培玉 · 小学数学← 返回主页四年级下册 · 第一单元 四则运算 · 第 2 课
乘、除法的意义和各部分间的关系
乘法和除法是什么关系？知道其中两个数，怎样找第三个数，又怎样检验？
本单元按旧版教材编排。
本节路线导读
乘法阵列怎样帮助我们检验除法？
- 想一想：从旧办法作预测。
- 摆一摆：换数、盖住或分步验证。
- 讲道理：比较几次观察，说清为什么。
- 看例题：读题、列式、检验。
- 练一练：独立运用，解释容易错的地方。
以前用几个相同的数相加求总数。反过来，知道总数与每行个数，怎样找行数？
同一堆圆片的两种问法
先猜一猜，再看观察方向
先看几行、每行几个，再想总数。把“行数”盖住，就变成已知总数和每行个数求行数。
花店把 48 盆花平均摆成 6 排，每排摆的盆数同样多。每排摆几盆？
对，每排 8 盆：8 × 6 = 48，48 ÷ 6 = 8。
乘法和除法像一对搭档：知道每排几盆和几排，用乘法求总数；知道总数和排数，用除法找每排几盆。这节课把它们的关系理清楚。
1. 摆圆片：乘法和除法连在一起
圆片摆成几行，每行同样多。先点“看乘法”，调一调行数和每行个数；再点“盖住行数”“盖住每行个数”“有余数”，看除法是怎么出来的。
从“几个几”回到除法
- 试 3 行每行 4 个、5 行每行 4 个、5 行每行 7 个。先说：总数与行数、每行个数是什么关系？
- 每行同样多，总数就是这些相同的数合起来。知道总数和其中一个乘数，用除法找另一个。
- 有余数时，乘法只算了摆齐的部分，余下的还在总数里，所以要加回来；余数还应小于除数。
各部分的关系
乘法是求几个相同的数合起来是多少的简便算法：6 个 4 相加，写成 6 × 4。除法是反过来：已知总数，和其中一个乘数，求另一个乘数。
| 乘法 | 积 = 乘数 × 乘数 |
| 找乘数 | 乘数 = 积 ÷ 另一个乘数（另一个乘数不是 0） |
| 除法 | 被除数 = 商 × 除数（没有余数时） |
| 找除数 | 除数 = 被除数 ÷ 商（没有余数，且商不是 0） |
| 有余数 | 被除数 = 商 × 除数 + 余数（余数比除数小） |
这两个“找”都有条件：若已知其中一个乘数是 0，不能用积除以 0 去找另一个乘数；0 ÷ 5 = 0，商是 0，除数不能用被除数 ÷ 商去找；87 ÷ 5 = 17……2 有余数，不能直接用被除数 ÷ 商去找除数。
检验除法，就是用商和除数做乘法，看能不能回到被除数：乘和除互相检验。
乘法是几个相同的数合起来；除法是已知总数和一个乘数，找另一个乘数。
检验除法：商 × 除数，有余数再加余数，得到被除数，并且余数比除数小，才对。
两个容易错的地方
□ × 6 = 48，写成 48 × 6 = 288。可 288 比 48 的 6 行加起来还多得多。
48 个圆片分成 6 行，每行同样多，用 48 ÷ 6 = 8；乘数 = 积 ÷ 另一个乘数。
87 ÷ 5 = 17……2，验算 17 × 5 = 85，85 不是 87，就说算错了。
17 堆每堆 5 个是 85 个，还剩 2 个：85 + 2 = 87，被除数 = 商 × 除数 + 余数。
有余数，怎样找回总数
一些圆片，每 8 个装一袋，装满 9 袋，还剩 3 个。原来有多少个？
① 读懂题意：先找“摆齐”和“剩下”
一袋 8 个、装满 9 袋是一部分；剩下的 3 个是另一部分。
② 列式与推导：先算装袋的，再加余下的
9 × 8 + 3 = 72 + 3 = 75（个）。只算乘法，会漏掉桌上剩的圆片。
③ 检验与易错处：检查总数，也检查余数
75 ÷ 8 = 9……3，并且 3 小于 8，不能再装满一袋，才符合“装满 9 袋”。
42 个圆片，每行摆 6 个，能摆几行？
42 ÷ 6 = 7（行）。检验：7 × 6 = 42。
□ ÷ 7 = 12……5，被除数 □ 是多少？
12 × 7 + 5 = 84 + 5 = 89。检验：89 ÷ 7 = 12……5。
直接用
1. 学校买了 9 盒彩笔，每盒 24 支。一共有多少支彩笔？
9 × 24 = 216（支）。
2. 书架上有 96 本书，平均放在 8 层，每层放几本？
96 ÷ 8 = 12（本）。检验：12 × 8 = 96。
3. 算出 56 ÷ 4 = 14 后，要检验算得对不对，应该算哪一个？
B。14 × 4 = 56，正好回到被除数 56，所以 56 ÷ 4 = 14 是对的。商 × 除数 = 被除数。
容易错
4. 63 本图书分给若干个班，每个班 7 本，正好分完。算式 63 ÷ □ = 7 中，□ 是几？
63 ÷ 7 = 9，□ = 9（个班）。检验：9 × 7 = 63。
5. 小红算 95 ÷ 6 = 15……5，她用 15 × 6 = 90 检验，发现 90 不等于 95，就说算错了。她说得对吗？
B。被除数 = 商 × 除数 + 余数：15 × 6 + 5 = 90 + 5 = 95，和被除数相同，所以没算错。
6. □ ÷ 8 = 13……5，被除数 □ 是多少？
13 × 8 + 5 = 104 + 5 = 109。检验：109 ÷ 8 = 13……5。
想一想
7. 已知 84 ÷ 7 = 12，除数不变，被除数增加 7，变成 91。91 ÷ 7 的商是多少？
91 ÷ 7 = 13。检验：13 × 7 = 91。多了一个 7，商就多 1。
8. 已知 9 × 4 = 36，下面哪两个除法算式可以由它直接写出来？
A。积 36 当被除数，两个乘数分别当除数：36 ÷ 9 = 4，36 ÷ 4 = 9。两个乘数都不是 0 时，可以这样写出两个除法算式。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 2.1 有理数的加法与减法加减互逆关系与混合运算顺序在有理数域保持不变，初中只需叠加符号法则与绝对值比较即可把算术加减推广到有理数。