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九年级上册 · 综合与实践（第二十七章后）

综合与实践 高铁列车运行中的数量关系

高铁跑得快，为什么全程平均速度总比最高速度低一截？把一趟列车拆成“加速、巡航、减速、停站”几段，用反比例函数、一元二次方程和二次函数算一算：提速能省多少时间，停一站要多花多少时间。

本节导读　先修：一次函数 · 二次函数 · 反比例函数 · 本节路线

要用到：一次函数的实际问题（回看 23.4）、一元二次方程（回看 25.3）、二次函数（回看 26.4）、反比例函数（回看 27.1、27.3）。

  1. 从“停几站”进入：平均速度为什么会被拉低？
  2. 统一单位：km/h 和 m/s 怎样换算。
  3. 路程固定时，时间和速度成反比例：提速能省多少时间。
  4. 平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，不是几个速度的平均。
  5. 把加速看成速度均匀增加：加速路程是速度的二次函数，停一站多花的时间是多少。
  6. 动手调速度、加速度、停站时间，再做练习和巩固题。

一列高铁在一条 \(600\) km 的线路上运行，巡航速度是 \(300\) km/h。设每停一站，连同减速、停车、再加速，总共比不停车多用 \(6\) 分钟。先点按钮，看停站次数怎样改变全程用时：

如果停 \(5\) 站，全程的平均速度是多少？

C。跑 \(600\) km 要 \(600\div300=2\) h；停 5 站多用 \(5\times6=30\) 分钟 \(=0.5\) h，总时间 \(2.5\) h。平均速度 \(=600\div2.5=240\) km/h。A 没算停站时间；B、D 是凭感觉估的。平均速度一定要用总路程 ÷ 总时间。

1. 先认识几个词：巡航速度、平均速度、加速度

前置知识：反比例函数（回看 27.1）、一元二次方程（回看 25.3）。

直觉微图解 ①同一个速度，两种单位

自己试试 1：\(324\) km/h 等于多少 m/s？

B。\(324\div3.6=90\)。A 是乘了 \(3.6\)（方向反了）；C 只把小数点移了一位；D 是除以 \(60\)，只换了分钟没换米。

2. 核心点：路程固定，时间与速度成反比例

\(t=\dfrac{s}{v}\quad(v\gt 0)\)

这个关系式对匀速行驶（或用全程平均速度）总成立，路程不同也照样用：\(100\div50=2\) h，\(200\div50=4\) h。再加上路程 \(s\) 固定，速度 × 时间 = 路程这个乘积才不变，\(t\) 才是 \(v\) 的反比例函数：速度变为原来的 \(k\) 倍，时间变为原来的 \(\dfrac1k\)。

直觉微图解 ②\(1200\) km 的线路：速度越快，矩形越“扁”，面积始终是 \(1200\)

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：提速能省多少时间）

一条 \(900\) km 的线路，巡航速度从 \(250\) km/h 提高到 \(300\) km/h（不计停站）。全程能省多少分钟？速度提高了百分之几，时间就减少了百分之几吗？

① 读懂题意：路程不变，速度变了，比较两次用时。

提示 1：用哪个关系

路程固定，用 \(t=\dfrac{s}{v}\) 分别算两次用时。

看完整示范
② 想办法：两次用时相减就是省下的时间；再分别算速度、时间变化的百分比。
③ 执行：\(t_1=\dfrac{900}{250}=3.6\) h，\(t_2=\dfrac{900}{300}=3\) h，省 \(0.6\) h \(=36\) 分钟。速度提高 \(\dfrac{50}{250}=20\%\)，时间减少 \(\dfrac{0.6}{3.6}\approx16.7\%\)。
执行中检查：\(250\times3.6=900\)，\(300\times3=900\)，两次路程都对 ✓。

④ 回头看：速度提高 \(20\%\)，时间并不减少 \(20\%\)。反比例关系下，时间变为原来的 \(\dfrac{250}{300}=\dfrac56\)，减少的是 \(\dfrac16\)。

自己试试 2：要在 \(3\) h 以内（含 \(3\) h）跑完 \(960\) km（不计停站），巡航速度至少是多少？

D。\(\dfrac{960}{v}\le3\)，因为 \(v\gt0\)，两边同乘 \(v\) 不变号，得 \(v\ge320\)。A 是把路程和时间乘了起来；B 跑完要 \(3.2\) h，超时；C 也行，但不是“至少”。

3. 核心点：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间

直觉微图解 ③匀加速：速度–时间图下的三角形面积就是路程

设加速度 \(a=0.4\) m/s²，从静止开始，速度均匀增加到 \(v\)。用时 \(t=\dfrac va\)，路程 = 三角形面积 \(=\dfrac12vt=\dfrac{v^2}{2a}\)。

例 2（示范：停一站多花多少时间）

列车以 \(80\) m/s 巡航，进站前以 \(0.4\) m/s² 均匀减速到停，停车 \(2\) 分钟，再以 \(0.4\) m/s² 均匀加速回到 \(80\) m/s。和一直以 \(80\) m/s 跑同样的路程相比，多花多少时间？

