一步一步想
外方内圆中，正方形面积是 28 cm²，圆面积是多少？
第 1 步 读懂题意：已知正方形面积，未给边长。不必先求边长。
第 2 步 列式：正方形面积是 4r²，所以 r² = 28 ÷ 4 = 7；圆面积 3.14 × 7 = 21.98（cm²）。
第 3 步 检查：圆在正方形里面，21.98 小于 28。若是外圆内方，应由 2r² 求 r²，不能混用。
卡住时，先看这一点
用两个三角形的面积说明正方形面积是几倍 r²。
培玉 · 小学数学← 返回主页六年级上册 · 第四单元 圆 · 第 6 课
外方内圆与外圆内方
方里套圆、圆里套方，圆和正方形的面积有什么关系？
三角形的面积不一定要先求出所有边长。现在边长不好求，能不能改找直径，把图形分成三角形？
一扇正方形的窗框里，做了一个尽量大的圆形窗。圆的直径和正方形的边长有什么关系？
对。正方形里最大的圆，碰到正方形的四条边，直径就等于边长。这样的设计叫“外方内圆”；反过来，圆里面一个最大的正方形，叫“外圆内方”。
先猜圆与正方形的面积关系会不会随大小改变。分别试半径 1 cm、2 cm、3 cm，再用滑块选一个新半径；每次先自己算，再看读数。
1. 阅读理解
“外方内圆”：正方形和它内部最大的圆。“外圆内方”：圆和它内部最大的正方形。要研究的是：圆面积是正方形面积的几分之几。
2. 分析解答：假设半径，列表
不知道半径，就先假设半径是 1 cm、2 cm、3 cm，再换成任意的 a cm。面积里的 π 先不乘出来，写成 π、4π、9π……
外方内圆：正方形的边长是直径 2r，面积 = 2r × 2r = 4r²。
外圆内方：正方形的边长算不出来，可是它的对角线就是直径。点“切成两个三角形”：每个三角形底 2r、高 r，面积是 r²；正方形面积 = 2r²。
比较表里圆与正方形的面积：圆面积除以正方形面积，各得到什么？换一个半径再算，结果会改变吗？请用含 π 的最简分数表示。
自己试试
外方内圆中，圆的半径是 3 cm。正方形的面积是多少？
C。边长 = 直径 = 6 cm，面积 6 × 6 = 36（cm²），就是 4r² = 4 × 9。
3. 回顾反思：叠起来看
把两种图叠在一起：圆外面一个大正方形，里面一个小正方形。点“叠起来转一转”，把小正方形转一下。
转过来以后，大正方形四个角上的三角形，正好和小正方形分成的四块一样大：大正方形的面积是小正方形的 2 倍（4r² 和 2r²）。
自己试试
外方内圆中，圆面积是正方形面积的几分之几？
A。πr² ÷ 4r² = π ÷ 4，大约是 0.785，圆占了正方形的一大半。
为什么不用先求正方形的边长？
- 外方内圆：边长就是直径 2r，所以正方形面积是 2r × 2r = 4r²；圆面积是 πr²。
- 外圆内方：沿对角线分成两个三角形，每个底 2r、高 r。两个面积合起来是 2r × r ÷ 2 × 2 = 2r²。
- 半径换了，两种面积都含同一个 r²。圆面积分别除以正方形面积，r² 可以约去，得到 π ÷ 4 和 π ÷ 2。用新的半径再检查。
外方内圆，圆面积是正方形面积的 π4；外圆内方，圆面积是正方形面积的 π2。不管圆多大都这样。
两句关键话：“外方内圆，正方形的边长就是圆的直径。”“外圆内方，正方形的对角线就是圆的直径，分成两个三角形来算。”
两个容易错的地方
✗ 外圆内方，把正方形的边长当成直径
边长比直径短。
✓ 对角线才是直径
正方形面积 = 2r²。
✗ 外方内圆，正方形面积 28 cm²，先求边长
什么数乘自己等于 28？求不出来，卡住了。
✓ 不求边长，直接求 r²
正方形 = 4r²，r² = 28 ÷ 4 = 7，圆面积 = 3.14 × 7 = 21.98（cm²）。
自己试试
外圆内方中，正方形面积为 18 cm²，r² 是多少？
用两个三角形的面积说明正方形面积是几倍 r²。 答案是 9。
直接用
外方内圆中，圆的半径是 5 cm。用 π 表示，圆的面积是多少？
B。π × 5² = 25π（cm²）。正方形是 100 cm²，25π 正好是 100 的 π4。
外方内圆中，正方形的面积是 64 cm²。圆的面积是多少平方厘米？
r² = 64 ÷ 4 = 16，圆面积 3.14 × 16 = 50.24（cm²）。也可以：边长 8 cm，半径 4 cm，3.14 × 4² = 50.24。
接上题：涂色部分（正方形里、圆外面的四个角）的面积是多少平方厘米？
64 − 50.24 = 13.76（cm²）。
外圆内方中，圆的半径是 5 cm。正方形的面积是多少平方厘米？
沿对角线（直径）切成两个三角形：每个 10 × 5 ÷ 2 = 25，正方形 25 × 2 = 50（cm²），就是 2r²。
容易错
外圆内方中，圆面积是正方形面积的几分之几？
B。πr² ÷ 2r² = π ÷ 2，大约是 1.57：圆比里面的正方形大。
外圆内方中，圆的半径是 3 cm。里面正方形的面积是多少？
C。2r² = 2 × 9 = 18（cm²）。
想一想
外圆内方中，里面正方形的面积是 32 cm²。圆的面积是多少平方厘米？
r² = 32 ÷ 2 = 16，圆面积 3.14 × 16 = 50.24（cm²）。不用求正方形的边长。
古代铜钱外面是圆，中间有个小方孔，方孔的四个角碰不到外面的圆。能不能直接说“圆面积是方孔面积的 π2”？
B。结论只对“圆和它内部最大的正方形”成立，正方形四个角要正好碰到圆。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 29.1 圆的有关概念小学认识圆心、半径、直径及圆的轴对称性，为初中理解弦、弧、等圆与垂径定理打下直观基础。
- 初中 · 29.3 弧长和扇形面积小学掌握的圆周长 C=2π r 与圆面积 S=π r²，按圆心角占 360° 的比例拆分即推导出初中的弧长公式与扇形面积公式。