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2026 年培玉原创改编高中数学竞赛 第 4 题

P011104 · 参数方程与极坐标

在极坐标系（极点为 $O$，极轴为 $Ox$，与平面直角坐标系 $xOy$ 的原点及 $x$ 轴正半轴重合）中，已知曲线 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho =4\cos \theta$，曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\rho =4\sin \theta$。

（1）求曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 的直角坐标方程，求出 $C_1$ 与 $C_2$ 的全部公共点的直角坐标，并说明为什么仅联立同角方程 $4\cos \theta =4\sin \theta$ 会漏掉极点 $O$；

（2）过极点 $O$ 作两条夹角为 $\frac{\pi }{3}$ 的射线 $\theta =\alpha$ 与 $\theta =\alpha +\frac{\pi }{3}\left(\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{6}\right)\right)$，其中射线 $\theta =\alpha$ 与 $C_1$ 交于异于 $O$ 的点 $A$，射线 $\theta =\alpha +\frac{\pi }{3}$ 与 $C_2$ 交于异于 $O$ 的点 $B$。求 $△OAB$ 面积的最大值及此时 $\alpha$ 的值。

2010 年陕西预赛 第 8 题

P010475 · 数列与函数的极限

设对任意的正整数 $n$，都有

则实数 $a=$。