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综合与实践 确定匀质薄板的重心位置
用一根手指托起一块木板，托在哪里它才不倒？这个点叫重心。对材料均匀的薄板，重心可以用几何的办法找：对称图形看对称中心，三角形看三条中线的交点，形状不规则就“拆开再连线”或者“挂两次”。还要弄清楚：重心不一定在板上。
本节导读 先修：13.2 与三角形有关的线段 · 9.1 平面直角坐标系 · 本节路线
要用到：三角形的中线、高、角平分线（回看 13.2）；用坐标描述点的位置（回看 9.1）。
- 从托木板进入：重心在哪里？
- 认识词语：重心、匀质薄板，以及本课的三个前提；
- 对称图形：重心在对称轴的交点（对称中心）；
- 三角形：重心是三条中线的交点，不是高或角平分线的交点；
- 组合图形：两种拆法各连一条线，交点是重心；悬挂法用两条竖直线；
- 动手验证，并看清重心可能落在板外。
一块厚薄均匀的长方形木板，想用一根手指从下面托住它，让它水平地停住不倒。手指应该托在哪里？
C。均匀长方形板关于两条对称轴都对称，左右、前后的“分量”都一样，只有两条对称轴的交点（也就是两条对角线的交点）能让它平衡。这个点就是它的重心。托在顶点或边的中点，板会向重心那一侧翻倒。
1. 先认识几个词：重心、匀质薄板
前置知识：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段（回看 13.2）。
- 重心：一个物体各部分所受重力的“合起来的作用点”。从重心处托住或悬挂，物体能保持平衡。
- 匀质薄板：用同一种材料做成、厚度处处一样、薄到可以看成一个平面图形的板。
直觉微图解 ①对称图形：重心在对称轴的交点
自己试试：一块匀质的圆形薄铁片，重心在哪里？
B。圆的每条直径所在直线都是对称轴，它们都过圆心，所以重心在圆心。A、C 都不在对称轴的交点上；任何物体都有重心，D 不对。
2. 三角形：重心是三条中线的交点
直觉微图解 ②中线、高、角平分线：三组线各交于一点，只有中线的交点是重心
为什么是中线？把三角形板想成许多根平行于 \(BC\) 的细木条，每根木条的中点都落在 \(BC\) 边上的中线 \(AD\) 上，所以整块板的重心在 \(AD\) 上；同理也在另外两条中线上，于是是三条中线的公共点。三条中线交于一点这件事，在动手 ① 里可以随便拖动验证；它的证明要等学了更多工具。
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：在方格纸上作出三角形的重心）
在平面直角坐标系中，匀质三角形薄板的三个顶点是 \(A(0,0)\)、\(B(6,0)\)、\(C(0,6)\)。作图找出它的重心 \(G\) 的坐标。
提示 1：先找中点
\(BC\) 的中点是 \((3,3)\)，\(AC\) 的中点是 \((0,3)\)。
看完整示范
④ 回头看：\(G\) 的横坐标 \(2\) 正好是 \(0,6,0\) 的平均数，纵坐标 \(2\) 是 \(0,0,6\) 的平均数。动手 ① 里可以看到这不是巧合。
自己试试：小明在三角形板上画了三条高，把它们的交点当作重心。他的做法：
A。三条高（所在直线）确实交于一点，但一般不是重心（见微图解 ②）；B 混淆了“交于一点”和“是重心”。C 也不对：直角三角形三条高交于直角顶点，那根本不是重心。
3. 不规则图形：拆开连线，或者挂两次
直觉微图解 ③L 形板：两种拆法，各连一条线，交点就是重心
例 2（示范：L 形板的重心在哪里？）
L 形匀质薄板由两部分组成：底部是从 \((0,0)\) 到 \((5,1)\) 的长方形，左边是从 \((0,1)\) 到 \((1,4)\) 的长方形。找出它的重心，并判断重心在不在板上。
提示：两种拆法各有哪两块
横着拆：底条 \(5\times1\) 和竖条 \(1\times3\)；竖着拆：左列 \(1\times4\) 和右边 \(4\times1\)。先写出每块长方形的中心。
看完整示范
④ 回头看：重心 \(G\) 落在 L 形“拐角里面的空白处”，不在板上。这时不能用一根手指在 \(G\) 处托住它，但用细线把板挂起来，竖直线照样经过 \(G\)。
自己试试：一个匀质的圆环形垫圈，重心在哪里？
C。圆环关于每条过圆心的直线都对称，重心是圆心；圆心在中间的空洞里，不在板上。A、D 都不在所有对称轴上；B 不对，重心可以存在但不在物体上。
悬挂法：不用计算也能找重心
在板边上扎一个小孔，用细线挂起来，等它静止，用铅垂线沿悬挂点画一条竖直线——重心就在这条线上（静止时悬挂点和重心在同一条竖直线上）。第二个孔要选在板上第一条画线之外，再挂一次、画出第二条线，两线的唯一交点就是重心。挂一次只能得到一条线，确定不了位置。注意：悬挂点不能选在重心上，否则板在任何方向都能停住，画不出确定的线；只换一个不同的孔还不够，若两孔与重心在同一直线上，两次画线会重合，仍不能定位。
4. 用之前必查：三大翻车现场
延伸：为什么两种拆法的交点就是重心？
把板拆成两块，两块各自的重心“拉”着整块板，整体重心一定在两块重心的连线上，并且更靠近面积大的那一块（以后学了加权平均数可以算出具体位置）。两种拆法各给出一条必须经过重心的线；两条不同直线最多一个交点，所以交点就是重心。
