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七年级下册 · 第十章 二元一次方程组

10.3 实际问题与二元一次方程组

会解方程组之后，难的是“列”：从一段文字里找出两条不同的相等关系，设好两个未知数，列出方程组，解完还要回到题目里检验。这一节把这条路走顺。

本节导读　先修：5.3 实际问题与一元一次方程、10.2 · 本节路线

要用到：列一元一次方程解应用题（回看 5.3）；代入法、加减法（回看 10.2）。

  1. 从租船进入：两句话，两个方程。
  2. 一般步骤：审题 → 找两个相等关系 → 设元 → 列方程组 → 解 → 检验 → 答。
  3. 列表整理数量关系；两个方程必须来自两条不同的信息。
  4. 设元写单位，列式前统一单位（分钟和小时不能混用）。
  5. 所求不好直接设时，先设中间量；解完对照实际意义检验。
  6. 练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。

公园里大船每条坐 \(6\) 人，小船每条坐 \(4\) 人。全班 \(34\) 名同学租了 \(7\) 条船，正好坐满。大船、小船各租了几条？点下面几种猜法，看哪句话没满足：

大船、小船各租了几条？

A。\(3+4=7\) 条，\(6\times3+4\times4=34\) 人，两句话都满足。B、C 条数对，人数是 \(36\)、\(32\)；D 人数 \(30+4=34\) 对了，条数却只有 \(6\)。

设大船 \(x\) 条、小船 \(y\) 条：\(\begin{cases}x+y=7\\6x+4y=34\end{cases}\)。题目里每一句“一共”“正好”都是一个相等关系。这一节要回答：怎样从文字里稳稳地找出两个相等关系，列对、解对、验对？

1. 先认识几个词：相等关系、设元、检验

前置知识：列一元一次方程解应用题（回看 5.3）、解二元一次方程组（回看 10.2）。两个未知数要两个方程，而且这两个方程必须来自两条不同的信息：

直觉微图解 ①一条信息只能“缩小范围”，两条不同的信息才能“定下来”

核心概念 ②一元还是二元？

设大船 \(x\) 条，小船就是 \((7-x)\) 条，列一元方程 \(6x+4(7-x)=34\) 也行。设两个未知数的好处是：每句话直接翻译成一个方程，不用先把一个量用另一个表示。选更容易列的那种。

核心概念 ③解出来不等于答案

方程组只管数，不管“船不能是半条”。解出 \(x=3.5\) 条船，说明数据或列式有问题，不能四舍五入；解出负数也要舍去。最后还要写“答”。

2. 核心点：列表找两个相等关系

信息多时，先列表：行是“情况”，列是“量”。表里每一行的总数，往往就是一个方程。

\(\color{#2F7A56}{\underbrace{\text{审题列表}}_{\text{找两个相等关系}}}\to\color{#966524}{\underbrace{\text{设元}}_{\text{写单位}}}\to\underbrace{\text{列方程组}}_{\text{两条不同信息}}\to\underbrace{\text{解}}_{\text{代入或加减}}\to\color{#B5452F}{\underbrace{\text{检验}}_{\text{代回且合实际}}}\to\text{答}\)

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

一家饮品店的大杯、小杯果茶各有固定价格。第一天卖出大杯 \(30\) 杯、小杯 \(20\) 杯，收入 \(520\) 元；第二天卖出大杯 \(25\) 杯、小杯 \(40\) 杯，收入 \(620\) 元。大杯、小杯每杯各多少元？

① 读懂题意：两个未知量（两种单价），两天的数据各给出一条信息。

提示 1：列表
大杯小杯收入
第一天30 杯20 杯520 元
第二天25 杯40 杯620 元
提示 2：每一行写一个方程

“大杯钱 + 小杯钱 = 当天收入”。两边的数都能约分，先约了再解。

看完整示范
② 想办法：设大杯每杯 \(x\) 元、小杯每杯 \(y\) 元。第一天：\(30x+20y=520\)；第二天：\(25x+40y=620\)。
③ 执行：约分：\(3x+2y=52\) ①，\(5x+8y=124\) ②。\(\textcircled{1}\times4-\textcircled{2}\)：\(7x=84\)，\(x=12\)；代入 ①：\(36+2y=52\)，\(y=8\)。
执行中检查：代回原来的两天：\(30\times12+20\times8=520\) ✓，\(25\times12+40\times8=620\) ✓；单价为正，合理。

