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九年级下册· 第三十三章 锐角三角函数

33.2 解直角三角形及其应用

有了 \(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\)，直角三角形的边和角就能互相换算。这一节学：知道哪几个量能把直角三角形全算出来，以及怎样把测高、坡道、方向问题画成直角三角形来解。

说明：新版九下 2027 春才出版，本节先按旧版教材（原九下第二十八章 28.2）编排，出版后再对表。

本节导读　先修：33.1 锐角三角函数、勾股定理 · 本节路线

要用到：\(\sin A\)、\(\cos A\)、\(\tan A\) 的定义和 \(30^\circ\)、\(45^\circ\)、\(60^\circ\) 的三角函数值（回看 33.1）；勾股定理（回看 20.1）；直角三角形两锐角互余、二次根式化简。

  1. 从例子进入：知道哪两个量，直角三角形才“定得下来”。
  2. 解直角三角形：条件（除直角外两个元素，至少一条边）和三类关系；选关系的原则。
  3. 仰角、俯角、方向角：先找水平线（或南北线），再找直角三角形。
  4. 坡度 \(i=\dfrac hl=\tan\alpha\)，写成 \(1:m\)；它不是“高 ÷ 坡长”。
  5. 不是直角三角形：作高化归；两个直角三角形共一条边，设它为 \(x\) 列方程。

照着条件画一个直角三角形。点按钮看三种条件下，画出来的三角形是不是只有一种：

直角三角形里已经有一个直角。再知道下面哪组条件，还不能把它的大小定下来？

C。只知道角，大小还定不下来。同样的角，可以画出大小不同的三角形。

详细解释

C。只知道角，形状定了，大小却能随便放缩：直角边 1 和 \(\sqrt3\)、10 和 \(10\sqrt3\) 的三角形，角都是 \(30^\circ\)、\(60^\circ\)（互相相似）。A、B、D 都有边，大小被“钉住”：A 的斜边只能是 5，D 的另一条直角边只能是 8。

所以“解直角三角形”要先问：已知的两个量里有没有边？

1. 先认识几个词：解直角三角形

记号照上一节：Rt\(\triangle ABC\) 中 \(\angle C=90^\circ\)，\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\) 的对边分别是 \(a\)、\(b\)、\(c\)，\(c\) 是斜边。

直角三角形除直角外有五个元素：\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(\angle A\)、\(\angle B\)。由已知元素求出其余未知元素，叫解直角三角形。能用的关系有三类：

三类关系边和边、角和角、边和角

三边：\(a^2+b^2=c^2\)；两锐角：\(\angle A+\angle B=90^\circ\)；边角：\(\sin A=\dfrac ac\)，\(\cos A=\dfrac bc\)，\(\tan A=\dfrac ab\)。

条件除直角外知道两个元素，其中至少一条边

两条边，或一条边加一个锐角，都能解；只知两个锐角不行，三角形能放大缩小。

直觉微图解 ①已知 \(c=10\)、\(\angle A=30^\circ\)：每个未知量挑哪个关系

2. 核心点：选关系，用原始数据，多用乘法

\(\color{#2F7A56}{\underbrace{\text{已知}+\text{所求}}_{\text{在同一个关系式里}}}\ \Rightarrow\ \color{#B5452F}{\underbrace{a=c\sin A}_{\text{乘法优于 } c=\frac{a}{\sin A}}}\)

一个式子只含一个未知量；尽量用题给的数，少用算出来的（尤其近似值）。

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：已知一边一角）

在 Rt\(\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，\(\angle B=60^\circ\)，\(BC=4\)。解这个直角三角形。

① 读懂题意：已知一条直角边 \(a=BC=4\) 和一个锐角 \(\angle B\)，有边，能解。要求 \(\angle A\)、\(b=AC\)、\(c=AB\)。

提示 1：先找最省事的那个

角最简单：\(\angle A=90^\circ-\angle B\)。边：\(BC\) 是 \(\angle B\) 的邻边，\(AC\) 是 \(\angle B\) 的对边，哪个三角函数同时含对边和邻边？

看完整示范
② 想办法：\(\tan B=\dfrac{AC}{BC}\) 含已知 \(BC\) 和所求 \(AC\)；\(\cos B=\dfrac{BC}{AB}\) 含 \(BC\) 和 \(AB\)。都直接用原始数据 \(BC=4\)、\(\angle B=60^\circ\)。
③ 执行：\(\angle A=90^\circ-60^\circ=30^\circ\)；\(AC=BC\cdot\tan60^\circ=4\sqrt3\)；\(AB=\dfrac{BC}{\cos60^\circ}=\dfrac{4}{\frac12}=8\)。
执行中检查：\(4^2+(4\sqrt3)^2=16+48=64=8^2\) ✓；\(BC\) 是 \(30^\circ\) 角 \(\angle A\) 所对的直角边，正好是斜边 \(8\) 的一半 ✓。