① 读懂题意：比较“减速 + 停车 + 加速”这一段和“匀速跑同样路程”的用时差。

提示 1：减速段跑了多远

减速段用时 \(\dfrac{80}{0.4}=200\) s，路程是三角形面积 \(\dfrac12\times80\times200\)。

看完整示范
② 想办法：算出减速、加速两段的用时和路程，再算这段总路程如果匀速跑要多久。
③ 执行：减速 \(200\) s、路程 \(8000\) m；加速同样 \(200\) s、\(8000\) m；加上停车 \(120\) s，共 \(520\) s。这 \(16000\) m 匀速跑只要 \(\dfrac{16000}{80}=200\) s。多花 \(520-200=320\) s。
执行中检查：减速时平均速度是 \(\dfrac{80+0}{2}=40\) m/s，\(40\times200=8000\) ✓。

④ 回头看：多花的时间 \(=\dfrac va+\) 停车时间 \(=200+120=320\) s，约 \(5.3\) 分钟。减速、加速时车并没停，只是“平均慢了一半”，所以每段只损失 \(\dfrac{v}{2a}\)。

自己试试 3：一列车从甲站到乙站 \(600\) km 用 \(300\) km/h，从乙站原路返回用 \(200\) km/h（不计停站）。往返的平均速度是多少？

A。去程 \(2\) h，回程 \(3\) h，总路程 \(1200\) km，平均速度 \(\dfrac{1200}{5}=240\) km/h。B 是两个速度的平均——慢的那段跑得久，占的时间多，所以平均速度偏向慢的；C 是速度相加。

自己试试 4：列车从静止以 \(0.5\) m/s² 均匀加速，跑了 \(10000\) m。此时速度是多少？

C。\(\dfrac{v^2}{2\times0.5}=10000\)，即 \(v^2=10000\)，\(v=100\) 或 \(v=-100\)；速度是正的，舍去 \(-100\)。\(100\times3.6=360\) km/h。A 没有按实际意义舍根；B 是把 \(v^2\) 当成了 \(v\)；D 是误用 \(v=as=0.5\times10000=5000\)。

4. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）平均速度算成速度的平均
❌ 典型错解：去 \(300\)、回 \(200\)，平均 \(250\)。
✅ 改正：先求总路程、总时间，再相除，得 \(240\)。只有各段用时相同时，平均速度才等于速度的平均。
翻车现场 ②单位不统一
❌ 典型错解：\(180\) km/h、加速度 \(0.5\) m/s²，直接算 \(\dfrac{180^2}{2\times0.5}\)。
✅ 改正：先化成 \(50\) m/s，加速路程 \(\dfrac{50^2}{1}=2500\) m。
翻车现场 ③忘了实际意义
❌ 典型错解：解出 \(v=\pm70\) 都留下；或把反比例用到路程会变的情形。
✅ 改正：速度为正，舍负根。\(t=\dfrac sv\) 这个式子路程变了也成立，但只有路程固定时，\(t\) 和 \(v\) 才成反比例；路程一变，“速度翻倍、时间减半”就不能用了。
边界与前提：这一页的模型简化了什么

① 本页把加速、减速都看成速度均匀变化（加速度不变）。真实列车高速时加速度会变小，所以 \(\dfrac{v^2}{2a}\) 只是估算。② 巡航时速度看成不变，不计坡道、弯道限速。③ \(t=\dfrac sv\) 要求 \(v\gt0\)，并且 \(v\) 是匀速行驶的速度（或全程平均速度），不要求路程固定；只有在路程 \(s\) 固定时，\(t\) 和 \(v\) 才成反比例，路程变了就不再成反比例。④ 所有题里的线路长度、速度、加速度都是本页设定的数，不是某条真实线路的数据。

拓展：为什么“站间距”太短时，提速意义不大

站间距是 \(L\) 时，如果 \(L\) 不够长（\(L\lt\dfrac{v^2}{a}\)），列车还没加速到 \(v\) 就得开始减速，最高速度根本用不上。比如 \(a=0.4\) m/s²、\(v=100\) m/s 时，\(\dfrac{v^2}{a}=25000\) m，站间距不到 \(25\) km 就到不了 \(360\) km/h。

① 路程固定：速度与时间的反比例图象

线路长 \(1200\) km。拖动滑块改变巡航速度，看点在 \(t=\dfrac{1200}{v}\) 的图象上移动，读出用时。

② 进阶：停一站，速度–时间图上“挖掉”多少

虚线是一直匀速巡航；实线是减速 → 停车 → 加速。调巡航速度、加速度（加速、减速相同）、停车时间，看多花的时间怎样变。

③ 独立项目：从真实时刻表到自己的运行图与报告

上面的 600 / 1200 km 是自编模型。本项目请自己收集京沪高铁同一车次、同一运行日期的资料，可先选连续三个停靠站，不把示意数据当真实车次。

到 中国铁路12306官网（复制网址到浏览器：https://www.12306.cn/index/）选择出行日期、车次并展开停靠站；可从官方查询入口（https://www.12306.cn/index/view/infos/train-query-status.html）进入（栏目可能调整，也可用官方客户端）。记录到发时刻、日期和来源。距离另查铁路运营方的线路/站间里程公告，记录标题、链接、页码/表行与单位；应取沿同一路线的距离，不取地图直线距离或票价推算值。