④ 回头看：答：大杯每杯 \(12\) 元，小杯每杯 \(8\) 元。两个方程来自两天，是两条不同的信息，所以能定下唯一的答案。

自己试试：一个书包和一个笔袋共 \(95\) 元，书包的价格比笔袋价格的 \(3\) 倍多 \(15\) 元。设书包 \(x\) 元、笔袋 \(y\) 元，列出的方程组是哪一个？

A。“书包比笔袋的 \(3\) 倍多 \(15\)”：书包 \(=\) 笔袋 \(\times3+15\)。解得 \(y=20\)，\(x=75\)。B 把谁是谁的 \(3\) 倍弄反了；D 是把“多”写到了书包那一边。

3. 核心点：单位先统一，再列式

行程问题里速度、时间、路程的单位要配套：速度用 km/h，时间就要用小时。顺流、逆流时船的实际速度是这样算的：

直觉微图解 ②顺流：船速 + 水速；逆流：船速 − 水速

例 2（示范：单位不统一会怎样）

一艘游船在两个码头之间往返，两码头相距 \(36\) km。顺流用了 \(1.5\) h，逆流用了 \(2\) h \(15\) min。求游船在静水中的速度和水流速度。

① 读懂题意：未知的是静水速度和水速；顺流、逆流各给一条“速度 \(\times\) 时间 \(=\) 路程”。

提示：\(2\) h \(15\) min 是几小时？

\(15\) min \(=\tfrac{15}{60}\) h \(=0.25\) h，所以是 \(2.25\) h，不是 \(2.15\) h，更不能直接写 \(135\)。

看完整示范
② 想办法：设静水速度 \(x\) km/h、水速 \(y\) km/h。顺流：\(1.5(x+y)=36\)；逆流：\(2.25(x-y)=36\)。
③ 执行：化简：\(x+y=24\)，\(x-y=16\)。相加 \(2x=40\)，\(x=20\)；\(y=4\)。
执行中检查：回到原题算时间：顺流 \(36\div24=1.5\) h ✓，逆流 \(36\div16=2.25\) h，就是 \(2\) h \(15\) min ✓。

④ 回头看：如果把 \(2\) h \(15\) min 直接写成 \(135\)，列出 \(135(x-y)=36\)，会解得 \(x\approx12.13\)、\(y\approx11.87\)：两个速度都是正数，静水速度也比水速大，单看数的大小发现不了错。混用了分钟和小时，只能靠“设元写单位、列式前统一单位”来避免，再把解代回原题算一遍时间来检验。

自己试试：小明骑车 \(20\) 分钟走了 \(4\) km。设他的速度是 \(x\) km/h，正确的方程是哪一个？

B。\(20\) 分钟 \(=\tfrac13\) 小时，\(\tfrac13x=4\)，\(x=12\) km/h。A 把分钟直接当小时；C 是把 \(\tfrac13\) 倒过来了。

4. 核心点：间接设元与检验

同样是 \(7\) 条船，换一个人数，解出来的数合不合实际就不一样了：

直觉微图解 ③解出来以后，回到题目里问一句：这个数合理吗？

例 3（示范：所求的量不直接设）

水果店购进苹果和橙子共 \(100\) kg，花了 \(560\) 元。苹果进价 \(6\) 元/kg、售价 \(9\) 元/kg；橙子进价 \(5\) 元/kg、售价 \(7\) 元/kg。全部卖完，一共能赚多少元？

① 读懂题意：要求的是“赚多少”，可题目里没有一句话直接说利润等于什么。

提示：先求什么

利润要靠苹果、橙子各多少千克才能算。设这两个量，它们有两句话可用：“共 \(100\) kg”“花了 \(560\) 元”。

看完整示范
② 想办法：设苹果 \(x\) kg、橙子 \(y\) kg：\(\begin{cases}x+y=100\\6x+5y=560\end{cases}\)。
③ 执行：由第一个方程 \(y=100-x\)，代入：\(6x+500-5x=560\)，\(x=60\)，\(y=40\)。利润 \(=(9-6)\times60+(7-5)\times40=180+80=260\) 元。
执行中检查：\(60+40=100\) ✓，\(360+200=560\) ✓；质量为正，合理。

