数列的性质 · 学习路线

先解 $c=(2c+15)/5$。再分别计算 $a_{n+1}-c$ 和 $a_{n+1}-a_n$，用归纳控制符号。

不动点满足 $5c=2c+15$，故 $c=5$。递推等价于 $a_{n+1}-5=(2/5)(a_n-5)$，从 $a_1-5=-3$ 归纳得 $a_n=5-3(2/5{)}^{n-1}$。对任意有限正整数 $n$，幂严格为正，所以 $2\le a_n<5$。相邻差为 $a_{n+1}-a_n=(3/5)(5-a_n)>0$，故严格递增。分母恒为非零常数 $5$，递推唯一且始终有定义；通项在 $n=1$ 给出 $2$，代回递推也成立。每一项都严格小于 $5$，因此不存在等于 $5$ 的项。

不动点先给分界；偏差递推证明不会越界，相邻差才给出数列的增减。

保留上一题的偏差递推，重新代入初始偏差，再看相邻差的符号。

同样有 $a_{n+1}-5=(2/5)(a_n-5)$，现在 $a_1-5=3$，因此 $a_n=5+3(2/5{)}^{n-1}$。对每个正整数 $n$，$5<a_n\le 8$。于是 $a_{n+1}-a_n=(3/5)(5-a_n)<0$，数列严格递减而不穿过 $5$。首项与递推均可回代，分母恒为 $5$。映射递增只表示输入较大时输出较大；轨道的上升或下降，要比较同一次迭代的输出与输入。

递推式相同，初值位于不动点的另一侧，增减方向就可能相反。

先由 $a_2-a_1>0$ 得必要条件，再证明该条件控制所有后续相邻差。临界值单独代入。

若严格递增，必有 $a_2-a_1=(3/5)(5-t)>0$，因此 $t<5$。反过来，若 $t<5$，由 $a_n-5=(t-5)(2/5{)}^{n-1}<0$ 可知对所有 $n\ge 1$，相邻差 $(3/5)(5-a_n)>0$，故充分。$t=5$ 时所有项都等于 $5$；$t>5$ 时所有偏差为正，所有相邻差为负。三类覆盖全部实数初值，递推分母恒为非零常数，所以没有额外禁值。所求恰为 $(-\infty ,5)$。

第一步只能给必要条件；要得到全部参数，还须证明充分性并单查严格不等式的端点。

不用急于求通项。检查 $x_{n+1}-1$ 和 $x_{n+1}-x_n$，先证明每一步都能合法计算。

初值 $x_1=3>1$。若 $x_n>1$，则 $x_n+4>5>0$，下一项有定义，且 $x_{n+1}-1=4(x_n-1)/(x_n+4)>0$。归纳得全部项有定义且大于 $1$。在这个范围内，$x_{n+1}-x_n=x_n(1-x_n)/(x_n+4)<0$，所以严格递减；合起来得到 $1<x_n\le 3$。所有有限项都严格大于 $1$，不会到达它。虽然 $0$ 也是不动点，初值及不变区间已把它排除；原映射的禁值 $-4$ 也不会被轨道碰到。

换成分式后，先证递推一直有定义，再证不变范围与相邻差；这三步可以不依赖显式通项。