五年级上册 · 第六单元多边形的面积 · 第 7 课

格点多边形的面积

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画在方格纸上的格点多边形，能不能只靠数点求出面积？要数哪些点，又怎样算？

本节路线导读

选学：用长方形和三角形的面积，能发现数点的规律吗？先用学过的方法猜一猜，再动手核对，最后解释理由、试做例题。

先修：三角形的面积初中衔接：格点图形与面积探究

神奇的钉子板与点阵游戏：

在方格纸上把线擦去，只留下横竖均匀分布的交点，就成了格点点阵（相邻两点间距为 1 cm）。

看图找学过的图形

所有顶点都刚好落在点阵交点上的多边形，叫作格点多边形。本课研究的图形边不交叉、内部没有孔洞；每小格边长 1 cm，下面算出的面积都以 cm² 为单位。不用尺子量高和底，光凭“数点”能不能直接算出面积？

要通过数点求面积，我们需要分别数出哪两种点？

先把内部格点 N与边上格点 L分开记录。下一步用三种学过的图形查一查，它们和面积有什么关系。

动手移：形状变了，点数怎样变？

先用面积公式算初始的 2 × 2 正方形，再分别数内部点 N 和边上点 L。选一个顶点，用滑块、方向键或拖动圆点改变形状，比较面积与点数。每小格边长按 1 cm 计，面积单位是 cm²。

自己试试：先说猜想，再看读数。

初始是 2 × 2 正方形。先算面积、数点并记录 S、N、L，再点“揭示”核对。
选顶点 2，把横向位置从 5 移到 6；再选顶点 3，也从 5 移到 6，得到 3 × 2 长方形。先预测再记录 S、N、L，试着找共同的算式。无效的移动会被挡住；点“重来”可恢复正方形。

先数点、算面积，再看规律（选学）

先用已学公式求面积，再数点。边长 2 cm 的正方形：S = 4 cm²，内部 N = 1，边上 L = 8；边界点包括顶点和边中间的点。
再看 3 cm × 2 cm 长方形：S = 6 cm²，N = 2，L = 10；底 4 cm、高 2 cm 的直角三角形：S = 4 cm²，N = 1，L = 8。
依次算 S − N，得到 3、4、3；依次算 L ÷ 2 − 1，也得到 3、4、3。于是猜想：S = N + L ÷ 2 − 1。
这条规律称为皮克定理。这些例子是观察与核对，不是一般证明。这里限于顶点在格点上、边不交叉、没有孔洞的多边形；每小格边长 1 cm，面积单位是 cm²。

皮克定理（Pick's Theorem）：
S = N + L ÷ 2 - 1
- N：内部格点数（完全在图形肚子里的点）
- L：边上格点数（落在多边形各条边上的点，包括所有顶点）

格点多边形的面积等于内部格点数加边上格点数的一半，再减 1（S = N + L ÷ 2 - 1）。

用数点公式算出的面积，可以怎样核对？

壮壮：边长 2 cm 的正方形，内部有 1 个格点，边上有 8 个格点。用数点公式算：1 + 8 ÷ 2 - 1 = 4（cm²），和 2 × 2 算出的面积一样。

老师：还可以切换到长方形、三角形，各用已学过的面积公式核对一次。使用数点公式时，先算边上格点数 ÷ 2，再加内部格点数，最后减去 1。

两个容易错的地方

✗ 数边上格点 L 时只数顶点 漏掉了四条边线段中间穿过的格点。

✓ 顶点和边中间穿过的格点都要数进 L 顺着边界走一圈，凡是压在边线上的格点全都要数进去。

✗ 算完 N + L ÷ 2 忘记“减 1” 即使内部没有点（N = 0），最后也必须减 1。

✓ 牢记三步：内点 N ＋边点一半－ 1 每道题算完都检查一遍末尾有没有减 1。

先试着列式，再逐步看提示

选学：3 cm × 2 cm 的格点长方形，怎样用数点公式求面积，并用旧方法核对？

① 读懂题意

沿边走一圈，每个顶点只数一次。边上 L = 10，内部 N = 2。

② 列式与理由

先算边点的一半：10 ÷ 2 = 5；再算 2 + 5 − 1 = 6（cm²）。

③ 回头检查

用长方形面积 3 × 2 = 6 核对，结果相同。再换一个三角形核对；多核对几个例子也不代替一般证明。

自己试试

一个格点多边形，内部有 3 个格点（N = 3），边上有 8 个格点（L = 8）。它的面积是多少？

代入皮克公式：S = N + L ÷ 2 - 1 = 3 + 8 ÷ 2 - 1 = 3 + 4 - 1 = 6！

直接用

1. 一个格点多边形内部没有格点（N = 0），边上有 6 个格点（L = 6）。它的面积是（）。

S = 0 + 6 ÷ 2 - 1 = 3 - 1 = 2。

2. 皮克定理求格点多边形面积的公式是（）。

标准公式为 S = N + L ÷ 2 - 1。

容易错

3. 一个格点多边形内部有 5 个格点（N = 5），边上有 10 个格点（L = 10）。它的面积是多少？

S = 5 + 10 ÷ 2 - 1 = 5 + 5 - 1 = 9。

4. 一个格点图形内部有 2 个点（N = 2），边上有 12 个点（L = 12）。它的面积是多少？

S = 2 + 12 ÷ 2 - 1 = 2 + 6 - 1 = 7。

想一想

5. 一个格点多边形的面积是 8，边上有 6 个格点（L = 6）。它内部有多少个格点？

由 8 = N + 6 ÷ 2 - 1 = N + 2，可得 N = 8 - 2 = 6（个）。

6. 一个格点多边形面积是 11，边上有 8 个格点（L = 8）。它内部有多少个格点？

S = N + 8 ÷ 2 - 1 = N + 3 = 11，所以 N = 11 - 3 = 8（个）。

独立做一做 · 选学：从图独立数点

先独立完成再提交核对。本次作品仅在本页临时保留，刷新即清空，不计入学习记录。

这是选学任务。图中每个格点间距为 1 厘米，四边形没有交叉或孔洞。请独立数出内部格点与边界格点，边中间的格点也要数，再求面积。不要只数顶点。

数点图

观察图形后完成下面的数值或说明，不需要描图。

内部点 N 全部边界点 L 面积（平方厘米）

往后学 · 初中数学

把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：

初中 · 20.1 勾股定理及其应用小学平行四边形、三角形、梯形的割补拼图与等积变形方法，正是赵爽弦图与毕达哥拉斯拼图证明勾股定理的核心工具。

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