① 三条中线总交于一点
拖动滑块移动顶点 \(C\)（\(A(1,1)\)、\(B(9,1)\) 不动），看三条中线是不是总交于同一点 \(G\)。
② 进阶：L 形板的重心会跑到板外吗？
整块是 \(6\times6\) 的正方形去掉右上角。拖动滑块改变竖条宽 \(a\) 和底条高 \(b\)，看两种拆法的两条连线和它们的交点 \(G\)。
题中的板都是匀质薄板。
直接用
1. 正方形薄板的四个顶点是 \((0,0),(4,0),(4,4),(0,4)\)，它的重心坐标是：
D。重心是两条对角线的交点 \((2,2)\)。A、B 是顶点；C 是一条边的中点。
2. 三角形薄板的顶点为 \(A(0,0)\)、\(B(6,0)\)、\(C(3,6)\)，它的重心坐标是：
A。\(C\) 到 \(AB\) 中点 \((3,0)\) 的中线是竖线 \(x=3\)；\(A\) 到 \(BC\) 中点 \((4.5,3)\) 的中线每向右 \(1.5\) 格向上 \(1\) 格，经过 \((3,2)\)。B 是 \(C\) 到 \(AB\) 中线的中点（重心不在中线的中点）；C 离顶点太近。
易错
3. 三角形顶点 \(A(0,0)\)、\(B(6,0)\)、\(C(1,5)\)。从 \(C\) 出发的中线与 \(AB\) 交于哪一点？
提示
中线连对边的中点；从 \(C\) 向 \(AB\) 作垂线，垂足是 \((1,0)\)，那是高。
B。\(AB\) 的中点是 \((3,0)\)。A 是高的垂足（把高当成中线了）；C、D 是顶点。
4. 用悬挂法找一块不规则薄板的重心，至少要挂几次？
提示
挂一次能得到什么？一条线还是一个点？
C。挂一次只得到一条过重心的竖直线；第二次选第一条画线之外的孔（两个悬挂点都不能是重心），得到另一条不重合的线，两线的唯一交点就是重心。如果只换孔却仍在第一条线上，两线可能重合，须另选孔重挂。B、D 多挂的可以用来检验，但选点合适时不是必须。
5. 一把均匀的直尺长 \(30\) cm，在一端粘了一块铁片。它的重心：
提示
“匀质”这个前提还成立吗？
D。不再是匀质的，重心向重的一端移动，具体位置和铁片多重有关。A 忘了前提；B 方向反了；C 只有铁片非常重时才可能。
挑战
6. L 形板由底条（\((0,0)\) 到 \((6,2)\)）和左列上段（\((0,2)\) 到 \((2,4)\)）组成。横着拆的两个中心是 \((3,1)\)、\((1,3)\)；竖着拆的两个中心是 \((1,2)\)、\((4,1)\)。重心 \(G\) 在哪里，在不在板上？
提示 1
\((3,1)\) 到 \((1,3)\)：每向左 \(0.5\) 格向上 \(0.5\) 格；\((1,2)\) 到 \((4,1)\)：每向右 \(1.5\) 格向下 \(0.5\) 格。
提示 2
板上的点：纵坐标不超过 \(2\)，或者横坐标不超过 \(2\)。
A。两条连线都经过 \((2.5,1.5)\)；它的纵坐标 \(1.5\) 不超过 \(2\)，在底条里，所以在板上。B 判断错了位置；C 是拐角点，不在第二条连线上；D 只是底条自己的重心。
巩固练习 1：在平面直角坐标系中，一块匀质三角形薄板的顶点为 \(A(0,0)\)、\(B(8,0)\)、\(C(4,6)\)。用作中线的方法找到它的重心 \(G\)，则 \(G\) 的坐标是（ ）
A。\(AB\) 的中点为 \((4,0)\)，\(C\) 到它的中线是竖直线 \(x=4\)。\(BC\) 的中点为 \((6,3)\)，\(A\) 到它的中线每向右 2 格向上 1 格，经过 \((2,1)\)、\((4,2)\)。两中线交于 \((4,2)\)，故选 A。
巩固练习 2：关于匀质薄板的重心，下列说法正确的是（ ）
C。三角形板的重心是三条中线的交点，A 错；挂一次只得到一条过重心的竖直线，B 错；圆环关于过圆心的每条直线对称，重心是圆心，圆心在空洞里，C 正确，同时说明 D 错。故选 C。
巩固练习 3：一块 L 形匀质薄板由两个长方形组成：底部从 \((0,0)\) 到 \((6,1)\)，左侧从 \((0,1)\) 到 \((1,5)\)。横着拆，两块的中心为 \((3,0.5)\) 和 \((0.5,3)\)；竖着拆，两块的中心为 \((0.5,2.5)\) 和 \((3.5,0.5)\)。这块板的重心坐标是______，重心______（填“在”或“不在”）板上。
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答案：\((2,1.5)\)；不在
连线 \((3,0.5)\)—\((0.5,3)\)：每向左 1 格向上 1 格，经过 \((2,1.5)\)；连线 \((0.5,2.5)\)—\((3.5,0.5)\)：每向右 1.5 格向下 1 格，也经过 \((2,1.5)\)。所以重心是 \((2,1.5)\)。板上的点纵坐标不超过 1 或横坐标不超过 1，而 \(2>1\)、\(1.5>1\)，所以重心不在板上。
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