八年级上册 · 综合与实践（第十五章后）

综合与实践最短路径问题

两个村子在公路同一侧，公交站建在公路上哪一点，两村到车站的路程之和最短？河上要建一座和河岸垂直的桥，桥建在哪里，过河的路最短？只用“两点之间线段最短”和轴对称、平移，就能把弯弯折折的路“拉直”，找到最短的那一条。

本节导读　先修：13.2 三角形的三边关系 · 15.1 图形的轴对称 · 7.4 平移 · 本节路线

要用到：三角形两边之和大于第三边（回看 13.2）；对称轴是对应点连线的垂直平分线、线段垂直平分线上的点到两端距离相等（回看 15.1）；平移（回看 7.4）。

从选公交站进入：同侧两点到直线上一点的距离和；
认识词语：折线路程、对称点，以及“最短”成立的前提；
异侧：直接连线；同侧：先作对称点，把折线“翻”成异侧；
用三角形三边关系证明它真的最短，而且最短点唯一；
造桥选址：桥长固定，先平移再连线；
动手拖动验证，并看清各种边界情况。

公路是 \(x\) 轴，村子 \(A(0,2)\)、\(B(6,4)\) 都在公路上方（单位：百米）。公交站 \(P\) 建在公路上，要使 \(PA+PB\) 最短。下面四个位置里，哪个最好？

B。量得：站在 \((0,0)\) 约 \(9.21\)，\((2,0)\) 约 \(8.49\)，\((3,0)\) 约 \(8.61\)，\((6,0)\) 约 \(10.32\)（单位：百米）。\((3,0)\) 在两村正中间的下方，看着“公平”，却不是最短。\((2,0)\) 是怎么找到的？关键是作 \(A\) 关于公路的对称点——下面讲。

1. 先认识几个词：折线路程、对称点

前置知识：两点之间，线段最短；三角形两边之和大于第三边（回看 13.2）。

折线路程：从 \(A\) 走到直线 \(l\) 上一点 \(P\)，再走到 \(B\)，路程是 \(PA+PB\)。\(P\) 动，路程就变。
对称点：点 \(A\) 关于直线 \(l\) 的对称点 \(A'\)，满足 \(l\) 是线段 \(AA'\) 的垂直平分线。于是 \(l\) 上任意一点 \(P\) 都有 \(PA=PA'\)。

前提（边界）：① 在同一个平面里，路线可以走直线，没有障碍物；② \(P\) 只能在直线 \(l\) 上；③ 造桥问题中两岸是平行直线，桥必须和河岸垂直，桥长等于河宽。前提变了（比如有房子挡路、只能沿街道走），结论就要重新想。

直觉微图解 ①异侧直接连；同侧先“翻”过去

自己试试：\(A(2,3)\) 在 \(x\) 轴上方，\(B(6,-1)\) 在 \(x\) 轴下方。\(x\) 轴上的点 \(P\) 在哪里时 \(PA+PB\) 最小？

C。异侧时直接连 \(AB\)：从 \(A(2,3)\) 每向右 1 格向下 1 格，到 \((5,0)\) 时碰到 \(x\) 轴，此时 \(PA+PB=AB\) 最短。B 是 \(A\)、\(B\) 横坐标的中间，A、D 是两点正下方或正上方的点，都会让路线拐弯。

2. 为什么作对称点就最短

直觉微图解 ②\(PA\) 总等于 \(PA'\)：路程 \(PA+PB\) 变成 \(PA'+PB\)

设 \(A'\) 是 \(A\) 关于 \(l\) 的对称点，\(A'B\) 交 \(l\) 于 \(P\)。对 \(l\) 上任意另一点 \(Q\)： \[QA+QB=QA'+QB\ \gt\ A'B=PA'+PB=PA+PB.\] 中间的“\(\gt\)”来自 \(\triangle A'QB\) 中两边之和大于第三边（\(Q\) 不在 \(A'B\) 上，三点不共线）。所以 \(P\) 是唯一的最短点。

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：找出公交站的位置）

回到开头：\(A(0,2)\)、\(B(6,4)\) 在 \(x\) 轴同侧。在 \(x\) 轴上找点 \(P\)，使 \(PA+PB\) 最小。

提示 1：先翻哪个点

翻 \(A\) 或翻 \(B\) 都可以。\(A(0,2)\) 关于 \(x\) 轴的对称点是 \((0,-2)\)。

看完整示范

① 读懂题意：同侧，不能直接连；\(P\) 必须在 \(x\) 轴上。

② 想办法：作 \(A'(0,-2)\)，连 \(A'B\)，与 \(x\) 轴的交点就是 \(P\)。

③ 执行：从 \(A'(0,-2)\) 到 \(B(6,4)\)：向右 6 格、向上 6 格，即每向右 1 格向上 1 格。向上 2 格到达 \(x\) 轴时，向右走了 2 格，所以 \(P(2,0)\)。

执行中检查：换成翻 \(B\)：\(B'(6,-4)\)，从 \(A(0,2)\) 每向右 1 格向下 1 格，也在 \((2,0)\) 碰到 \(x\) 轴 ✓。

