培玉 · 小学数学← 返回主页四年级下册 · 第五单元 三角形 · 第 5 课
三角形的内角和
三角形有三个角。把三个角的度数加起来，会得到什么？拖一拖、拼一拼、算一算。
本单元按旧版教材编排。
两个直角能拼成 180° 的平角。三角形的三个角看着很不一样，能不能也拼成平角？
拖动顶点会改变三个角；把三角形拉高，先猜它们的和会不会变。
先看矮一些的
先作下面的预测，再到实验台核对。
桌上有一大一小两个三角形纸片，三个角都用量角器量出来了。把每个三角形的三个角加起来，会怎样？
我们来验证：三个角加起来的和叫内角和。下面拖一拖，看看每个三角形的内角和是多少。
先猜再试：先猜总和是否随形状变化。拖出三个不同的三角形，记录各角与总和，再看下方拼角图。读数取整只便于看数，不能代替剪拼的道理。
1. 拖动顶点，量一量
拖动三角形的三个顶点（也可以点一下顶点，用方向键移动），看三个角和它们的和。
2. 拼一拼：三个角拼在一起
把上面三角形的三个角剪下来，尖对尖、边靠边拼在一起，会拼成一个什么角？下面的图会跟着上面的三角形一起变。
三个角拼成了一条直线，是平角。平角是 180°（四年级上册学过），所以三角形的内角和是 180°。
3. 写成算式
已知三角形的两个角是 40° 和 75°，求第三个角：先把已知的两个角加起来，40 + 75 = 115，再从 180° 里减去：180 − 115 = 65（°）。也可以连着减：180 − 40 − 75 = 65（°）。
验算：40 + 75 + 65 = 180，三个角都加进来，正好是 180°。
三角形的两个角是 58° 和 71°，第三个角是多少度？
180 − 58 − 71 = 51（°）。
在上面的教具里点“钝角三角形”，再点“直角三角形”。它们的内角和也是 180° 吗？
对。不管是锐角、直角还是钝角三角形，也不管大小，内角和都是 180°。
留下三次观察
每换一种情形，点一次记录。比较后，用一句话说哪里变了、哪里没变。
先猜一猜，再动手记录。
从操作中找道理
- 量三种不同形状，三个角有大有小；量角和取整可能带来小误差，不能只凭一次测量下结论。
- 用纸剪下三个角，只平移、转动，不拉伸角。尖对尖、边靠边，恰好拼成平角。
- 平角是 180°，三个角的和也就是 180°。所以一个角变大时，另外两个角的和会变小，总和不变。
任何三角形的三个内角加起来都是 180°。知道两个角，就能用 180° 减去这两个角，求出第三个角。
两个容易错的地方
量出 51°、59°、71°，加起来 181°，就说这个三角形的内角和是 181°。
量角器读数会差一点点。把三个角剪下来拼，看起来拼成了平角（动手剪拼也会有一点小误差）。三角形的内角和就是 180°。
已知两个角 58° 和 71°，算 180 − 58 = 122（°）。
180 − 58 − 71 = 51（°）。算完用“三个角加起来是 180”检查。
先自己想，再逐步看提示
三角形的两个角是 46° 和 67°，第三个角是多少度？
1. 读懂题意
读懂题意：求的是剩下一个角，要从三个角的总和中去掉已经知道的两个角。
2. 列式或判断
列式：46 + 67 = 113（度），180 − 113 = 67（度）。
3. 检查结果
检验：46 + 67 + 67 = 180（度）。先估一估：已知两角的和超过 90°，剩下的角应小于 90°。
自己试试
若两个角分别是 35° 和 80°，第三个角是多少度？先说算式，再核对。
想好后核对
180 − 35 − 80 = 65（度）；35 + 80 + 65 = 180（度）。
直接用
1. 三角形的两个角是 47° 和 66°，第三个角是多少度？
180 − 47 − 66 = 67（°）。
2. 直角三角形的一个锐角是 34°，另一个锐角是多少度？
180 − 90 − 34 = 56（°）。直角三角形的两个锐角加起来是 90°。
3. 小明用量角器量一个三角形，量得三个角是 61°、59°、61°，加起来是 181°。这是怎么回事？
B。量角器读数难免差 1° 左右，所以量出的和会和 180° 差一点点。三角形的内角和就是 180°。
容易错
4. 等腰三角形的顶角是 36°，每个底角是多少度？
(180 − 36) ÷ 2 = 144 ÷ 2 = 72（°）。
5. 有人说一个三角形的三个角是 100°、45°、45°。这样的三角形存在吗？
B。100 + 45 + 45 = 190，超过了 180°，画不出这样的三角形。
6. 把一个小三角形的三条边都画成原来的 3 倍长，得到一个大三角形。大三角形的内角和是多少度？
180°。边变长了，角没有变，内角和还是 180°。
想一想
7. 钝角三角形有一个角是 112°，另外两个角同样大。这两个角各是多少度？
(180 − 112) ÷ 2 = 68 ÷ 2 = 34（°）。
8. 三角形的第一个角是 40°，第二个角比第一个角大 25°，第三个角是多少度？
第二个角：40 + 25 = 65（°）；第三个角：180 − 40 − 65 = 75（°）。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 13.2 与三角形有关的线段小学通过拼摆发现“三角形任意两边之和大于第三边”及认识三角形的高，初中将其深化为三边不等式代数化简与高、中线、角平分线的交点性质。
- 初中 · 13.3 三角形的内角与外角小学用撕拼与折纸验证三角形内角和为 180°，初中则利用平行线内错角与同位角给出严格演绎证明，并推导出外角定理。