组合计数知识图谱

先问：位置有无标号，交换两个元素是否算新方案，相同数值是否区分个体。例如从 $\{1,2,3\}$ 中选两个不同数，不计顺序只有 $\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}$ 三种；若数有序对，则每对有两个顺序，共 $6$ 种。两种问题不能混用同一个总数。

从 $\{1,2,3,4,5\}$ 选两个不同数时，可分成“含 $1$”与“不含 $1$”：前一类有 $4$ 种，后一类有 $6$ 种，共 $10$ 种。若改分成“含 $1$”和“含 $2$”，两类各 $4$ 种，直接相加却只有 $8$：$\{1,2\}$ 重复了，$\{3,4\},\{3,5\},\{4,5\}$ 又被遗漏。先说明分类标准怎样覆盖全部对象，再计算每一类。

从 $1$ 到 $6$ 的整数中选三个不同数，要求和被 $3$ 整除。按模 $3$ 余数分成 $\{3,6\},\{1,4\},\{2,5\}$。三个余数之和为 $0$ 模 $3$，只能三数同类或三类各取一个；每类只有两个数，同类取三个不可能。因此只有三类各一个，共 $2\cdot 2\cdot 2=8$ 种。列类型时要把“不可能的类型”也说明原因。

把一个方案分成几步选择，需说明每个最终方案恰好由一条选择路径产生。例如从五个不同的人中选一名组长、再选一名不同的副组长，共 $5\cdot 4=20$ 种。若只选两名不分职务的成员，则两个选择顺序产生同一组，不能仍报 $20$。有位置限制的题可先定位置骨架，再在各类位置中填具体元素；每一步的可选数依赖前序时，要按相应情况计算。

整数 $a,b$ 满足 $1\le a,b\le 6$，数其中至少一个数等于 $1$ 的有序对。全集有 $36$ 对；两个数都不等于 $1$ 的有 $25$ 对，所以答案是 $11$。也可以把“$a=1$”和“$b=1$”各 $6$ 对相加，再减去共同的 $(1,1)$：$6+6-1=11$。补集中的限制与原事件的交、并关系要先翻译准确。

五个人两两各握手一次。若逐人统计，每人参与 $4$ 次，共 $20$ 次参与；每次握手恰有两个参与者，因此实际握手数为 $20/2=10$。两种统计都针对同一批握手，除以 $2$ 来自每次握手被两个端点计入，而非遇到对称就习惯性除二。

整数 $a,b$ 满足 $1\le a,b\le 3$ 时，有 $9$ 个有序对。交换 $a,b$ 时，非对角线对象两两配对，但 $a=b$ 的三个对象保持不变。所以满足 $a\le b$ 的个数为 $(9-3)/2+3=6$。固定点先单独处理，再对其余对象按统一重数计数。

对一个 $2\times 2$ 的格表，要求每行、每列都恰有一个标记。先只要求每行一个，会得到 $2^2=4$ 种，但其中两种把两个标记放在同一列，不符合列限制；最后只有两条对角线对应的 $2$ 种。小规模枚举能暴露漏用条件，但通过几个小例子不能代替一般计数证明。