培玉 · 小学数学← 返回主页四年级下册 · 第五单元 三角形 · 第 6 课
多边形的内角和
三角形的三个角加起来是 180°。四边形、五边形、六边形呢？把它们分成三角形来算。
本单元按旧版教材编排。
已知一个三角形的内角和是 180°。遇到四边形、五边形，可以把新图形拆成熟悉的三角形吗？
从同一个顶点画线，把四边形分成三角形；换一个顶点，分出的个数会变吗？
从左上顶点分
先作下面的预测，再到实验台核对。
沿着一条对角线，把一张四边形的纸剪成两个三角形。每个三角形的三个角加起来都是 180°。两个三角形的角全部加在一起，是多少度？
两个三角形，180° + 180° = 360°。这 6 个角拼起来，正好就是四边形的 4 个角。
四边形的 4 个角加起来是 360°。五边形、六边形也能这样分成三角形来算，这节课我们就来试。
先猜再试：先猜换出发顶点会不会改变三角形个数。依次选四、五、六边形，拖动圆点，换出发顶点，记录分成的个数与内角和。只研究这种向外鼓、没有交叉的图形。
1. 从一个顶点画对角线
选一个多边形，拖动圆点把它变歪（角会变，形状也会变）。多边形里画出的虚线，是从同一个顶点出发的对角线，它把多边形分成了几个三角形。点“换出发顶点”，换一个顶点画。
用鼠标或手指拖动圆点；用键盘时按 Tab 选中圆点，再按方向键移动。
2. 把数填进表里
换一换边数，下面的表会跟着变。看看边数、三角形个数、内角和之间有什么关系。
三角形个数总比边数少 2 个。内角和 = 三角形个数 × 180°。
从一个顶点画对角线，把五边形分成□个三角形。
五边形从一个顶点画 2 条对角线，分成 3 个三角形，比边数 5 少 2 个。
从一个顶点画对角线，把六边形分成□个三角形。
六边形分成 4 个三角形，所以内角和是 4 × 180° = 720°。
留下三次观察
每换一种情形，点一次记录。比较后，用一句话说哪里变了、哪里没变。
先猜一猜，再动手记录。
从操作中找道理
- 从同一个顶点，向不相邻的顶点画线，把图形分成几个不重叠的三角形，没有漏下一块。
- 三角形的角拼起来，正好是原多边形的各个角，没有在内部多算一个点周围的角。
- 四、五、六边形分别分成 2、3、4 个三角形。每多一个三角形，就多一份 180°，总和可用个数乘 180° 求出。
从多边形的一个顶点画对角线，把它分成几个三角形，内角和就是三角形个数 × 180°。这样四边形是 360°，五边形是 540°，六边形是 720°。
两个容易错的地方
五边形有 5 条边，就分成 5 个三角形，内角和 5 × 180° = 900°。
从一个顶点出发，只能连不相邻的 2 个顶点。分成 3 个三角形，内角和 3 × 180° = 540°。
六边形的边数是三角形的 2 倍，内角和就是 2 × 180° = 360°。
六边形分成 4 个三角形，内角和是三角形的 4 倍，4 × 180° = 720°。
先自己想，再逐步看提示
把一个五边形从同一个顶点分成三角形，它的内角和是多少度？
1. 读懂题意
读懂题意：不是按五条边各算一份 180°，先画出不重叠的三角形。
2. 列式或判断
数图列式：从同一个顶点出发，分成 3 个三角形；3 × 180° = 540°。
3. 检查结果
检验：比四边形多分出一个三角形，内角和应多 180°。360° + 180° = 540°，与刚才相同。
自己试试
六边形分成 4 个三角形。它的内角和是多少度？再换一个出发顶点核对个数。
想好后核对
4 × 180° = 720°。换顶点仍分成 4 个三角形。
直接用
1. 从六边形的一个顶点出发，能画几条对角线？
A。6 个顶点，去掉自己和相邻的 2 个，还剩 3 个，所以画 3 条对角线。
2. 五边形的内角和是□°。
3 × 180° = 540°。
3. 一个四边形的三个角分别是 95°、110°、80°，第四个角是□°。
95° + 110° + 80° = 285°，360° − 285° = 75°。
容易错
4. 想用对角线把五边形分成几个三角形，再算内角和。哪种画法对？
A。从同一个顶点出发，分出的 3 个三角形边靠边，不重叠，不遗漏。
5. 六边形的内角和是三角形内角和的□倍。
720° ÷ 180° = 4，也就是 4 倍。六边形分成 4 个三角形。
6. 图中六边形的五个角已经标出，问号处的角是□°。
110° + 125° + 130° + 120° + 115° = 600°，720° − 600° = 120°。
想一想
7. 一张五边形的纸，沿一条直线剪掉一个角（直线不经过别的顶点），剩下的图形是六边形。这个六边形的内角和是多少？
B。剪一刀边数多了 1，变成六边形，分成 4 个三角形，4 × 180° = 720°。
8. 一个多边形的内角和是 720°，它有□条边。
720° ÷ 180° = 4，分成 4 个三角形，边数比三角形个数多 2，所以是 6 条边。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 13.2 与三角形有关的线段小学通过拼摆发现“三角形任意两边之和大于第三边”及认识三角形的高，初中将其深化为三边不等式代数化简与高、中线、角平分线的交点性质。
- 初中 · 13.3 三角形的内角与外角小学用撕拼与折纸验证三角形内角和为 180°，初中则利用平行线内错角与同位角给出严格演绎证明，并推导出外角定理。