培玉 · 小学数学← 返回主页先降后涨变了多少
先降价 50%，再涨价 50%，价格能回到原来吗？连续两次涨降，怎样一步一步算才不出错？
本节路线导读
同样的百分数，两次变化后会怎样？先用学过的一次涨降估一估，再把两次变化分开算。
- 想一想：先猜价格能否回到原来。
- 摆一摆：换幅度、换顺序，观察每次的基准。
- 讲道理：说清两次百分数各是谁的百分之几。
- 看例题：分步算，再用原价检查。
- 练一练：独立解决连续涨降问题。
商场的“数学魔术”：价格变了没有？
一款护眼台灯在店庆时先降价 50% 促销；活动结束后，商家又宣布在促销价的基础上再涨价 50%。
以前算一次降价，要先找原价这个单位“1”。现在多了一次涨价：你猜最后是低于、等于还是高于原价？先说理由，再逐步验证。
先保留你的猜想，再点第一步。
为什么同样是 10%，降下去和涨回来的金额却不一样多？
核心机密：两次的单位“1”完全不同！降价 10% 是以 100 元为基数（降了 100 × 10% = 10 元）；涨价 10% 却是在 90 元的基础上算（只涨了 90 × 10% = 9 元）！降了 10 元只涨回 9 元，现价当然比原价低！
1. 假设原价是 100 元：看清每次以谁为标准
先把原价设成 100 元。拖动幅度滑块，或切换原来的四种方案。试 5%、15%、30%：每次先猜最终价格，再看两次变化分别按哪个价格计算。
自己试试：幅度为 0% 时怎样？先降后涨与先涨后降，最终价格相同吗？换两个非零幅度再检查你的发现。
如果反过来：一件衣服“先提价 10%，再降价 10%”，现价与原价相比（ ）。
根据乘法交换律：1 × (1 + 10%) × (1 − 10%) = 1.1 × 0.9 = 0.99！结果依然是 99%，同样比原价便宜了 1%！
同样的 50%，为什么没有抵消？
先用刚才试过的 5%、15%、30% 说发现：最终价格与原价怎样比较？再用容易口算的 50% 解释原因。
- 第一次的单位“1”是 100 元，降去 100 × 50% = 50 元，剩 50 元。
- 第二次的单位“1”是 50 元，涨回 50 × 50% = 25 元。相同的百分数，基准变小，得到的金额也变小。
- 50 + 25 = 75 元，比原价少 25 元；25 ÷ 100 = 25%。若调到 0%，两次都没有变化，仍是 100 元。
所以每次都要重新找单位“1”：第二次按第一次变化后的价格算。本节验证了：当两次幅度是同一个非零百分数时，先降再涨、先涨再降都会比原价低；不能把这个发现套到任意两次变化上。
连续两次涨降百分比问题，第二次变化是以第一次变化后的结果为新的单位“1”；设原价为 100 分步连乘，绝不能把百分率直接相加减。
两个容易错的地方
例题 · 每一步都找基准
一个书架原价 200 元，先降价 15%，随后在降价后的价格上提价 15%。现价是多少元？比原价低百分之几？
先画三格：原价 → 第一次后 → 第二次后。每格先自己算，需要时再看提示。
① 读懂题意：两次分别按谁计算？
第一次按原价 200 元降价；第二次按降价后的价格提价。两个 15% 的单位“1”不同。
② 分步列式：先算剩下，再算涨后
第一次后：200 × 85% = 170（元）。第二次后：170 × 115% = 195.5（元）。也可连写成 200 × 0.85 × 1.15。
③ 检验：和原价相比，差了多少？
先降 30 元，后涨 25.5 元，少涨回 4.5 元。现价 195.5 元低于 200 元；4.5 ÷ 200 = 2.25%。把原价换成 100 元验证，仍低 2.25%。
一台电风扇原价 480 元，连续两次降价 10%。现价多少元？
480 × 90% = 432（元）；432 × 90% = 388.8（元）。第二次是按 432 元降价。
直接用
1. 某种商品先提价 10%，再降价 10%。现价比原价（ ）。
1 × (1 + 10%) × (1 − 10%) = 1.1 × 0.9 = 0.99 = 99%，比原价便宜了 1 − 99% = 1%。
2. 一件玩具原价 100 元，先涨价 10%，再降价 10%。现在的价格是多少元？
100 × (1 + 10%) × (1 − 10%) = 100 × 1.1 × 0.9 = 99（元）。
容易错
3. 一款笔记本电脑原价 3600 元，在促销活动中连续两次降价 10%。这款电脑的现价是多少元？
3600 × (1 − 10%) × (1 − 10%) = 3600 × 0.9 × 0.9 = 2916（元）。
4. 8 月初鸡蛋价格比 7 月初上涨 10%，9 月初又比 8 月初降价 10%。9 月初鸡蛋价格与 7 月初相比（ ）。
1 × 1.1 × 0.9 = 0.99 = 99%，比 7 月初跌了 1%。
想一想
5. 一款滑板车原价 200 元，连续两次打八折销售。现在的售价是多少元？
200 × 80% × 80% = 200 × 0.8 × 0.8 = 128（元）。
6. 甲、乙两家商店同款商品原价都是 500 元。甲店先降价 20% 再提价 20%，乙店价格一直没变。现在去哪家店买更合算？
甲店现价 = 500 × 0.8 × 1.2 = 480（元）；乙店原价 500 元。480 < 500，甲店更合算！
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 5.3 实际问题与一元一次方程小学百分数的意义与求一个数比另一个数多（少）百分之几的数量关系，是初中一元一次方程中产值增长率、浓度配比应用题的直接来源。