官方未提供所需站间里程时，先保留纸笔采集记录，换可核对的区间或请老师协助，不编数据，也不把全线约1318 km平均分给车站。查到的时刻仅对应所选日期；无实时查询结果时本页不会提供“当前车次”。不填写姓名、账号、购票信息或同伴个人资料。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. \(252\) km/h 等于多少 m/s？

A。\(252\div3.6=70\)。B 乘了 \(3.6\)；C 是除以 \(60\)；D 只移了小数点。

2. 一条 \(1050\) km 的线路，列车以 \(350\) km/h 巡航（不计停站），用时多少？

C。\(t=\dfrac{1050}{350}=3\) h。D 是 \(\dfrac{350}{1050}\) 倒过来了。

易错

3. 列车前一半时间以 \(300\) km/h 行驶，后一半时间以 \(240\) km/h 行驶。全程平均速度是多少？

提示

设总时间为 \(2t\)，分别写出两段路程，再除以 \(2t\)。注意这次是“一半时间”，不是“一半路程”。

B。总路程 \(300t+240t=540t\)，总时间 \(2t\)，平均 \(270\) km/h。两段用时相同，平均速度恰好等于速度的平均。A 是按“一半路程”算的结果（\(\dfrac{2\times300\times240}{540}\approx266.7\)）；D：\(t\) 约掉了，可以确定。

4. 加速度不变，从静止匀加速到 \(2v\) 所需的路程，是加速到 \(v\) 所需路程的几倍？

提示

路程 \(s=\dfrac{v^2}{2a}\) 是 \(v\) 的二次函数。

B。\(\dfrac{(2v)^2}{2a}=4\cdot\dfrac{v^2}{2a}\)。用时是 \(2\) 倍，平均速度也是 \(2\) 倍，所以路程是 \(4\) 倍。A 把路程当成和速度成正比。

5. 列车从静止以 \(0.5\) m/s² 均匀加速，跑了 \(3600\) m，此时速度为 \(v\) m/s。列方程求 \(v\)，正确的结果是哪一个？

提示

\(\dfrac{v^2}{2\times0.5}=3600\)。解出两个根后，看哪个符合实际。

D。\(v^2=3600\)，\(v=\pm60\)，速度为正，\(v=60\) m/s（\(216\) km/h）。A 没舍负根；B、C 没开平方。

挑战

6. 列车以 \(70\) m/s 巡航，进站前以 \(0.5\) m/s² 均匀减速到停，停车 \(2\) 分钟，再以 \(0.5\) m/s² 均匀加速回到 \(70\) m/s。和不停车匀速通过同样的路程相比，多花多少秒？

提示 1：减速段

用时 \(\dfrac{70}{0.5}=140\) s，路程 \(\dfrac{70^2}{2\times0.5}=4900\) m。这 \(4900\) m 匀速跑要多久？

提示 2：合起来

减速段损失 \(140-70=70\) s，加速段同样，再加停车时间。

A。两段各损失 \(70\) s，共 \(140\) s，再加停车 \(120\) s，得 \(260\) s；也就是 \(\dfrac va+\) 停车时间。B 是把减速、加速的全部时间 \(280\) s 都当成损失，忘了这段时间车也在前进；C 只算了停车；D 只算了一段。

巩固练习 1：一列高铁在某线路上以 \(300\) km/h 巡航，跑完全程（不计停站）要 \(4\) h。若巡航速度提高到 \(320\) km/h，跑完全程要（　）

A。路程 \(s=300\times4=1200\) km 固定，\(t=\dfrac{1200}{v}\)。\(v=320\) 时 \(t=\dfrac{1200}{320}=3.75\) h \(=3\) h \(45\) min。故选 A。

巩固练习 2：甲、乙、丙三站在同一线路上，甲到乙 \(300\) km，乙到丙 \(300\) km。列车从甲到乙以 \(300\) km/h 行驶，在乙站停车（含减速、加速多用的时间）共 \(12\) min，从乙到丙以 \(250\) km/h 行驶。列车从甲到丙的平均速度是（　）

B。甲到乙用 \(1\) h，停车 \(0.2\) h，乙到丙用 \(\dfrac{300}{250}=1.2\) h，总时间 \(2.4\) h。平均速度 \(=\dfrac{600}{2.4}=250\) km/h。故选 B。

巩固练习 3：把列车制动看成速度均匀减小，制动距离 \(s=\dfrac{v^2}{2a}\)（\(v\) 单位 m/s，\(a\) 单位 m/s²，\(s\) 单位 m）。列车以 \(288\) km/h 行驶，制动减速度 \(a=0.5\) m/s²，制动距离是（　）

B。\(288\) km/h \(=288\div3.6=80\) m/s。\(s=\dfrac{80^2}{2\times0.5}=6400\) m。故选 B。

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