培玉 · 小学数学← 返回主页四年级下册 · 第三单元 运算定律 · 第 4 课
乘法交换律和结合律
加法中换位置、换先算谁，和不变。乘法中能不能也这样做？先用圆点试一试。
本单元按旧版教材编排。
从旧方法想起：先按排数
先看图，再作下面的预测；图只示意数量关系。
礼堂里的椅子摆成 4 排，每排 7 把。管理员从侧门看过去，觉得像是 7 排，每排 4 把。椅子的总数会变吗？
对，总数不变：4 × 7 = 28，7 × 4 = 28。那三个数连着乘呢，先算哪两个？下面用教具摆一摆。
自己试试：把阵列调成 1 排、9 排各转一次。再在下面调中间的数，比较先乘前两个和先乘后两个。先说预测，再操作，最后说出哪一部分没变。
1. 排和列换一换
点“＋”“－”改变排数和每排的个数，再点“转一转”，看看积变不变。
2. 三个数连乘，先算哪两个
三个数连乘，先乘前两个和先乘后两个，积会一样吗？先猜，再调数比较；试过几组后，用箱和袋的数量关系说说为什么。
7 × (4 × 3) 和 (7 × 4) × 3，积一样吗？
对。三个数连乘，括号放在哪里只是先算谁，积不变。
图里的什么没有变？
- 圆点阵列转一个方向，排数和每排个数换了位置；每个圆点还在，因此积不变。
- 想成每袋 5 个、每箱 18 袋、共有 2 箱。先算每箱多少个，是 (5 × 18) × 2；先算一共有多少袋，是 5 × (18 × 2)。
- 两种算法都把所有箱里、所有袋里的东西数了一遍。因此只改变先算哪两个，积不变，乘号也不变。
3. 写成式子
乘法交换律：两个数相乘，交换这两个数的位置，积不变。例如 6 × 9 = 9 × 6 = 54。
乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。例如 (5 × 18) × 2 = 5 × (18 × 2) = 180。
先用交换律把好搭配的数排到一起，再用结合律先算它们，常常能凑成整十、整百、整千：
18 × 5 × 2 = 18 × (5 × 2) = 18 × 10 = 180。
乘法交换律：两个数相乘，交换位置，积不变。乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个或先乘后两个，积不变。能凑整十、整百的两个数，就先乘它们。
两个容易错的地方
3 × (12 × 5) = 3 × 12 + 3 × 5。左边是 180，右边只有 51，不相等。
3 × (12 × 5) = (3 × 12) × 5 = 180。结合只改变先算谁，符号不变。
125 × 9 × 8，直接先算 125 × 9 = 1125，再乘 8，又慢又容易错。
125 和 8 是一对：125 × 8 = 1000，再乘 9，得 9000。
先自己想，再逐步打开
计算 25 × 7 × 4，怎样先凑整？
① 读懂题意
读懂题意：三个数连乘，25 和 4 能先乘成整百。
② 列式推导
列式推导：25 × 7 × 4 = 25 × 4 × 7 = (25 × 4) × 7 = 100 × 7 = 700。先交换，再结合。
③ 检查与易错提醒
检查：25 × 7 = 175，175 × 4 = 700。三个乘数都还在，全部仍用乘法。
25 × 15 × 4 = ？先把 25 和 4 搭成一对。
25 × 15 × 4 = 15 × (25 × 4) = 15 × 100 = 1500。
直接用
1. 下面哪个等式用了乘法交换律？
A。交换律是两个数换位置，积不变。
2. 25 × 18 × 4 = ？
25 × 18 × 4 = 18 × (25 × 4) = 18 × 100 = 1800。
3. 8 × 23 × 125 = ？
8 × 23 × 125 = 23 × (8 × 125) = 23 × 1000 = 23000。
容易错
4. 下面哪个等式成立？
B。两边都是 360，只改变了先算谁。
5. (35 × 4) × 9 = 9 × (35 × 4)，这里用了哪条运算律？
A。看谁换了位置：积和 9 换了位置，所以是交换。
想一想
6. 阅览室有 2 个书架，每个书架 5 层，每层放 38 本书。一共放了多少本？
38 × 5 × 2 = 38 × (5 × 2) = 38 × 10 = 380（本）。
7. 填一填：(17 × □) × 5 = 17 × (8 × 5)，□ 里填几？
□ 是 8。两边的三个数是同一组：17、8、5，积都是 680。
8. 2 × 76 × 50 = ？先想想哪两个数搭一对好算。
2 × 76 × 50 = 76 × (2 × 50) = 76 × 100 = 7600。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 2.2 有理数的乘法与除法小学整数与分数的交换律、结合律、分配律以及倒数求法，是有理数乘除确定符号后进行简便运算与约分化简的直接基础。
- 初中 · 4.2 整式的加法与减法合并同类项 ax+bx=(a+b)x 与去括号法则的本质就是乘法分配律在含字母项上的逆用与正用。