培玉 · 小学数学← 返回主页四年级上册 · 第五单元 平行四边形和梯形 · 第 1 课
平行与垂直
纸上没碰头的两条直线，延长后还会这样吗？怎样检验是不是直角？
以前认识的直线，能向两端无限延伸。
回想后，再看研究办法
先在纸上画两条短线，再用直尺延长。只看眼前的一截，够不够？
看操场上的双杠，两根笔直的横杠向两头延伸，它们会相交碰在一起吗？
对，永远不会相交！像双杠、黑板的上下对边、铁轨这样，在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条直线互相平行。
同一平面内两条直线的位置关系有两种：相交和平行；互相垂直是相交的一种特殊情况。
1. 同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行
纸上画了三组直线。看起来都没碰头，它们真的不相交吗？点下面的按钮切换，再点“延长两端看一看”！
第 ① 组：还没延长，点“延长两端看一看”检验它们会不会碰头。
平行：在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线。直线 a 与 b 互相平行，记作 a ∥ b，读作“a 平行于 b”。
2. 特殊的相交：互相垂直
先猜：相交就一定互相垂直吗？拖动滑块，依次试 60°、90°、120°，再用三角尺的直角比一比。
相交成直角：直线 a 与 b 互相垂直（a ⊥ b），交点 O 叫垂足！
如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。
记作 a ⊥ b，读作“a 垂直于 b”。
从操作中讲清道理
- 先把第一组和第二组分别延长：有的仍不相交，有的出现交点。不能只凭纸面上没碰头就分类。
- 把两根平行的小棒一起转个方向，它们仍然平行。方向横着、竖着、斜着都不是判断的理由。
- 再把相交的角调成 60°、90°、120°，用三角尺的直角去比。只有相交成直角时，两条直线才互相垂直。
回到实验台，再换两个位置或形状检验。用自己的话说说：什么变了，什么没变？
1. 在同一个平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交 或 平行。
2. 不相交的两条直线互相平行，记作 a ∥ b。
3. 相交成直角的两条直线互相垂直，记作 a ⊥ b，交点叫垂足。
两个容易错的地方
只看纸面上短短的一截没碰头，就误以为是平行线。
用尺子延长看一看：如果延长后相交，就属于相交；永远不相交才是平行。
把垂线、平行线当成了单独一根线的名字。
必须说“a 与 b 互相垂直”“a 是 b 的垂线”，不能孤立说某一条线是垂线。
先自己想，再逐步看提示
同一张纸上，两条直线延长后相交，量得其中一个角是 60°。它们平行吗？互相垂直吗？
① 读懂题意
先看有没有交点，再看角是不是直角。
② 说明理由或列式
有交点就不能叫平行；60° 不是 90°，所以也不互相垂直。
③ 检查与易错提醒
检验：把角改成 90°，仍有交点，但这时才互相垂直。相交不一定垂直。
纸上画了两条直线，纸面上看起来没有碰头，但延长后交叉在了一起。这两条直线是什么位置关系？
A。直线可以向两端无限延伸。只要延长后相交，它们就是相交的位置关系，绝不是平行线！
如果直线 a ⊥ b，那么直线 a 与 b 相交所成的四个角都是直角，每个直角的度数是多少度？
互相垂直相交成直角，直角是 90°。
直接用
1. 下面哪一幅图展示的是两条直线互相垂直？
B。只有相交成直角（90°）的两条直线才叫互相垂直。
2. 两条直线互相垂直，在交点处一共形成了多少个直角？
两条直线相交成直角时，四个角全部是直角，一共 4 个。
3. 在正方形中，相邻的两条边是什么关系？相对的两条边是什么关系？
C。正方形的四个角都是直角，所以相邻边互相垂直（成90°）；两组对边永不相交，所以对边互相平行。
容易错
4. 下面说法中，哪一句是完全正确的？
A。“在同一个平面内”是定义平行线必不可少的前提条件。
5. 一个普通长方形的四条边中，一共有多少组互相平行的对边？
长与长一组平行，宽与宽一组平行，一共有 2 组互相平行的对边。
想一想
6. 如果在同一张纸上，直线 a 与直线 c 互相平行（a ∥ c），直线 b 与直线 c 也互相平行（b ∥ c）。那么直线 a 与直线 b 是什么位置关系？
B。在同一平面内，两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行（平行线的传递性）。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 7.2 平行线小学通过三角尺与直尺画垂线和平行线、认识点到直线的距离，初中在此基础上用同位角、内错角、同旁内角建立平行线的判定与性质定理。
- 初中 · 21.2 平行四边形小学直观认识平行四边形对边平行且相等、认识底和高，初中通过连接对角线构造全等三角形，严格证明边、角、对角线互相平分的充要条件。