培玉 · 小学数学← 返回主页六年级下册 · 第三单元 圆柱与圆锥 · 第 5 课
圆锥的体积
先猜次数，逐次倒满一杯水验证，再换大小比较。
本节路线导读
核心问题：等底等高的圆锥杯，要倒几次才装满圆柱杯？
先修：圆柱的体积 · 初中衔接：立体图形的展开与观察。
先用旧办法猜一猜 → 动手换几组验证 → 说清理由 → 分步看例题 → 自己练一练。
本单元按旧版教材编排。
有一个圆柱形杯子和一个圆锥形杯子，它们的底一样大，高也一样高。
把圆锥杯装满水，倒进圆柱杯，要倒几次才能把圆柱杯倒满？先猜一猜。
圆锥杯里的水，倒几次能把圆柱杯倒满？
真倒一倒就知道：正好 3 次。下面用教具看一看。
先想圆柱能装多少，再猜另一个杯子。
1. 倒一倒：圆锥是圆柱的几分之几
点“倒一次”，把圆锥里的水倒进圆柱。先保持两个杯子底一样大、高一样高，逐次倒水并记录。换一组大小再试，最后试试圆锥更矮的情况。
先用共同半径 3 cm、共同高 6 cm，逐次倒；再试半径 2 cm、共同高 9 cm。两组都观察后，再点“圆锥矮一半”，猜次数会不会变。
等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱的（ ）。
圆锥的体积 = 与它等底等高的圆柱的 ，所以圆柱是圆锥的 3 倍。
从旧办法想出新办法
- 用内部底面积相等、内部高度相等的圆柱杯和圆锥杯做实验。每次把圆锥杯装满再倒入，不漏水。
- 换几组共同的半径和高，仍是 3 杯圆锥的水装满圆柱。用实物做倒水实验，再对照模型看看圆锥和圆柱的体积有什么关系。
- 等底等高圆柱体积是 Sh，圆锥占它的三分之一，所以圆锥体积 = Sh ÷ 3。比较两个物体时，要先核对底和高是否相等。
圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的三分之一，V = Sh = × 3.14 × r × r × h。
两个容易错的地方
先自己想，再逐步展开提示
一个圆锥形沙堆，底面积 24 m²，高 3 m。它的体积是多少立方米？
① 读懂题意
想象一个与它等底等高的圆柱，先求这个圆柱的体积。
② 列式与理由
圆柱体积：24 × 3 = 72（m³）；圆锥体积：72 ÷ 3 = 24（m³）。
③ 检验与易错点
圆锥应比等底等高圆柱小。24 × 3 = 72，三堆这样的沙合起来才与那个圆柱同体积。
圆锥的高只有圆柱的一半（底一样大），倒水时（ ）。
圆锥矮一半，体积只有等底等高圆锥的一半，是圆柱的 ，要倒 6 次。所以“3 次”是等底等高时的结果；底和高变了，就要分别算出两个体积再比。
直接用
1. 一个圆锥的底面积是 30 cm²，高是 6 cm，体积是多少立方厘米？
V = × 30 × 6 = 60（cm³）。
2. 圆锥的底面半径是 3 cm，高是 5 cm，体积是多少立方厘米？（π 取 3.14）
V = × 3.14 × 3 × 3 × 5 = 141.3 ÷ 3 = 47.1（cm³）。
容易错
3. 等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是 90 cm³，圆锥的体积是多少立方厘米？
90 ÷ 3 = 30（cm³）。
4. 一个圆锥的体积是 36 cm³，底面积是 12 cm²，它的高是多少厘米？
因为 V = Sh，所以 h = 3V ÷ S = 3 × 36 ÷ 12 = 9（cm）。
想一想
5. 一堆圆锥形的沙子，底面半径是 3 m，高是 2 m。这堆沙子的体积是多少立方米？（π 取 3.14）
V = × 3.14 × 3 × 3 × 2 = 56.52 ÷ 3 = 18.84（m³）。
6. 等底等高的圆柱体积是圆锥体积的（ ）倍。
圆锥是圆柱的 ，所以圆柱是圆锥的 3 倍。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 29.3 弧长和扇形面积小学认识圆柱与圆锥的底面和侧面展开图并掌握体积公式，初中在此基础上用弧长与扇形面积公式严格推导圆锥侧面积 S侧=π rl 与全面积。