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五年级上册 · 第六单元 多边形的面积 · 第 6 课

估计不规则图形面积

叶子、湖面这样的不规则图形,面积怎样估计?被边缘切开的格子又该怎么数?

本节路线导读

数方格的旧办法,怎样用来估计曲边图形? 先用学过的方法猜一猜,再动手核对,最后解释理由、试做例题。

先修:组合图形的面积初中衔接:面积估计与误差

一片银杏叶的面积怎么算?

落叶、湖泊、手掌印……它们的边缘曲曲折折,不是学过的规则多边形。怎样知道它们的面积大约有多大?

叶片轮廓

把叶子平铺在方格纸上描出轮廓,就能用方格网来估计它的面积!

先用旧知想一想
满格:能确定边缘格:怎么估?

数方格时,对于那些被边缘切开、只有一部分在叶子里的格子,通常怎么处理?

本课的估计办法:完全在内部的满格记为 1 格;被边缘切开的不满整格先统一按半格(0.5 格)估计!

动手估:轮廓变了,格数怎样变?

先逐行数整格和不满格,写下估计,再点“揭示”核对。拖动“轮廓形变”换个形状,重新估一估;当前每格面积写在图下方。

方法 ①:数方格(满格 + 半格)
先数完全在轮廓内的整格,再数被边缘切开的不满格。用“满格数 + 不满格数 ÷ 2”估计折合格数,再乘当前每格面积。格网变细后,每格面积也会改变。

方法 ②:看成大小接近的基本图形
也可以在纸上描下轮廓,画一个大小接近的长方形或平行四边形,量底和高作比较。两种办法都只是估计;不满格按半格算,不表示每个都恰好占一半。

自己试试:先说猜想,再看读数。

  1. 先点“重来”,数一数未上色的图;写下满格数和不满格数,再点“揭示”核对。哪些不满格按半格算会偏多,哪些会偏少?
  2. 保持轮廓不变,把“格网边长”从 1 调到 0.5,再估一次。格子更细时,每格面积也变小了,不能只比较格数。

不满一格,为什么先按半格估?

  1. 先回到面积的意思:图形占了多少个单位方格。满格能直接数;边缘有的只占一点,有的几乎占满。
  2. 如果把边缘格全丢掉会少算,全算满格又会多算。先把每个不满格暂按半格,是把这些大小不一的部分合起来估计,并非每个都恰好一半。
  3. 先求折合格数:满格数 + 不满格数 ÷ 2;再乘每格面积。例如同样折合 20 格,每格 1 cm² 时约 20 cm²,每格 4 cm² 时约 80 cm²。
  4. 还可把轮廓看成大小接近的平行四边形作比较。两种办法都要写大约;结果接近也不能说明其中一个是精确面积。

估计不规则图形的面积,可以数方格(满格按 1 格算,不满格按半格算),也可以看成近似的规则图形来算。

两个容易错的地方

✗ 把不满格直接当 1 整格相加,或者全丢掉 全当整格算会明显偏大,全丢掉只算满格又会明显偏小。
✓ 满格数 + 不满格数 ÷ 2 不满格先按半格(除以 2)折算,得到的是面积的估计值。
✗ 忽略每小格代表的实际面积 当每格面积是 4 cm² 时,数出总格数后忘记乘 4。
✓ 先算折合几格,再乘每格面积 看清题目中“每小格代表多少平方厘米或平方米”。

先试着列式,再逐步看提示

一片叶子在方格纸上占满格 18 个、不满格 10 个,每格 2 cm²。面积大约多少?

① 读懂题意

先看每格代表 2 cm²。暂不换单位,先算折合几格。

② 列式与理由

不满格折合 10 ÷ 2 = 5(格);共 18 + 5 = 23(格);面积约 23 × 2 = 46(cm²)。

③ 回头检查

只数满格是 36 cm²,全算满格是 56 cm²,46 在两者之间。它仍是估计值,答句保留“大约”。

自己试试

一个水坑轮廓在方格纸上(每格 1 m²),数出满格 20 个,不满格 14 个。这个水坑面积大约是多少?

满格加半格:20 + 14 ÷ 2 = 20 + 7 = 27(m²)。

直接用

1. 用边长 1 cm 的方格纸测枫叶面积,数出满格 15 个,不满格 12 个。枫叶面积大约是( )cm²。

满格:15 个不满格:12 个每格 1 cm²;仅示意计数类别

15 + 12 ÷ 2 = 15 + 6 = 21(cm²)。

2. 地图上一个人工湖(每格代表 1 km²),轮廓内满格 24 个,不满格 16 个。湖泊面积约是( )km²。

满格:24 个不满格:16 个每格 1 km²;仅示意计数类别

24 + 16 ÷ 2 = 24 + 8 = 32(km²)。

3. 测量手掌印面积(每小格 1 cm²),满格有 30 个,不满格有 20 个。手掌印面积大约是多少 cm²?

满格:30 个不满格:20 个每格 1 cm²;仅示意计数类别

30 + 20 ÷ 2 = 30 + 10 = 40(cm²)。

容易错

4. 估算不规则图形面积时,如果把所有不满格全部按照 1 整格来计算,估算结果会( )。

一个不满格的示例

不满格实际只占一部分,全部按整格算会把空白区域也计入,这里讨论边缘确有不满格的情况,补满后会偏大;偏大的程度要看空白部分有多少。

5. 一块不规则土地的形状近似平行四边形,测得底约 40 米,高约 25 米。它的面积大约是多少平方米?

约 25 米约 40 米

转化为平行四边形计算:40 × 25 = 1000(平方米)。

想一想

6. 在方格纸上(每个小方格边长是 2 cm,面积 4 cm²),一个图案满格 22 个,不满格 14 个。图案面积大约是多少 cm²?

满格:22 个不满格:14 个每格 4 cm²;仅示意计数类别

总格数折合 22 + 14 ÷ 2 = 29 格。每个格面积 4 cm²,总面积大约是 29 × 4 = 116(cm²)。

独立做一做 · 自己数格,再换实际面积

先独立完成再提交核对。本次作品仅在本页临时保留,刷新即清空,不计入学习记录。

图中每个小格的面积是 2 平方厘米。请独立数轮廓内的满格、被轮廓斜边穿过的不满格(只有边界线接触不算占一格),按“不满格约算半格”折合,再换成实际面积。图上没有预先分类或告诉格数。

独立数格图

观察图形后完成下面的数值或说明,不需要描图。

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