖的圆柱形水桶，下面两个问题分别是求（ ）。“要多少铁皮”“能装多少水”

敞口无盖的圆柱形水桶

铁皮是围成桶的面，是面积；水占着桶里的空间，是体积。

4. 一个底面积 20 cm² 的圆柱形杯子里装着水，水深 8 cm。把一个圆锥形铁块完全浸没放进水里（水没有溢出），水深变成 9 cm。这个铁块的体积是多少立方厘米？

敞口底面积 20 cm²放入圆锥后水深：8 cm → 9 cm

升高的水的体积 = 铁块体积 = 20 × (9 − 8) = 20（cm³）。

想一想

5. 一个圆柱的体积是 120 cm³，与它等底等高的圆锥体积比圆柱少多少立方厘米？

圆柱圆锥等底等高圆柱体积 120 cm³

圆锥体积 120 ÷ 3 = 40（cm³），少 120 − 40 = 80（cm³）。

6. 把一块圆柱形钢材熔铸成一个圆锥形零件，它的体积（ ）。

圆柱圆锥圆柱熔铸成圆锥示意图，不按比例

熔铸只是换了形状，钢材的多少没有变，体积不变。

独立作品与方法诊断

独立完成：画出、记录并解释

本任务按旧版教材编排，具体学习安排请听老师说明。建议范围拓展，版本要求仍待核。π取3.14。①半径2厘米、高5厘米的圆柱，上面连接同底半径、高3厘米的圆锥，两者内部不重叠。画示意，求总体积。②半径3厘米、高8厘米的实心圆柱，从上面挖去同底半径、高6厘米的圆锥形孔（孔完全在圆柱内），求剩余体积。③若只给两立体各自体积，却未说明它们是否重叠，能否直接相加求组合体积？解释条件。

先独立作答。画板为方格示意，不代表实际厘米；要求圆规、量角器、直尺的部分请在纸上实作并记录尺寸。可用触控笔或鼠标作画；纸上完整作品也需保留供老师检查。

键盘作图：聚焦画板后用方向键移动，空格开始一笔，再按空格结束；Shift加方向键微调，Esc取消当前笔画。

作答只在当前页面保留，刷新前请保留纸上作品。本任务需老师核对作品与说理，不会自动记为已掌握。

草稿：请完成作品和说明后提交。

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