④ 回头看：\(AB\) 也可写成乘法 \(AB=2BC\)。先算 \(AC\) 再用勾股定理也对，但 \(AC\) 一错就连环错，所以优先用原始数据。

自己试试：Rt\(\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，斜边 \(c=10\)，\(\angle A=45^\circ\)。\(a\) 等于多少？

C。\(a=c\sin A=10\times\dfrac{\sqrt2}2=5\sqrt2\)。A 是把 \(45^\circ\) 当成 \(30^\circ\)，套了“对边是斜边一半”；B 是把乘法写成了除法：\(10\div\dfrac{\sqrt2}2=10\sqrt2\)，比斜边还长，一看就不对。

3. 核心点：仰角、俯角和方向角

\(\color{#2F7A56}{\underbrace{\text{仰角、俯角}}_{\text{视线与}\textbf{水平线}\text{的夹角}}}\qquad \color{#B5452F}{\underbrace{\text{北偏东 }\theta}_{\text{从正北方向线量起}}}\)

视线在水平线上方是仰角，下方是俯角。从 \(A\) 看 \(B\) 的俯角 = 从 \(B\) 看 \(A\) 的仰角（两条水平线平行，内错角相等）。

直觉微图解 ②角要从水平线量，不从竖直线量

例 2（示范：俯角）

一架无人机悬停在离地 \(60\) m 的高处，从无人机看地面上一辆车的俯角是 \(30^\circ\)。车离无人机正下方的点有多远？（\(\sqrt3\approx1.732\)，精确到 \(0.1\) m）

① 读懂题意：无人机 \(P\)、它正下方的地面点 \(H\)、车 \(Q\) 组成 Rt\(\triangle PHQ\)，\(\angle H=90^\circ\)，\(PH=60\)，求 \(HQ\)。

提示 1：30° 在三角形的哪个角上

俯角是视线 \(PQ\) 与过 \(P\) 的水平线的夹角，不在三角形里。但“从 \(P\) 看 \(Q\) 的俯角 = 从 \(Q\) 看 \(P\) 的仰角”，所以 \(\angle PQH=30^\circ\)，\(\angle HPQ=60^\circ\)。

看完整示范
② 想办法：已知 \(PH\)，求 \(HQ\)：\(HQ\) 是 \(\angle HPQ\) 的对边、\(PH\) 是它的邻边，用 \(\tan\angle HPQ=\dfrac{HQ}{PH}\)，是乘法。
③ 执行：\(HQ=PH\cdot\tan60^\circ=60\sqrt3\approx60\times1.732=103.92\approx103.9\)（m）。
执行中检查：换个角：\(HQ=\dfrac{60}{\tan30^\circ}=60\sqrt3\) ✓；俯角小于 \(45^\circ\)，\(HQ>PH\) ✓。

④ 回头看：用 \(60^\circ\) 是乘法，用 \(30^\circ\) 要做除法。先保留 \(60\sqrt3\)，最后一步再取近似。

自己试试：从楼顶 \(A\) 看楼前地面上一点 \(P\) 的俯角是 \(40^\circ\)。从 \(P\) 看 \(A\) 的仰角是多少？

B。过 \(A\) 的水平线和地面平行，俯角和 \(\angle APB\)（\(B\) 是楼底）是内错角，相等。A 是量成了视线和楼（铅垂线）的夹角 \(90^\circ-40^\circ\)；C 是把它当成了同旁内角 \(180^\circ-40^\circ\)。

方向角先画南北方向线：“北偏东 \(\theta\)”就是从正北方向线向东转 \(\theta\)。从目标向南北线作垂线，就得到直角三角形：

直觉微图解 ③船 \(P\) 在灯塔 \(O\) 的北偏东 \(\theta\)，\(OP=12\) 海里

自己试试：一艘船在灯塔 \(O\) 的北偏东 \(60^\circ\) 方向，离 \(O\) 有 \(20\) 海里。船到过 \(O\) 的南北方向线的距离是多少海里？

