数列综合 · 学习路线

检查 $3n$ 是否为特解，再令 $b_n=a_n-3n$。把下标 $n+1$ 的趋势也一起减掉。

设 $b_n=a_n-3n$。由递推，$b_{n+1}=-a_n+6n+3-3(n+1)=-(a_n-3n)=-b_n$。初值 $b_1=5-3=2$，归纳得 $b_n=2(-1{)}^{n-1}$，故 $a_n=3n+2(-1{)}^{n-1}$。$n=8$ 时指数为 $7$，所以 $a_8=24-2=22$。通项在 $n=1$ 给出 $5$；代入原递推右端得 $3(n+1)+2(-1{)}^n$，正好是下一项。递推不含除法，全部正整数下标均有唯一实数项。

减特解时，下一个下标也要同步移动；大下标求得偏差后，必须加回趋势。

原来的特解仍然成立。只重新计算 $b_1$，再按第八项的奇偶性还原。

仍令 $b_n=a_n-3n$，仍有 $b_{n+1}=-b_n$，但现在 $b_1=1-3=-2$。因此 $a_n=3n-2(-1{)}^{n-1}$，从而 $a_8=24+2=26$。首项为 $3-2=1$，与新条件一致；代回原递推也满足。两组通项的差为 $-4(-1{)}^{n-1}$，随下标奇偶变号，不能把初值差 $-4$ 原封不动加到所有后项上。

改初值通常改变齐次偏差的系数；依赖初值的部分必须重算，特解可以保留。

用两次递推消去中间项，注意第二次的非齐次项应写成 $6(n+1)+3$。

连续递推得 $a_{n+2}=-a_{n+1}+6(n+1)+3=-(-a_n+6n+3)+6n+9=a_n+6$。每一步都在合法下标范围 $n\ge 1$ 内。偏差满足 $b_{n+2}=b_n$，但原列加回的 $3n$ 在两步内增加 $6$。例如 $a_1=5,a_2=4,a_3=11$，与两步差为 $6$ 一致。更一般地，对任意正整数 $T$，$a_{n+T}-a_n=3T+2(-1{)}^{n-1}((-1{)}^T-1)$；T偶数时差为正的 $3T$，T奇数时差随n奇偶改变而不可能恒为零，所以原数列没有正整数周期。

周期性必须指明对象；还原趋势后，常常得到的是固定步数的增量关系。

新的趋势可以取 $2n$。也可直接用两次递推求 $a_{n+2}-a_n$；把奇数项与偶数项分开。

先有 $a_1=t$、$a_2=6-t$，因此所有项非负必要求 $0\le t\le 6$。连续使用原递推得 $a_{n+2}=a_n+4$。于是对任意正整数 $k$，$a_{2k-1}=t+4(k-1)$，$a_{2k}=6-t+4(k-1)$。当 $0\le t\le 6$ 时两式均非负，且每个正整数下标都属于这两类之一，故该条件充分。端点 $t=0$ 时仅首项在相应奇数类起点为零，$t=6$ 时仅第二项在偶数类起点为零；其余项不违背非负要求。所求为闭区间 $[0,6]$。此外若要求每项严格为正，条件才变为 $0<t<6$。

要把无限条件缩短到有限检查，必须先证明每一类后项怎样变化，再核各类的起点与端点。