④ 回头看：最小值等于线段 \(A'B\) 的长。量得约 \(8.49\) 百米，比开头的其他三个位置都短。

自己试试：\(A(1,3)\)、\(B(5,1)\) 在 \(x\) 轴同侧，\(x\) 轴上使 \(PA+PB\) 最小的点 \(P\) 是：

A。\(A'(1,-3)\) 到 \(B(5,1)\) 每向右 1 格向上 1 格，向上 3 格到 \(x\) 轴，横坐标 \(1+3=4\)。B 是两点横坐标的中间，只在两点到 \(l\) 距离相等时才对；C、D 是两点的正下方。

自己试试：例 1 中 \(PA+PB\) 的最小值等于哪条线段的长？

D。\(PA+PB=PA'+PB=A'B\)。A：\(AB\) 是不经过公路的直线距离，比最小路程短，做不到；B 是 \(A\) 到公路距离的 2 倍；C 只是其中一段。

3. 造桥选址：桥长固定，先平移

直觉微图解 ③把 \(A\) 向河对岸平移一个河宽，再连线

例 2（造桥）完整示范

① 读懂题意：\(A(1,0)\) 在南岸下方，\(B(5,6)\) 在北岸上方，河的两岸是 \(y=2\) 和 \(y=4\)，桥 \(MN\) 要和河岸垂直（竖直），长度固定为 \(2\)。路程 \(AM+MN+NB\)。

② 想办法：\(MN=2\) 不变，只需让 \(AM+NB\) 最小。把 \(A\) 向上平移 \(2\) 得 \(A_1(1,2)\)，则 \(AMNA_1\) 的对边平行且相等，\(AM=A_1N\)。问题变成“\(A_1N+NB\) 最小”——连 \(A_1B\)。

③ 执行：\(A_1(1,2)\) 到 \(B(5,6)\) 每向右 1 格向上 1 格，向上 2 格到达北岸 \(y=4\)，此时横坐标为 \(3\)。桥建在 \(x=3\)：\(M(3,2)\)、\(N(3,4)\)。

执行中检查：最短路程 \(=A_1B+2\)。动手 ② 里拖动桥的位置，读数在 \(x=3\) 时最小。

4. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）同侧时直接连 AB 再延长

❌ 典型错解：连 \(AB\) 并延长交 \(l\) 于 \(P\)。

✅ 看清：这样 \(P\)、\(A\)、\(B\) 在一条线上，路线要先走到 \(P\) 再折回来，路程反而很长。同侧必须先作对称点。

翻车现场 ②关于错误的直线作对称

❌ 典型错解：作 \(A\) 关于 \(AB\) 的垂直平分线的对称点。

✅ 看清：要关于 \(P\) 所在的直线 \(l\) 作对称，才能保证 \(l\) 上每一点都有 \(PA=PA'\)。

翻车现场 ③忽略特殊位置

❌ 典型错解：任何情况都作对称点。

✅ 看边界：\(A\) 在 \(l\) 上时，\(P=A\)，最小值就是 \(AB\)；\(A\)、\(B\) 到 \(l\) 距离相等时，\(P\) 才恰好在两点正中间的下方。

延伸：角里的一点，到两边再回来

点 \(P\) 在 \(\angle MON\) 内部，要在 \(OM\)、\(ON\) 上各找一点 \(E\)、\(F\)，使 \(PE+EF+FP\) 最小：作 \(P\) 关于 \(OM\) 的对称点 \(P_1\)、关于 \(ON\) 的对称点 \(P_2\)，把折线路程中首尾两段分别翻到两边外侧，再用“两点之间线段最短”寻找候选路线；还要检查连线能否与两条射线相交。到“练一练”的挑战第 6 题里完成这个推理。

① 拖动公交站 P，看路程怎样变

\(A(0,2)\)、\(B(6,4)\)，\(l\) 是 \(x\) 轴。拖动滑块移动 \(P\)；下方小图是 \(PA+PB\) 随 \(P\) 的位置变化的情况。点“显示对称点”看 \(A'\)。

P 的横坐标

② 进阶：造桥选址

\(A(1,0)\)、\(B(5,6)\)，河岸 \(y=2\) 和 \(y=4\)，桥竖直、长 \(2\)。拖动滑块改变桥的位置。

桥的横坐标

题中的直线 \(l\) 都是 \(x\) 轴（除非另外说明），只用方格读点，不用算长度。

直接用

1. \(A(1,4)\)、\(B(7,-2)\)，\(x\) 轴上使 \(PA+PB\) 最小的点 \(P\) 是：

A。异侧，直接连 \(AB\)：每向右 1 格向下 1 格，向下 4 格到 \(x\) 轴，横坐标 \(1+4=5\)。B 是两点横坐标的中点，C、D 是两点的正下方、正上方，都会让路线拐弯。