④ 回头看：答：一共能赚 \(260\) 元。方程组解出的是中间量，题目要的答案还要再算一步。

自己试试：列方程组求某班男生人数，解得 \(x=23.5\)。接下来应该怎么做？

B。四舍五入或去尾后的数不满足原来的两个相等关系。解出不合实际的数，说明哪里出了问题，要回头查。

5. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）解出来就写答，不检验
❌ 典型错解：\(50\) 人租 \(7\) 条船，解得大船 \(11\) 条、小船 \(-4\) 条，照抄进答句。
✅ 看图秒懂：船的条数不能是负数，这组解不合实际，要舍去，说明“\(7\) 条船正好坐满 \(50\) 人”做不到。船数、人数应是非负整数；只有题目说“两种都有”时，才要求都至少是 \(1\)。
翻车现场 ②单位不统一
❌ 典型错解：速度设成 km/h，时间却把 \(2\) h \(15\) min 写成 \(2.15\) 或 \(135\)。
✅ 一眼看清：设元时写单位；列式前把时间统一成小时：\(2\) h \(15\) min \(=2.25\) h。
翻车现场 ③两个方程其实是同一句话
❌ 典型错解：“共 \(7\) 条船”列成 \(x+y=7\)，又把“每条船配 \(2\) 支桨，共 \(14\) 支”列成 \(2x+2y=14\)，结果怎么也解不出。
✅ 一眼看清：桨数是条数的 \(2\) 倍，没带来新信息。检查两个方程是不是来自题目里两条不同的信息。
再深一点（可以先跳过）：“假设全是鸡”对应哪一步消元？

鸡和兔共 \(20\) 个头、\(56\) 只脚。假设全是鸡，先算出的脚数比实际少多少？每把一只鸡换成兔会增加几只脚？把这两个想法和方程组的加减消元对应起来。

想好后看解释

我国古代算书里有不少这样的名题，“鸡兔同笼”最有名。换个数试试：笼里鸡和兔共 \(20\) 个头、\(56\) 只脚。设鸡 \(x\) 只、兔 \(y\) 只：\(x+y=20\)，\(2x+4y=56\)。第二个方程减去第一个的 \(2\) 倍：\(2y=16\)，兔 \(8\) 只，鸡 \(12\) 只。古人的“假设全是鸡”的算法，其实就是这一步加减消元。

① 顺流、逆流：调速度，对时间

两码头相距 \(36\) km。拖动静水速度 \(v\) 和水速 \(w\)（或点一下圆点再用方向键），看顺流、逆流各要多少小时。两根条都顶到红线（\(1.5\) h 和 \(2.25\) h）时，就找到了例 2 的答案。

② 解出来合不合理：改人数看船数

还是 \(7\) 条船、大船坐 \(6\) 人、小船坐 \(4\) 人。拖动全班人数，方程组 \(\begin{cases}x+y=7\\6x+4y=\text{人数}\end{cases}\) 的解跟着变，看它什么时候合实际。

③ 进阶：环形跑道上的相遇和追及

甲、乙在 \(400\) m 环形跑道上同时从起点出发。反向跑，每隔 \(t_1\) 分钟相遇一次（两人路程和 \(=400\) m）；同向跑，甲每隔 \(t_2\) 分钟追上乙一次（路程差 \(=400\) m）。拖动 \(t_1\)、\(t_2\)，看两人的速度。图上是反向跑时第一次相遇前各跑的路程。

④ 自己建模：先估计，再把饮品单价算清楚

沿用例 1 的情境：两种果茶单价固定。第一天卖大杯 30 杯、小杯 20 杯，收入 520 元；第二天卖大杯 25 杯、小杯 40 杯，收入 620 元。先合上示范，独立走一遍。这里的记录只留在本页，刷新即清空。

1 · 先留下经验估计

先填写估计；估计不要求正确。

2 · 分析、设元、列组、求解

输入两条方程，可交换顺序、移项、约分。支持 x、y、整数、小数、分数、括号与 + − * /；乘号可省略，如 2x。其它写法暂不自动核对，请先改写为这种形式。不能输入上标作普通数字。

