递推数列知识图谱

递推式能否写下去要逐步检查。$a_{n+1}=(1+a_n)/(1-3a_n)$ 要求当前 $a_n\ne 1/3$；某一步合法不代表以后自动合法。若找到一个闭合轨道且所有分母非零，才可保证重复合法。

递推关系加初值才决定所讨论的数列。$a_{n+1}=2a_n+1$，$a_1=1$ 时，前三项为 $1,3,7$。通项 $2^n-1$ 的下标从1起；代初值是检验的一步，不代替归纳证明。

若用 $b_n=1/a_n$ 改写递推，必须证明需要的 $a_n$ 都不为零。若原数列可能取零，这个变换只适用于非零的那一段，不能据此丢掉合法的零项分支。

若 $a_{n+1}=r{a}_n+s$ 且 $r\ne 1$，令 $L=s/(1-r)$，有 $a_{n+1}-L=r(a_n-L)$。当 $r=1$ 时直接是等差递推，不能除以 $1-r$。

若 $a_{n+1}+a_n=n^2$，下一式减本式得到 $a_{n+2}-a_n=2n+1$。这直接控制奇数下标和偶数下标各自的变化；跨奇偶时还要用原来的相邻关系。

若所有项非零且 $a_{n+1}{a}_{n-1}-a_n^2=2^n$（$n\ge 2$），设 $C_n=(a_{n+2}+2a_n)/a_{n+1}$。通分后 $C_n-C_{n-1}=[2^{n+1}-2\cdot 2^n]/(a_n{a}_{n+1})=0$（$n\ge 2$），故比值恒定。分母条件不可省略。

对映射 $T(t)=(1+t)/(1-3t)$，从 $1$ 出发有 $1\to -1\to 0\to 1$；三个分母分别为 $-2,4,1$。三个值不同且轨道闭合，所以该初值轨道的最小正周期是3。

对 $a_1=1$、$a_{n+1}=2a_n+1$，假设 $a_n=2^n-1$，则 $a_{n+1}=2^{n+1}-1$；结合初值证明全部正整数下标。若递推含分母，归纳步骤还应证明下一步可定义。

轨道 $a_1=1,a_2=-1,a_3=0$ 以3为周期时，$a_{3k}=0$（$k\ge 1$）。处理周期先对齐初值；用辅助数列得到结论后，还要还原成原题所问的项。