D。作 \(PQ\perp\) 南北线于 \(Q\)，\(\angle POQ=60^\circ\)，\(PQ=OP\sin60^\circ=10\sqrt3\)。A 是 \(20\cos60^\circ=10\)，那是 \(OQ\)（船偏北了多远）；B 是 \(20\tan60^\circ\)，把 \(20\) 当成了直角边；C 是 \(20\div\cos60^\circ\)，乘除颠倒了。

4. 核心点：坡度 \(i=\dfrac hl=\tan\alpha\)

\(i=\dfrac{\color{#2F7A56}{\underbrace{h}_{\text{铅直高度}}}}{\color{#B5452F}{\underbrace{l}_{\text{水平宽度}}}}=\tan\alpha\)

坡角 \(\alpha\)：坡面与水平面的夹角。坡度常写成 \(1:m\)，越大坡越陡。分母是水平宽度，不是坡面长。

直觉微图解 ④同样升高 1 份，水平走 \(m\) 份

例 3（示范：由坡度和坡面长求高）

公园里一条自行车坡道的坡度 \(i=1:2.4\)，坡面长 \(13\) m。骑到坡顶升高了多少米？

① 读懂题意：坡面长是斜边，求铅直高度 \(h\)；坡度是 \(h\) 比水平宽度 \(l\)，不是比坡面长。

提示 1：比怎么用

\(h:l=1:2.4\)，设 \(h=x\)，则 \(l=2.4x\)。三条边都用 \(x\) 表示了，哪个关系能列方程？

看完整示范
② 想办法：直角三角形三边：勾股定理 \(x^2+(2.4x)^2=13^2\)。
③ 执行：\(x^2+5.76x^2=169\)，\(6.76x^2=169\)，\(x^2=25\)，\(x=5\)（取正值）。升高 \(5\) m，水平宽度 \(12\) m。
执行中检查：\(5:12=1:2.4\) ✓；\(5^2+12^2=169=13^2\) ✓。

④ 回头看：误把坡度当“高 ÷ 坡长”会得 \(13\div2.4\approx5.4\)，错在分母。\(\tan\alpha=\dfrac5{12}\) 不是特殊角，不必求度数。

自己试试：一段斜坡的坡度是 \(1:2\)，坡面长 \(2\sqrt5\) m。它的铅直高度是多少米？

B。设 \(h=x\)，\(l=2x\)，坡面长 \(\sqrt{x^2+4x^2}=\sqrt5x=2\sqrt5\)，\(x=2\)。A 是把坡度当成“高 ÷ 坡长 \(=\dfrac12\)”，得 \(2\sqrt5\times\dfrac12\)；C 是水平宽度 \(2x\)；D 是直接把比里的“1”当成了高。

5. 核心点：不是直角三角形，就作高

\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\) 只在直角三角形里有定义。一般三角形先作高，拆成两个直角三角形；它们共用的边（常是高）是桥梁，求不出就设为 \(x\)，用“和”或“差”列方程。

例 4（示范：作高化归）

在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle B=45^\circ\)，\(\angle C=30^\circ\)，\(AB=4\sqrt2\)。求 \(BC\) 和 \(AC\)。

① 读懂题意：\(\triangle ABC\) 没有直角，不能直接写 \(\sin B=\dfrac{AC}{BC}\)。

提示 1：从哪个顶点作高

要让已知的 \(45^\circ\)、\(30^\circ\) 都落进直角三角形，又要用上 \(AB\)：过 \(A\) 作 \(AD\perp BC\) 于 \(D\)。两个锐角都小于 \(90^\circ\)，\(D\) 落在 \(BC\) 上。

看完整示范
② 想办法：Rt\(\triangle ABD\) 里已知斜边 \(AB\) 和 \(\angle B\)，先求公共边 \(AD\)；再到 Rt\(\triangle ADC\) 里用 \(AD\) 和 \(\angle C\)。
③ 执行：\(AD=AB\sin45^\circ=4\)，\(BD=AB\cos45^\circ=4\)；\(AC=2AD=8\)（\(30^\circ\) 角所对直角边是斜边一半），\(CD=AC\cos30^\circ=4\sqrt3\)。\(BC=BD+DC=4+4\sqrt3\)。
执行中检查：\(\tan30^\circ=\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{4}{4\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}3\) ✓；\(\angle C\) 小于 \(\angle B\)，所以 \(CD>BD\) ✓。

