复数的三角形式与指数形式 · 学习路线

把虚部为零写成关于 $n\pi /8$ 的条件；落在负实轴也算。

因为模长为 $2>0$，$w^n=2^n(\cos (n\pi /8)+i\sin (n\pi /8))$。它为实数当且仅当 $\sin (n\pi /8)=0$，即 $n\pi /8=k\pi$，$k\in \mathbb{Z}$，故 $n=8k$。由 $n$ 为正整数，最小值为 $8$；此时 $w^8=2^8(\cos \pi +i\sin \pi )=-256$。$n=1,\dots ,7$ 均不满足角度条件。

角度决定是否落到实轴和正负，模长决定幂值的大小。

正实数的辐角应为 $2\pi$ 的整数倍。将上一题的半周条件改写。

$w^n$ 的模为 $2^n>0$。它为正实数当且仅当 $n\pi /8=2k\pi$，即 $n=16k$，$k\in \mathbb{Z}$。正整数中最小者是 $16$，此时 $w^{16}=2^{16}=65536$。上一题的 $n=8$ 给负值，因此不能沿用。

要求从“实数”改成“正实数”时，半周的整数倍要改成整周的整数倍。

在用 $r^n\sin (n\pi /8)=0$ 推出正弦为零之前，先看 $r^n$ 是否可能为零。

若 $r=0$，则 $w=0$，对每个正整数 $n$ 都有 $w^n=0\in \mathbb{R}$，最小者为 $1$。若 $r>0$，则 $r^n>0$，虚部为零当且仅当 $\sin (n\pi /8)=0$，由此得到 $n=8k$，最小正整数为 $8$。给出的表达式在 $r=0$ 时仍表示零，但其中写下的角不能称作零的辐角。本题只问实数；若改问正实数，$r=0$ 时则不存在这样的指数。

含零的参数题应先分类，不能把非零复数的辐角判据直接用于零。

先用代数运算求出 $q$，并检查分母。求商的模长与直接求 $z$ 的幂有什么不同？

有 $\overline{z}=5+5i\ne 0$，商有定义。将分子分母同时除以 $5$ 并有理化，$q=(1-i)/(1+i)=(1-i{)}^2/2=-i$，其模为 $1$。因此 $q^1=-i\notin \mathbb{R}$，$q^2=-1\in \mathbb{R}$，最小正整数为 $2$。完整条件为 $q^n$ 实数当且仅当 $n$ 为偶数；若要求正实数，则 $n$ 必须是 $4$ 的倍数。这里 $|z|=5\sqrt{2}$ 已在共轭商中抵消，不能额外乘上 $|z{|}^n$。

换成商后应重新计算模长和角度，确认分母非零，再判断最小指数。