数论知识图谱

正整数、非负整数和任意整数给出的候选不同。把整数写成 $n=qm+r$ 时，模数取正整数 $m$，余数满足 $0\le r<m$。因数配对也要保留原来的正负、大小和是否相同的限制。例如正整数 $x,y$ 满足 $(x+1)(y+1)=12$，两个因子都至少是 $2$，不能把因子 $1$ 对应的 $x=0$ 当成正整数解。

清分母之前先排除零分母；配成乘积后，还要能还原原变量。同余式若保持原模数，约去的因子须与模数互素。例如 $2x\equiv 2(\mathrm{mod}6)$ 等价于 $3\mid x-1$，即 $x\equiv 1(\mathrm{mod}3)$；若直接约成 $x\equiv 1(\mathrm{mod}6)$，就漏掉了 $x=4$ 这样的整数。

例如整数方程 $xy+x+y=11$ 可添 $1$，写成 $(x+1)(y+1)=12$。若要求正整数解，合法有序因子对为 $(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)$，还原得到四组解。先把原范围翻译成因子范围，再枚举；若原题允许负整数，还须处理负因子，不能只列正因子。

整数平方模 $4$ 只能余 $0$ 或 $1$，所以两个整数平方的差模 $4$ 只能余 $0,1,3$。因此 $x^2-y^2=6$ 不可能有整数解。同余没有出现矛盾时，通常仍只是留下候选；例如 $5\equiv 1(\mathrm{mod}4)$，但 $5$ 并不是整数平方。

正整数 $N=\prod p_i^{e_i}$ 的每个正因数，恰好由各素数指数 $0$ 到 $e_i$ 的一次选择确定，所以正因数个数为 $\prod (e_i+1)$。例如 $72=2^3\cdot 3^2$ 有 $4\cdot 3=12$ 个正因数。若再要求这个因数是平方数，各指数只能取偶数；此例得到 $1,4,9,36$ 四个。

因数对可以按较小因子不超过乘积的平方根列全，再筛原范围；用余数排除时则要覆盖所有剩余类。例如正整数 $r,s$ 满足 $rs=24$ 且 $2\le r<s\le 10$，较小正因子只需检查 $1,2,3,4$。前两对超出范围，留下 $(3,8),(4,6)$，共有两对。

正整数方程 $rs=12$ 有六组有序解，若把交换看成同一对则只有三对。对 $rs=36$，九组有序解中的 $(6,6)$ 交换后不变，因此无序对有 $(9-1)/2+1=5$ 对。方程的数对 $(x,y)$ 与从集合中选两个不同元素，不能默认采用同一种计数口径。

由因子恢复变量后，要重新检查正负、整数性、范围与原等式。清分母或约分得到的候选还可能使原式无定义。例如 $(t^2-1)/(t-1)=2$ 原本要求 $t\ne 1$；化简得到 $t+1=2$，唯一候选 $t=1$ 恰好被原定义域排除，因此原方程无解。