④ 回头看：公共边 \(AD\) 把两个直角三角形接了起来。这里 \(AD\) 能直接算；算不出时设 \(AD=x\)，见“动手 ③”。

6. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）坡度当成“高 ÷ 坡长”
❌ 典型错解：坡度 \(1:2\)，以为 \(\sin\alpha=\dfrac12\)，坡角 \(30^\circ\)。
✅ 看图秒懂：\(1:2\) 是高比水平宽度，\(\tan\alpha=\dfrac12\)；坡面长是 \(\sqrt5\)，\(\sin\alpha=\dfrac1{\sqrt5}\ne\dfrac12\)。坡角约 \(26.6^\circ\)，不是 \(30^\circ\)。
翻车现场 ②仰角、俯角量错了线
❌ 典型错解：从楼顶往下看，视线和墙成 \(70^\circ\)，就说“俯角 \(70^\circ\)”；或把往下看的角叫仰角。
✅ 一眼看清：俯角是视线和水平线的夹角，这里是 \(90^\circ-70^\circ=20^\circ\)。往上看叫仰，往下看叫俯。
翻车现场 ③没有边就去解，没有直角就用 sin
❌ 典型错解：只知 \(\angle A=35^\circ\)、\(\angle B=55^\circ\) 就去求边长；在没有直角的 \(\triangle ABC\) 里直接写 \(\sin B=\dfrac{AC}{BC}\)。
✅ 一眼看清：至少要一条边，大小才定；没有直角先作高，在直角三角形里才能用 \(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\)。

① 测楼高：距离和仰角

测角仪放在地面观测点 \(O\)，离楼底 \(B\) 为 \(d\)，看楼顶 \(T\) 的仰角为 \(\theta\)。拖动滑轨圆点（或点一下再用方向键）。

② 调坡度：\(1:m\) 和坡角

铅直高度固定为 \(5\) m，拖动滑轨改变坡度 \(1:m\)，看坡角、坡面长，并对照错法“高 ÷ 坡长”。

③ 进阶：两次观测求塔高（公共边设 \(x\)）

在 \(C\) 测塔顶 \(T\) 的仰角 \(\alpha\)，向塔走 \(a\) m 到 \(D\)，再测仰角 \(\beta\)；\(C\)、\(D\)、塔底 \(B\) 共线。塔高 \(BT\) 两次都用到，设为 \(x\)。

在相距 \(40\) m 的两点测同一座塔顶，仰角是 \(30^\circ\) 和 \(45^\circ\)（塔身竖直，两测点与塔底在同一水平地面上的同一直线上，且两点在塔底同侧；观测位置按地面点处理）。怎样用塔高表示两段水平距离，再列方程？先求准确值，再取近似值。

想好后看设元、计算与精度检查

设塔高为 \(x\) m。远处测点到塔底的距离为 \(\sqrt3x\) m，近处为 \(x\) m，所以 \(\sqrt3x-x=40\)，\(x=\dfrac{40}{\sqrt3-1}=20(\sqrt3+1)\)。

最后取 \(\sqrt3\approx1.732\)，塔高约为 \(54.6\) m。若一开始就把 \(\sqrt3\) 粗取成 \(1.7\)，得 \(\dfrac{40}{0.7}\approx57.1\) m，差了 2 m 多：分母 \(\sqrt3-1\) 较小，误差被放大了。所以中间保留准确值（或多留几位小数），只在最后按精度取舍。

④ 自主工作单：先画、再列式、最后核对

先看题目：这些条件够不够求出答案？选出你的判断，再点“核对这一步”。

怎么输入？

长度均为正距离，角用度（°）。结果填写普通小数，长度精确到 0.1，角度精确到 0.1°；中间保留根式或题给的完整近似值。

怎么输入？

示意图不按比例，不能从图上量出答案。D、H、Q 是候选垂足，只有选了相应补线才出现；错误选择也照画。

1 · 我的构型与关系
2 · 我的计算结果

若判定大小不定或条件不成立，数值与单位留空；仍须选择条件检查的理由。

待你尝试。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。需要近似值时取 \(\sqrt3\approx1.732\)。

直接用

1. 在 Rt\(\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，\(\angle B=60^\circ\)，\(BC=5\)。\(AC\) 等于多少？

B。\(AC\) 是 \(\angle B\) 的对边，\(BC\) 是邻边：\(AC=BC\tan60^\circ=5\sqrt3\)。A 是斜边 \(AB=\dfrac{5}{\cos60^\circ}=10\)，求错了边；C 是 \(5\div\tan60^\circ\)，乘除颠倒；D 是 \(5\cos60^\circ\)，把 \(BC\) 当成了斜边。

