培玉 · 小学数学← 返回主页五年级上册 · 第三单元 小数除法 · 第 3 课
循环小数
为什么有的除法竖式怎么除也除不完？商的小数部分藏着什么规律？
上一课添 0 后可以分完。换一道题，添 0 是否总能把余数变成 0？先猜，再用两道题验证。
6 ÷ 8 已经分完；50 ÷ 15 呢？
先不急着起名字。试着继续除，盯住每步的余数。
校运会上，小航跑 500 米用了 90 秒，他平均每秒跑多少米？列竖式算 500 ÷ 90 时，除到小数部分，你发现了什么？
对！因为余数 50 不断重复出现，添 0 后每次都是 500 ÷ 90，所以商的小数部分永远重复出现 5，写作 5.555…。先换两道题，看看是否也会出现相同的现象。
1. 再除一步：追踪余数，再取近似数
先算 50 ÷ 15，再换成 40 ÷ 11：先猜下一位，再点“再除一步”。比较两题的余数，试着用一句话概括。
先说发现：比较两道除不尽的题，再想想 6 ÷ 8：它们的余数有什么不同？先说共同特点，再读“讲道理”里的名称。
比较后再说清：从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数；重复的一组数字叫循环节。在下一题中找一找。
循环小数 6.13838… 的循环节是多少？
38。十分位上的 1 不参与循环，从百分位起 38 依次不断重复出现，所以循环节是 38。
为什么整数除以整数，余数一旦重复，就一定会变成循环小数？
比如除数是 7，每次除完剩下的余数只能比 7 小（如果余 0 就除尽了，成为有限小数；如果除不尽，余数只可能是 1、2、3、4、5、6 这 6 种情况）。
继续添 0 去除，非零余数只有这 6 种；算过这些情况，下一次就会重复。一旦余数重复，后面添 0 再除的每一步就和前面一模一样，像放电影一样一圈一圈重演，就成了循环小数。
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点：比如 3.333… 写作 3.3，3.6363… 写作 3.63，1.428571428571… 写作 1.428571。
小数部分的位数有限的小数是有限小数（如 0.75）；小数部分的位数无限的小数是无限小数（循环小数都是无限小数）。
一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，叫作循环小数；求商的近似数，要除到比保留的小数位数多一位。
两个容易错的地方
40 ÷ 11 的商保留两位小数是多少？
每步先自己想，再展开提示核对。
① 读懂题意：先想怎样求
求近似数要多算一位。保留两位，应至少算到第三位小数。
② 列式推导：想好后看算理
40 ÷ 11 商 3 余 7；70 ÷ 11 商 6 余 4；40 ÷ 11 商 3 余 7。余数回到 7，后面的步骤会重复，得 3.6363…。
③ 检验：乘回去或看范围
第三位小数是 6，向百分位进 1，得 3.64。检验范围：3.63 × 11 = 39.93，3.64 × 11 = 40.04，原来的商在两者之间。
算一算 29 ÷ 11 = 2.6363…，把所得的商保留两位小数，约等于多少？
2.64。求商的近似数时，算到比保留位数多一位（第三位小数是 6），6 大于 5，用“四舍五入”法向前一位进 1，得 2.64。
直接用
1. 下面哪个数是循环小数？
C。0.207474… 的小数部分从千分位起，74 依次不断重复出现，是循环小数（写作 0.2074）。
2. 循环小数 1.628628… 的循环节是多少？
628。小数部分 628 依次不断重复出现，展开形式是 1.628628…，628 依次不断重复。
3. 把循环小数 0.666… 保留三位小数，约等于多少？
0.667。第四位小数是 6，满 5 进 1，保留三位小数是 0.667。
容易错
4. 把循环小数 2.38080… 保留三位小数，约等于多少？
2.381。2.38080… 的第三位小数是 0，第四位小数是 8，满 5 向千分位进 1，所以约等于 2.381。
5. 比较大小：0.66 和 0.666…，哪一个更大？
B。循环小数 0.666… 和 0.66（即 0.660）比千分位，6 > 0，所以 0.666… > 0.66。
想一想
6. 先找规律：1 ÷ 9 = 0.111…，2 ÷ 9 = 0.222…，3 ÷ 9 = 0.333…。按这个规律，7 ÷ 9 的商保留两位小数约等于多少？
0.78。按规律 7 ÷ 9 = 0.777…，第三位小数是 7，满 5 向百分位进 1，保留两位小数约等于 0.78。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 1.2 有理数及其大小比较小学小数除法中发现商除不尽时余数重复出现从而产生循环小数，这正是初中理解“有理数均可写成有限小数或无限循环小数”并进而认识无理数的关键铺垫。