培玉 · 小学数学← 返回主页只知道两队各自修完的天数，不知道步道有多长，也能求出合修时间吗？
不知道路有多长，怎么算出两队合修要几天？
公园要修建一条樱花步道。甲工程队单独修，10 天能修完；乙工程队单独修，15 天能修完。如果两队同时从两端相向合修，多少天可以修完？
以前知道总长时，可以先算每天各修多少米。先假设步道长 150 米，再换成 300 米看看。
两种假设下，每天修的米数变了。先猜：合修时间会跟着变吗？
先用常理想一想：甲队自己修都只要 10 天，现在乙队还来帮忙一起修，两队合修需要的天数一定（ ）。
合修时间一定比任何一队单独修的时间都短！那假如步道长 150 米、300 米，或者直接看作单位“1”，算出来的天数一样吗？去“摆一摆”验证！
换总长假设，拖动合修时间
先在纸上预测 150 米和 300 米两种假设下的合修时间。拖动“已合修时间”，观察两端的色块何时接上；再拖动“假设全长”，核对你的猜想。
自己试试：依次用 150 米、300 米和 600 米计算。每次先求两队每天合修多少米，再求修完要几天。别急着看结论，先用一句话说出：哪些数变了，哪个结果没变？
① 假设全长 150 米：甲每天修 150 ÷ 10 = 15 米，乙每天修 150 ÷ 15 = 10 米。合作时间是 150 ÷（15 + 10）= 6 天。
② 换成 300 米的假设：甲每天 30 米，乙每天 20 米，合作时间是 300 ÷（30 + 20）= 6 天。再试 600 米，得到 600 ÷（60 + 40）= 6 天。
③ 这些是假设同一项工作用不同数值表示总量。假设总长变成原来的几倍，按各自独做天数算出的每天米数也变成几倍，所以相除后的天数不变。不是实际增加工作量，却仍让两队每天修原来那么多。
④ 既然每次都是甲每天完成全长的 、乙每天完成全长的 ，就可以把整项工作看作单位“1”。每天合做 + = ，修完要 1 ÷ = 6 天。
先用具体米数算，再把整项工作看作“1”，两种办法都在用工作总量 ÷ 每天合做的工作量。
解决合作工程问题，可以把工作总量看作单位“1”，先用几分之一表示各自的工作效率，再用“1 除以工作效率之和”求出合作时间。
整理一批图书，甲单独做需 6 小时，乙单独做需 12 小时。两人一直以各自的速度合作，整理完这批图书要多少小时？
把全部图书看作“1”。甲每小时整理全部的 ，乙每小时整理全部的 ；两人同时做，每小时完成的量可以相加。
每小时合做 + = ，所以 1 ÷ = 4（小时）。答：合作需要 4 小时。
甲 4 小时完成 ，乙完成 ，合起来正好是“1”。4 小时也少于任何一人独做的时间，符合最初的估计。
一批抗旱物资，用甲车单独运，6 次能运完；用乙车单独运，3 次能运完。如果两辆车一起运，多少次能运完这批物资？
1 ÷（ + ）= 1 ÷ = 2（次）。
1. 甲车从 A 城到 B 城要行驶 2 小时，乙车从 B 城到 A 城要行驶 3 小时。两车同时分别从两城出发相向而行，几分之几小时后相遇？
把全程看作“1”：1 ÷（ + ）= 1 ÷ = （小时）。
2. 电影院放映厅有甲、乙两个出口。单独开甲出口，观众全部离场要 6 分钟；单独开乙出口要 4 分钟。两个出口同时开放，观众全部离场需要多少分钟？（填小数）
1 ÷（ + ）= 1 ÷ = = 2.4（分钟）。
3. 修一条长 2400 米的水渠，甲队单独修 8 天完成，乙队单独修 12 天完成。求两队合修几天完成，下面哪个算式是错误的？（ ）
C 把具体的“2400 米”和单位“1”的分率效率“ + ”混搭在一起了，算出 11520 天显然荒谬！
4. 一批零件，师傅单独做需要 3 小时完成，徒弟单独做需要 6 小时完成。如果师徒两人合作，多少小时可以完成这批零件的 ？（看清工作量不是 1，而是 ！）
要完成的工作量是 ，合作效率是 + = ，所需时间 = ÷ = （小时）。
5. 植树队种一批树，甲队单独种要 12 天，乙队单独种要 10 天。现在两队合种，6 天能种完吗？（ ）
1 ÷（ + ）= （天），小于 6 天，所以 6 天一定能种完！
6. 小明和爷爷在环形跑道散步，小明走一圈要 8 分钟，爷爷走一圈要 10 分钟。两人同时同地出发，相背而行，几分之几分钟后首次相遇？
把跑道一圈看作“1”：1 ÷（ + ）= 1 ÷ = （分钟）。
甲独做一项工程需8天，乙独做需12天，效率各自保持不变。①假设总量为24米，求每天各做多少及合作时间。②另假设总量为48米，重新算一次。③把工程总量看作1，列式求合作时间；解释为何换总量假设，答案不变（只改变计量单位，不改变同一工程的完成时间）。
作答只在当前页面保留，刷新前请保留纸上作品。本任务需老师核对作品与说理，不会自动记为已掌握。
草稿：请完成作品和说明后提交。
设24米：甲3米/天，乙2米/天，24÷(3+2)=4.8天。设48米：甲6米/天，乙4米/天，48÷(6+4)=4.8天。设1：1÷(八分之一+十二分之一)=1÷二十四分之五=4.8天。总量与按该假设表示的两人工作效率同时按相同比例变化，相除的结果不变；不是随意增加真实工作量而效率不变。
请老师逐项看图、复核记录与理由。未达到的部分先修改，再独立做一次。
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：