圆环和组合图形面积

以前算组合图形，会用大图减小图，也会移一块补缺口。圆形的铁片能不能沿用这些办法？

一个铁垫圈，外面是圆，中间挖去一个小圆。要算出铁片的面积，怎么算？

对。两个圆心相同、大小不同的圆之间的部分，叫作圆环。圆环面积 = 外圆面积 − 内圆面积。

先固定外半径 5 cm，把内半径依次改成 1 cm、2 cm、3 cm。洞越大，剩下的铁片怎样变？再固定内半径，改变外半径验证。

1. 圆环：外圆减内圆

外圆半径用 R，内圆半径用 r。改一改两个半径，看三个面积怎么变。

两种算法：

① 分开算：3.14 × R² − 3.14 × r²

② 合起来算：3.14 × (R² − r²)　　（乘法分配律）

括号里先平方，再相减。点教具里的“看看错的算法”：先减再平方，只算出一个小圆。

题目给的是直径，先除以 2 求半径。把内圆拖离中心，剩下的面积还是一样，算法不变。

自己试试

一个圆环，外圆半径 4 cm，内圆半径 2 cm。圆环的面积是多少平方厘米？

3.14 × (4² − 2²) = 3.14 × (16 − 4) = 3.14 × 12 = 37.68（cm²）。

2. 组合图形：移一移，补一补

这个图形上面凸出一个半圆，下面凹进一个一样大的半圆。把上面的半圆平移下去试试。

再看这个：大半圆的左边挖掉一个小半圆，右下又拼上一个一样大的小半圆。把小半圆绕大半圆的圆心 O 转半圈。

平移、旋转都不会改变面积。先想一想：这个图形可以变成哪个学过的图形？

半圆和圆也常常出现：半圆面积 = 圆面积 ÷ 2，圆面积 = 圆面积 ÷ 4。

先认整块，再认挖掉的部分

把中间的洞补回去，圆环和内圆恰好组成外圆，所以圆环面积等于外圆面积减内圆面积。
两圆各自求面积：πR² − πr²。用乘法分配律合写为 π × (R² − r²)，两个半径要各自先平方。
组合图形中的一块若能平移或旋转去补同样大的缺口，面积不变。先找相同的半圆，再判断补成了什么图形。

圆环面积 = 外圆面积 − 内圆面积；组合图形先拆、移、补，变成学过的图形再算。

说的时候照这样说：“把（上面的半圆）平移到（下面），就变成了一个（长方形）。”

两个容易错的地方

✗ R = 5，r = 3：3.14 × (5 − 3)²

= 3.14 × 4 = 12.56，只是一个半径 2 的小圆。

✓ 3.14 × (5² − 3²) = 50.24

先平方，再相减：25 − 9 = 16，3.14 × 16 = 50.24。

✗ 半径增加 1 m，面积增加 3.14 × 1² 算成了一个半径 1 m 的小圆。

✓ 增加的是一个圆环 新圆面积 − 原来的圆面积。

一步一步想

外圆半径 5 cm、内圆半径 3 cm 的垫圈，面积是多少？

第 1 步　读懂题意：算有铁片的部分，洞里的面积不计入。

第 2 步　列式：3.14 × (5² − 3²) = 3.14 × (25 − 9) = 50.24（cm²）。

第 3 步　检查：外圆 78.5 cm²，内圆 28.26 cm²，两者相减也得 50.24 cm²；结果应小于外圆面积。

卡住时，先看这一点

两个半径分别平方，再相减。

自己试试

圆环外半径 3 cm，内半径 1 cm，面积是多少平方厘米？

两个半径分别平方，再相减。答案是 25.12。

直接用

一个圆环形的玉佩，外圆直径 12 cm，内圆直径 8 cm。玉佩的面积是多少平方厘米？

半径 6 cm 和 4 cm：3.14 × (6² − 4²) = 3.14 × 20 = 62.8（cm²）。

一块半圆形的桌布，半径 6 dm。它的面积是多少平方分米？

3.14 × 6² ÷ 2 = 113.04 ÷ 2 = 56.52（dm²）。

院子的两面墙成直角。一只羊拴在墙角的木桩上，绳长 4 m（如图）。羊在院子里能吃到草的地方有多大（平方米）？

能吃到的是个圆：3.14 × 4² ÷ 4 = 12.56（m²）。

容易错

一个圆形花坛半径 3 m，在它外面修一条宽 1 m 的环形小路。小路的面积是多少平方米？

外圆半径 3 + 1 = 4（m）：3.14 × (4² − 3²) = 3.14 × 7 = 21.98（m²）。

这个图形上面凸出一个半圆，下面凹进一个同样大的半圆（如图）。它的面积是多少平方厘米？

把上面的半圆平移到下面，就是一个长 6 cm、宽 4 cm 的长方形：6 × 4 = 24（cm²）。

大圆里挖去一个小圆，小圆不在大圆的正中间。剩下部分的面积怎样算？

A。挖去的小圆在哪儿都一样，减去它的面积就行。

想一想

上图是一块跑道形草坪：中间是长 10 m、宽 6 m 的长方形，两头各是一个半圆。草坪的面积是多少平方米？

两个半圆合起来是半径 3 m 的圆：10 × 6 + 3.14 × 3² = 60 + 28.26 = 88.26（m²）。

沿这块草坪的边围一圈护栏，护栏长多少米？

两条直边 10 + 10 = 20（m），两条弯边合起来是直径 6 m 的圆周长 3.14 × 6 = 18.84（m），一共 38.84 m。

独立作品与方法诊断

独立完成：画出、记录并解释

π取3.14，独立画出图形并给所求区域加斜线，说明用加法还是减法。①长10厘米、宽6厘米的长方形，在宽边外接一个直径6厘米的半圆（内部不重叠），组合面积多少？②边长10厘米的正方形内挖去直径10厘米的圆，余下面积多少？③一个长12厘米、宽6厘米的长方形，两端各去掉一个直径6厘米、完全位于长方形内且内部不重叠的半圆，剩余面积多少？

先独立作答。画板为方格示意，不代表实际厘米；要求圆规、量角器、直尺的部分请在纸上实作并记录尺寸。可用触控笔或鼠标作画；纸上完整作品也需保留供老师检查。

键盘作图：聚焦画板后用方向键移动，空格开始一笔，再按空格结束；Shift加方向键微调，Esc取消当前笔画。

①面积（平方厘米） ②面积（平方厘米） ③面积（平方厘米）我的步骤、记录和理由

作答只在当前页面保留，刷新前请保留纸上作品。本任务需老师核对作品与说理，不会自动记为已掌握。

草稿：请完成作品和说明后提交。