2. 从 \(30\) m 高的楼顶看地面上一辆车，俯角是 \(60^\circ\)。车到楼底的距离是多少米？

C。车处仰角也是 \(60^\circ\)，距离 \(=\dfrac{30}{\tan60^\circ}=10\sqrt3\approx17.3\) m。A 是 \(30\tan60^\circ\)，把 \(60^\circ\) 当成视线和楼墙的夹角；B 是视线长 \(\dfrac{30}{\sin60^\circ}=20\sqrt3\)。

易错

3. 一段斜坡的坡度 \(i=1:\sqrt3\)，坡面长 \(10\) m。它的铅直高度是多少米？

提示

\(\tan\alpha=\dfrac1{\sqrt3}\)，坡角是多少度？坡面长是斜边。

D。\(\tan\alpha=\dfrac{\sqrt3}3\)，\(\alpha=30^\circ\)，\(h=10\sin30^\circ=5\)。A 是把坡度当“高 ÷ 坡长 \(=\dfrac1{\sqrt3}\)”，得 \(\dfrac{10}{\sqrt3}\)（翻车现场 ①）；B 是水平宽度 \(10\cos30^\circ\)；C 是 \(10\div\sin30^\circ\)，乘除颠倒。

4. 从 \(18\) m 高的楼顶 \(A\) 看楼前地面上的点 \(P\)，视线 \(AP\) 与竖直的楼墙成 \(60^\circ\) 角。\(P\) 到楼底的距离是多少米？

提示

\(60^\circ\) 是视线和竖直线的夹角，不是俯角。它在直角三角形的哪个顶点？对边、邻边各是什么？

A。楼底为 \(B\)，\(\angle BAP=60^\circ\)，\(BP=18\tan60^\circ=18\sqrt3\)（俯角其实是 \(30^\circ\)）。B 是把 \(60^\circ\) 当俯角：\(18\div\tan60^\circ=6\sqrt3\)（翻车现场 ②）；C 是把 \(60^\circ\) 当俯角，又把视线长 \(AP=\dfrac{18}{\sin60^\circ}=12\sqrt3\) 当成了所求距离；D 是视线长 \(AP=\dfrac{18}{\cos60^\circ}=36\)。

5. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle B=30^\circ\)，\(\angle C=45^\circ\)，\(AC=6\sqrt2\)。\(BC\) 等于多少？

提示 1

\(\triangle ABC\) 没有直角。过 \(A\) 作 \(AD\perp BC\) 于 \(D\)，先在含 \(45^\circ\) 的直角三角形里求 \(AD\)、\(CD\)。

提示 2

再在含 \(30^\circ\) 的直角三角形里由 \(AD\) 求 \(BD\)，最后 \(BC=BD+DC\)。

B。\(AD=CD=6\sqrt2\times\dfrac{\sqrt2}2=6\)；\(BD=\dfrac{AD}{\tan30^\circ}=6\sqrt3\)；\(BC=6+6\sqrt3\)。A 是在没有直角的三角形里直接写 \(\sin B=\dfrac{AC}{BC}\)，得 \(BC=\dfrac{6\sqrt2}{\frac12}\)（翻车现场 ③）；C 是只算了 \(BD\)，漏了 \(DC\)；D 是 \(BD=AD\tan30^\circ=2\sqrt3\)，对边、邻边弄反。

挑战

6. 在地面 \(A\) 处测得一座楼顶的仰角是 \(45^\circ\)，向楼走 \(20\) m 到 \(B\) 处，测得仰角是 \(60^\circ\)（\(A\)、\(B\) 和楼底在同一直线上）。楼高多少米？

提示 1：设什么

楼高在两个直角三角形里都出现，设楼高为 \(x\) m。\(A\) 到楼底、\(B\) 到楼底各是多少（用 \(x\) 表示）？

提示 2：列方程

\(A\) 离楼更远，两段距离的差是 \(20\)：\(x-\dfrac{x}{\sqrt3}=20\)。

D。\(x-\dfrac{\sqrt3}3x=20\)，\(x=\dfrac{20\sqrt3}{\sqrt3-1}=10\sqrt3(\sqrt3+1)=30+10\sqrt3\approx47.3\) m。A 是把 \(20\) m 当成 \(B\) 到楼底的距离，\(20\tan60^\circ\)；B 是把差写成了和 \(x+\dfrac{x}{\sqrt3}=20\)；C 是把 \(20\) m 当成 \(A\) 到楼底的距离，\(20\tan45^\circ\)。

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