3 · 代回两天原条件，再作答

自己先算四笔金额。网页会独立计算乘积与总收入，不能只核验约分后的方程。

估计记录后再填写过程。文字分析和消元说明供你对照，不作自动语义评分。

⑤ 开放探究：同一个产量比，能怎样分地？

一块长 30 m、宽 20 m 的长方形地全部分给甲、乙两种作物，不重叠、不留空。甲每平方米产 2 kg，乙每平方米产 3 kg（本活动假设每处单位面积产量相同）。要求甲、乙总产量比为 2∶1。面积允许是小数，不要求整平方米。

设甲占 x m²、乙占 y m²。先列两条关系，再试着画分界线。这里能试沿长边分、沿宽边分两类直线方案；其它划法可画在纸上，用面积与产量关系核对。网页不会据此认定你已完成纸笔活动。

先写方程并操作分界，再核对；初始图只是一种尝试。

    从易到难排好了。卡住时先展开提示。

    直接用

    1. 礼堂里有大、小两种桌子共 \(20\) 张，大桌每张坐 \(6\) 人，小桌每张坐 \(4\) 人，正好坐下 \(100\) 人。设大桌 \(x\) 张、小桌 \(y\) 张，列出的方程组是哪一个？

    A。张数一共 \(20\)，人数一共 \(100\)。解得 \(x=10\)，\(y=10\)。C 把大、小桌的座位数对调了。

    2. 停车场里有轿车（\(4\) 个轮子）和三轮车（\(3\) 个轮子）共 \(15\) 辆，一共 \(52\) 个轮子。轿车有几辆？

    A。设轿车 \(x\) 辆、三轮车 \(y\) 辆：\(x+y=15\)，\(4x+3y=52\)。\(4x+3(15-x)=52\)，\(x=7\)，\(y=8\)。检验：\(28+24=52\) ✓。选 B 是答成了三轮车的辆数。

    易错

    3. 甲、乙两个码头相距 \(12\) km。一艘小船从甲到乙逆流航行用了 \(40\) 分钟，从乙回甲顺流航行用了 \(30\) 分钟。设小船在静水中的速度为 \(x\) km/h、水流速度为 \(y\) km/h，正确的方程组是哪一个？

    提示

    速度用 km/h，时间就要换成小时：\(40\) 分钟 \(=\tfrac23\) 小时。逆流时实际速度是 \(x-y\)，顺流时是 \(x+y\)。

    B。解得 \(x-y=18\)，\(x+y=24\)，\(x=21\)，\(y=3\)。A 直接用了分钟；C 把顺流、逆流弄反了；D 把 \(40\) 分钟当成了 \(0.4\) 小时（应是 \(\tfrac23\) 小时）。

    4. 学校买篮球和排球共 \(10\) 个，篮球 \(80\) 元/个，排球 \(60\) 元/个，共花 \(800\) 元。列方程组解得篮球 \(10\) 个、排球 \(0\) 个。怎么看这个结果？

    提示

    个数能不能是 \(0\)？题目有没有说“两种都要买”？

    B。\(80\times10+60\times0=800\) ✓。个数应是非负整数，\(0\) 是允许的；只有题目写明“两种都买”时，才要求都至少 \(1\) 个，那时这道题就说明数据有矛盾。

    5. 某班 \(40\) 人，男生比女生多 \(4\) 人。设男生 \(x\) 人、女生 \(y\) 人，下面哪一组不能求出男女生人数？

    提示

    看每组的两个方程是不是来自两条不同的信息。

    B。\(2x+2y=80\) 就是 \(x+y=40\) 乘了 \(2\)，同一句话说了两遍，“多 \(4\) 人”没用上。A、C 都解得 \(x=22\)，\(y=18\)。

    挑战

    6. 一份测试有 \(25\) 道选择题，答对一题得 \(4\) 分，答错或不答一题扣 \(1\) 分。小王得了 \(70\) 分。他答对的题比答错（含不答）的多几道？

    提示 1：设什么

    所求是“多几道”，先设答对 \(x\) 道、答错或不答 \(y\) 道。

    提示 2：两个相等关系

    题数：\(x+y=25\)；得分：\(4x-y=70\)。

    A。两式相加：\(5x=95\)，\(x=19\)，\(y=6\)，多 \(19-6=13\) 道。检验：\(76-6=70\) ✓。B、C 是只答了中间量，没算最后一步。

    本节中考真题

    共 24 道，含 13 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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