五年级上册 · 第六单元多边形的面积 · 第 3 课

三角形的面积

平行四边形的面积会算了。三角形能不能也拼成学过的图形？先猜，再动手试。

本节路线导读

能把三角形转化成会算面积的图形吗？先用学过的方法猜一猜，再动手核对，最后解释理由、试做例题。

先修：平行四边形的面积初中衔接：三角形的面积与等底等高

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三角形彩旗的面积怎么求？

运动会上的三角彩旗是三角形。我们学过长方形和平行四边形的面积，能不能把三角形也转化成学过的图形呢？

需要线索时，看两块怎样摆

想一想：如果拿两块完全一样的三角形，一块倒转去拼，一块的面积会占拼成图形的几分之几？先选一选，再去下一步操作。

拼出的平行四边形面积和其中一个三角形的面积是什么关系？

平行四边形由两个完全相同的三角形拼成，因此一个三角形的面积正好是拼成的平行四边形面积的一半！

动手倍拼：把两个完全一样的三角形拼成平行四边形

拖动“旋转拼合”到 180°，看第二块怎样转过去。再换底、高和三角形种类，核对是不是都能拼成平行四边形。

自己试试：先说猜想，再看读数。

保持底 6 cm、高 3 cm，分别试锐角、直角、钝角三角形，转到 180°。每次拼成图形的底、高变了吗？
再试底 4 cm、高 2 cm 和底 8 cm、高 5 cm；先猜一块的面积，再拼合核对。说说为什么都要除以 2。

为什么一个三角形要除以 2？

旧办法：平行四边形面积是底 × 高。为一个三角形准备另一块完全一样的三角形，只转动、不拉伸。
把第二块转到 180°，两块不重叠地拼成平行四边形。沿下边看，拼成图形的底仍是原底 a；两条平行边间的距离仍是原高 h。
锐角、直角、钝角三角形都试一遍，再换底和高。它们都能这样拼，拼成面积都是 a × h；两块一样大，所以原来一块是 a × h ÷ 2。
几个例子帮我们发现规律；上面的拼法说明了为什么成立。钝角三角形的高可能落在底的延长线上，仍须与底垂直。

三角形的面积等于底乘高除以 2（S = ah ÷ 2），底和高必须互相垂直对应，等底等高的三角形面积相等。

发现规律：平行线间等底等高的三角形面积一定相等！

这三个三角形形状完全不同（直角、锐角、钝角），但因为它们的底相等、高也相等，所以面积完全相等！

两个容易错的地方

✗ 算三角形面积忘记“除以 2” 直接用底 × 高，算出来的是两个三角形拼成的平行四边形面积，整整大了一倍！

✓ 牢记 S = ah ÷ 2（反求高或底要先 × 2） 求面积最后一定要除以 2；反过来已知面积求高或底，要先用面积 × 2！

✗ 底和高没有垂直对应就乱乘 高 4 cm 垂直于底边 10 cm，不能拿去乘斜边 8 cm。

✓ 认准直角符号，选对应的底和高 哪条边上有直角记号，那条边才是对应这条高的底。

先试着列式，再逐步看提示

一块三角形装饰板，底 12 cm，对应的高 7 cm，面积是多少？

① 读懂题意

找与底 12 cm 垂直的高 7 cm。先猜：一块面积应小于 12 × 7。

② 列式与理由

两块一样的板能拼成底 12 cm、高 7 cm 的平行四边形。先算 12 × 7 = 84，再取一半：84 ÷ 2 = 42（cm²）。

③ 回头检查

42 × 2 = 84，正好回到两块的总面积；若答 84，就算了两块。

自己试试

一面三角形航海信号旗的底是 80 cm，对应的高是 45 cm。它的面积是多少平方厘米？

代入公式：S = ah ÷ 2 = 80 × 45 ÷ 2 = 1800（cm²）。记住一定要除以 2！

直接用

1. 一个直角三角形，两条直角边分别是 6 cm 和 8 cm。它的面积是（）cm²。

直角三角形的两条直角边互相垂直，互为底和高：S = 6 × 8 ÷ 2 = 24（cm²）。

2. 一个三角形底是 14 dm，高是 5 dm。它的面积是多少平方分米？

S = 14 × 5 ÷ 2 = 35（dm²）。

容易错

3. 一个三角形的底边长 10 cm，一条斜边长 8 cm，垂直于 10 cm 底边的高是 6 cm。这个三角形的面积是（）cm²。

计算三角形面积必须选择互相垂直对应的一组底和高：高 6 cm 对应底 10 cm（斜边 8 cm 是多余干扰数据），S = 10 × 6 ÷ 2 = 30（cm²）。

4. 如图，两条平行线间有 3 个三角形，3 个三角形的底都在同一条平行线上（都是 4 cm），对角顶点都在另一条平行线上。这 3 个三角形的面积（）。

平行线间的垂直距离处处相等（高相同），底也都是 4 cm，等底等高，因此面积完全相等。

想一想

5. 一个三角形面积是 30 cm²，底是 12 cm。这条底对应的高是多少 cm？

因为 S = ah ÷ 2，所以高 h = 2S ÷ a = 2 × 30 ÷ 12 = 60 ÷ 12 = 5（cm）。先乘 2 再除以底！

6. 一个三角形面积是 24 dm²，高是 6 dm。这个三角形的底是多少 dm？

底 a = 2S ÷ h = 2 × 24 ÷ 6 = 48 ÷ 6 = 8（dm）。

独立做一做 · 等底等高，形状也相同吗

先独立完成再提交核对。本次作品仅在本页临时保留，刷新即清空，不计入学习记录。

下面两幅三角形共用同一条底边，两顶点都在上方与底边平行的线上，每格边长 1 厘米。观察图形，填写两个面积并判断形状是否一定相同。图中只给图形，没有给你算好的面积。

图①

观察图形后完成下面的数值或说明，不需要描图。

图②

观察图形后完成下面的数值或说明，不需要描图。

图①面积（平方厘米）图②面积（平方厘米）仅因等底等高，形状就一定相同吗说明这里什么保持不变、什么可以改变。

往后学 · 初中数学

把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：

初中 · 20.1 勾股定理及其应用小学平行四边形、三角形、梯形的割补拼图与等积变形方法，正是赵爽弦图与毕达哥拉斯拼图证明勾股定理的核心工具。

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