2. \(A(0,4)\)、\(B(6,2)\)，\(x\) 轴上使 \(PA+PB\) 最小的点 \(P\) 是：

B。作 \(B'(6,-2)\)，从 \(A(0,4)\) 到 \(B'\) 每向右 1 格向下 1 格，向下 4 格到 \(x\) 轴，横坐标 \(4\)。\(P\) 更靠近离 \(l\) 近的点 \(B\)。A 是正中间，只有两点到 \(l\) 距离相等才对。

易错

3. \(A\)、\(B\) 在直线 \(l\) 同侧，要在 \(l\) 上找 \(P\) 使 \(PA+PB\) 最小。正确的作法是：

提示

想一想翻车现场 ①：哪种作法能把折线变成一条线段？

C。A 得到的点让 \(PA\) 与 \(PB\) 重叠走回头路；B 得到的是 \(PA=PB\) 的点，不是和最小的点；D 只在两点到 \(l\) 距离相等时才碰巧对。

4. \(A\) 恰好在直线 \(l\) 上，\(B\) 不在 \(l\) 上。\(l\) 上使 \(PA+PB\) 最小的点 \(P\) 是：

提示

\(PA+PB\ge AB\) 对 \(l\) 上任意 \(P\) 成立吗？什么时候取等号？

B。两点之间线段最短：\(PA+PB\ge AB\)，取 \(P=A\) 时等号成立。这时作对称点也得到同一个点（\(A'=A\)）。A 是只顾让 \(PB\) 最短；D 不对，最小值就是 \(AB\)。

5. 造桥问题中，为什么要先把 \(A\) 向对岸平移一个河宽？

提示

桥长 \(MN\) 会变吗？平移后哪两条线段相等？

A。桥必须垂直河岸，长度固定为河宽；平移把 \(AM\) 搬到 \(A_1N\)，剩下的就是“两点之间线段最短”。B：桥长本来就固定；C：最佳位置一般不在正中间；D 不可能。

挑战

6. 点 \(P\) 在锐角 \(\angle MON\) 内部，\(P_1\)、\(P_2\) 分别是 \(P\) 关于 \(OM\)、\(ON\) 的对称点。在 \(OM\)、\(ON\) 上各取一点 \(E\)、\(F\)，\(\triangle PEF\) 周长的最小值等于：

提示 1

\(PE=P_1E\)，\(PF=P_2F\)。周长变成哪三段之和？

提示 2

从 \(P_1\) 经 \(E\)、\(F\) 到 \(P_2\) 的折线，什么时候最短？

D。周长 \(=PE+EF+FP=P_1E+EF+FP_2\ge P_1P_2\)，当 \(E\)、\(F\) 在线段 \(P_1P_2\) 上时取等号。B、C 是对称点到 \(P\) 的距离，和周长无关；A 只是一条线段。

巩固练习 1：在平面直角坐标系中，点 \(A(2,1)\)、\(B(6,3)\)，点 \(P\) 在 \(x\) 轴上。当 \(PA+PB\) 最小时，点 \(P\) 的坐标是（　）

A。\(A\)、\(B\) 在 \(x\) 轴同侧。作 \(A\) 关于 \(x\) 轴的对称点 \(A'(2,-1)\)，连 \(A'B\)：从 \((2,-1)\) 到 \((6,3)\) 每向右 1 格向上 1 格，向上 1 格到 \(x\) 轴，横坐标为 3。所以 \(P(3,0)\)，故选 A。

巩固练习 2：点 \(A(1,2)\)、\(B(3,6)\)，点 \(P\) 在 \(y\) 轴上。当 \(PA+PB\) 最小时，点 \(P\) 的坐标是（　）

A。\(A\)、\(B\) 都在 \(y\) 轴右侧。作 \(A\) 关于 \(y\) 轴的对称点 \(A'(-1,2)\)，连 \(A'B\)：从 \((-1,2)\) 到 \((3,6)\) 每向右 1 格向上 1 格，向右 1 格到 \(y\) 轴时纵坐标为 3，所以 \(P(0,3)\)，故选 A。

巩固练习 3：一条河的两岸是直线 \(y=1\) 和 \(y=3\)，村庄 \(A(0,0)\) 在南岸下方，村庄 \(B(4,6)\) 在北岸上方。要建一座与河岸垂直的桥 \(MN\)（\(M\) 在南岸，\(N\) 在北岸），使从 \(A\) 经桥到 \(B\) 的路程 \(AM+MN+NB\) 最短，则桥应建在直线 \(x=\)______上，此时点 \(N\) 的坐标是______。

查看答案与解析，自行核对

答案：1；\((1,3)\)

桥长 \(MN=2\) 固定。把 \(A\) 向上平移 2 得 \(A_1(0,2)\)，则 \(AM=A_1N\)，路程 \(=A_1N+NB+2\)。连 \(A_1B\)：从 \((0,2)\) 到 \((4,6)\) 每向右 1 格向上 1 格，向上 1 格到北岸 \(y=3\) 时横坐标为 1。所以桥建在 \(x=1\)，\(N(1,3)\)、\(M(1,1)\)。

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