并排比较

2025 年江苏预赛

P006344 · 组合计数综合

有 $9$ 支队伍进行单循环赛（任意两队之间至多进行一场比赛）。在比赛了一个阶段后统计， 发现任意 $3$ 支队伍之间至多进行了两场比赛。求此时这 $9$ 支队伍之间比赛总场次的最大值，并说明理由。

2012 年安徽预赛 第 12 题

P010331 · 向量的数量积与几何意义

（18 分）设 $n\ge 2$。对平面上的任意 $n$ 个向量 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_n$，以 $M$ 表示满足 $i<j$ 且 ${\mathbf{a}}_i\cdot {\mathbf{a}}_j<0$ 的数对 $(i,j)$ 的个数。证明：$M\le \frac{n^2}{3}$。

题图仅以四个任意向量示意，不限定向量个数或方向。